四川省自贡市田家炳中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1. 下面四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义（在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.而这个中心点，就叫做中心对称点.），进行判断即可．
【详解】解：观察图形，只有选项B的图形，绕一点旋转180度后，能与自身完全重合，是中心对称图形；
故选：B．
2. 已知的半径为5，点到圆心的距离为6，那么点与的位置关系是（ ）
A. 点在上B. 点在内C. 点在外D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内，据此判断即可．
【详解】解：
点在外．
故选：C
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是比较好点和圆心距离与半径大小．
3. 下利事件中，是必然事件的是（ ）
A. 将油滴在水中，油会浮在水面上
B. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C. 如果，那么
D. 掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：选项A，将油滴在水中，油会浮在水面上，是必然事件；选项B，车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件；选项C，如果，那么，是随机事件；选项D，掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上，是随机事件，故选A.
考点：必然事件；随机事件.
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点式可以得到答案 ．
【详解】解：由抛物线的顶点式可以得到y=2(x−1)2+3 的顶点坐标是（1，3），
故选B．
【点睛】本题考查抛物线的应用，熟练掌握抛物线的顶点式是解题关键．
5. 已知关于的方程的一个根是-1，则的值是（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】把代入方程得，然后解关于的方程．
【详解】解：把代入方程，得：，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题关键．
6. 将一元二次方程配方，其正确的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：，
配方得：，即．
故选：D．
【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握其步骤是解答本题的关键．
7. 从，0，，3.14，这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从所列五个实数中找到有理数的个数，利用概率公式求解即可．
【详解】解：在所列的5个实数中，是有理数的有0，3.14，这3个数，
所以随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的定义以及简单的概率计算．根据有理数的定义找出五个数中有理数的个数是解题的关键．
8. 如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴；
故选A．
9. 如图，是⊙O的切线，切点为，，，则⊙O的半径长为（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】连接OA，根据切线的性质得，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出OA即可.
【详解】解：连接OA，如图，
∵是的切线，切点为A，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的半径长为2．
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质，含30度角的直角三角形的性质．连接常用的辅助线是解答本题的关键．
10. 如图，已知中，，，，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由旋转可知，点A经过的路线是弧长，计算出半径和圆心角即可．
【详解】解：中，，
∵，，
∴，，
∵A、、三点在同一条直线上，
∴，
由弧长公式可知：
点A经过的路线长度为：.
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质，含角的直角三角形的性质以及弧长公式．利用旋转的性质求出点A经过的弧的半径和圆心角是解答本题的关键．
11. 关于的一元二次方程有两个实数根，，则代数式的最小值是（ ）
A. -8B. -5C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先根据Δ≥0得到的范围，再将所求式子变形，用根与系数关系把它表示成的代数式，最后根据k的范围得到所求代数式的最小值．
【详解】解：∵有两个实数根，
∴Δ≥0即，
整理得，
解得；
∵、是的两个实数根，
∴，，
，
，
，
，
∵1，关于k的二次函数开口向上，
又∵对称轴为k=-5，在对称轴的右侧关于k的二次函数随着k的增大而增大，
又∵，
∴时，的值最小为．
故选：C．
【点睛】本题考查元二次方程的根与判别式，利用根与系数关系，将代数式转化为二次函数，利用函数增减性求代数式的最小值是解题关键．
12. 二次函数的部分图像如图，图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的值随值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，函数图像上点的坐标特征，由抛物线的对称轴方程得到，则可对①进行判断；由于时，，则可对②进行判断；利用抛物线与轴的一个交点为得，把代入可得，则，于是可对③进行判断；根据而此函数的性质可对④进行判断．解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，即，
∴，即，故结论①正确；
∵当时，，
∴，
∴，故结论②错误；
∵抛物线与轴的一个交点为，
∴，
∴，即，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，故结论③正确；
∵对称轴为直线，
∴当时，随增大而减小，故结论④错误，
∴正确的结论有个．
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 如图，圆内接四边形ABCD中，∠C＝120°，则∠A＝_____．
【答案】60°
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C＝180°，然后把∠C的度数代入计算即可．
【详解】解：根据题意得∠A+∠C＝180°，
所以∠A＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：60°
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
14. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______．
【答案】####
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，负整数幂，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答的关键．
根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即可求出a和b的值，从而求出结论．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
15. 抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的平移．熟练掌握平移规律是解题的关键．根据平移规律：左加右减，上加下减进行计算即可．
【详解】解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是：；
故答案为：．
16. 已知△ABC三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是________
【答案】1
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，根据S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC代入即可求出答案．
【详解】解：如图：
∵a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=c2，
∴∠ACB=90°，
设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，
∵S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC，
∴×AC×BC=×AC×OE+×AB×OF+×BC×OD，
∴3×4=4R+5R+3R，
解得：R=1.
故答案为1．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，解此题的关键是能得出关于R的方程，题目比较典型，难度适中．
17. 一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共______人.
