2021-2022学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共33页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）方程x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣6，﹣1B．1，6，1C．0，﹣6，1D．0，6，﹣1
2．（2分）中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝4
5．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（ ）
A．90°B．100°C．130°D．140°
6．（2分）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将△MNP旋转，得到△M1N1P1，则旋转中心是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
7．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其中ab＜0，c＞0，下列说法正确的是（ ）
A．该抛物线经过原点
B．该抛物线的对称轴在y轴左侧
C．该抛物线的顶点可能在第一象限
D．该抛物线与x轴必有公共点
8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝10．动点M，N分别从A，C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，点M，C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若点A（5，5）与点B关于原点对称，则点B的坐标为 ．
10．（2分）若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a b（填“＞”，“＜”或“＝”）．
11．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'C'D'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为 ．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
13．（2分）如图，C，D为AB的三等分点，分别以C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点E，F，连接EF．若AB＝9，则EF的长为 ．
14．（2分）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ．
15．（2分）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝4cm，CD＝1cm，则轮子的半径为 cm．
16．（2分）已知M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2（a≠0）上任意两点，其中0≤x1＜x2．若对于x2﹣x1＝1，都有|y2﹣y1|≥1，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题5分，第24题5分，第25-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）解方程：x2﹣8x＝9．
18．（5分）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，以CD为边作等边△CDE，连接BD，AE．求证：BD＝AE．
19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，﹣2），B（2，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象也经过点A，B，结合图象，直接写出不等式kx+b＞x2+px+q的解集．
20．（5分）如图，A，B是⊙O上的两点，C是的中点．求证：∠A＝∠B．
21．（5分）已知：A，B是直线l上的两点．
求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且∠ACB＝150°．
作法：
①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③在劣弧上任取一点C（不与A，B重合），连接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝60°．
∵A，B，M在⊙O上，
∴∠AMB＝∠AOB（ ）（填推理的依据）．
∴∠AMB＝30°．
∵四边形ACBM内接于⊙O，
∴∠AMB+∠ACB＝180°（ ）（填推理的依据）．
∴∠ACB＝150°．
22．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．
23．（6分）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
24．（5分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0经过适当变形，可以写成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．现列表探究x2﹣4x﹣3＝0的变形：
回答下列问题：
（1）表格中t的值为 ；
（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为 ；
（3）记x2+bx+c＝0的两个变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），则的值为 ．
25．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，∠C＝75°，∠D＝45°．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若AC＝12，求CD的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（1，﹣1），与y轴交于点B．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最大值N．
①若N＝2，求抛物线的表达式；
②若﹣9＜a＜﹣2，结合函数图象，直接写出N的取值范围．
27．（7