【答案】9
【解析】
【分析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）=72，把相关数值代入计算即可．
【详解】设这小组有x人．由题意得：
x（x﹣1）=72
解得：x1=9，x2=﹣8（不合题意，舍去）．
即这个小组有9人．
故答案为9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键，注意理解答本题中互送的含义，这不同于直线上点与线段的数量关系．
18. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可．
【详解】解：如图，连接、，
令，则，
故点，
∵，
∴，
设圆的半径为，则，

∵点Q、O分别为、的中点，
∴是的中位线，
∴，
当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，
则此时最大，
此时，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分）
19. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：移项得：，
提公因式x-1得：，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程．掌握利用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为负整数时，求方程的两个根．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）一元二次方程有实数根，则Δ≥0，代入系数即可求解；
（2）根据（1）中m的取值范围得到m的取值，代入方程求解即可．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有实数根
∴
解得：
（2）∵，m为负整数
∴
∴方程为
∴，
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，以及一元二次方程的解法，熟记Δ≥0时，一元二次方程有实数根是解题的关键．
21. 如图，正方形网格中，为格点三角形（顶点都是格点），将绕点A按逆时针方向旋转得到
（1）在正方形网格中，作出；（不要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，求线段所扫过的图形的面积．（结果保留π）
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据网格图知：分别将对应点按要求旋转，再顺次连接即可；
（2），旋转过程中所扫过的图形是为半径的扇形，根据扇形公式计算即可．
【小问1详解】
作图如下：
【小问2详解】
根据网格图知：，
线段所扫过的图形为圆心角为，半径为4的扇形，
其面积为．
【点睛】本题主要考查了利用旋转变换作图以及扇形面积公式；正确按要求作图形是解题的关键．
22. 某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类(篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活动中任选一项(只能选一项)参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级(2)班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：
八年级(2)班参加球类活动人数情况统计表
八年级(2)班学生参加球类活动人数情况扇形统计图
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)a＝ ，b＝ ．
(2)该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约 人；
(3)该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学(A，B，C)和2位女同学(D，E)，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．
【答案】(1)a＝16，b＝17.5(2)90(3)
【解析】
【分析】（1）首先求得总人数，然后根据百分比的定义求解；
（2）利用总数乘以对应的百分比即可求解；
（3）利用列举法，根据概率公式即可求解．
【详解】（1）a=5÷12.5%×40%=16，5÷12.5%=7÷b%，
∴b=17.5，
故答案为16，17.5；
（2）600×[6÷（5÷12.5%）]=90（人），
故答案为90；
（3）如图，∵共有20种等可能的结果，两名主持人恰为一男一女的有12种情况，
∴则P（恰好选到一男一女）==．
23. 有一种螃蟹，从河里捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹千克放养在塘内，此时市场价为每千克元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升元，但是放养一天需各种费用支出元，且平均每天还有千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克元．
（1）设天后每千克活蟹的市场价为元，写出关于的函数关系式．
（2）如果放养天后将活蟹一次性出售，并记千克蟹的销售额为元，写出关于的函数关系式．
（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润销售总额收购成本费用），最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）当时，总利润最大，最大利润为元
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的运用，理解题目中数量关系，掌握运用函数思想解决实际问题的方法是解题的关键．
（1）根据“每千克活蟹的市场价每天可上升元”即可求解；
（2）根据题意可得销售的活蟹的数量为：千克，由（1）可知市场价格为：元，由此即可求解；
（3）设总利润为，结合（2）的计算结果，运用配方法即可求解．
【小问1详解】
解：每千克活蟹的市场价每天可上升元，
∴．
【小问2详解】
解：由题意知，平均每天还有千克蟹死去，则销售的活蟹的数量为：千克，由（1）可知市场价格为：元，
∴活蟹的销售额为元，死蟹的销售额为（元），
∴，
∴．
【小问3详解】
解：设总利润为：
∴
，
∴当时，总利润最大，最大利润为元．
24. 函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质．
列表如下：
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当时，函数图象关于直线对称；
②时，函数有最小值，最小值为；
③时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是_________．（请写出所有正确命题的序号）
（3）结合图象，请直接写出不等式的解集_________．
【答案】（1）2，；图见解析（2）②③；（3）或．
【解析】
【分析】（1）利用函数解析式分别求出和对应的函数值；然后利用描点法画出图象即可；
（2）观察图象可知当时，随值的增大而增大；
（3）利用图象即可解决问题．
【详解】解：（1）把代入得，，
把代入得，，
，，
函数的图象如图所示：
（2）观察函数的图象，
①当时，函数图象原点对称；错误；
②时，函数有最小值，最小值为；正确；
③时，函数的值随的增大而减小，正确．
故答案②③；
（3）由图象可知，函数与直线的交点为、、
不等式的解集为或．
【点睛】本题考查函数图象和性质，解题的关键是能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题．
25. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．
（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；
（2）求CD的长.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）①连接OC，易证OC⊥AB，即可判定直线AB是⊙O的切线；
②根据等腰三角形的性质可得∠AOC=∠BOC,再由圆周角定理可得，所以∠FDC=∠EDC；
（2）连接EF交OC于G，连接EC，先求得EF=8，根据垂径定理得EG=FG=4,再求得OG=3，GC=2，在Rt△EGC中，根据勾股定理可得CE=，在Rt△ECD中，再由勾股定理可得CD=.
【详解】解：（1）证明：①连接⊙O，
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB．
∴直线AB是⊙O的切线．
②
（2）连接EF交OC于G，连接EC．
∵DE是直径，
∴∠DFE=∠DCE=90°
在Rt△EGC中，CE=
在Rt△ECD中，CD=
【点睛】考点：圆的切线的判定;勾股定理;等腰三角形性质定理.
26. 如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【解析】
【分析】（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标
【详解】解：（1）∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）
∴解得
∴该抛物线的解析式为
（2）为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5
∴A（1,0），B（5,0）
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵ 解得
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
项目
篮球
足球
乒乓球
排球
羽毛球
人数
a
6
5
7
6
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
a
0
b
…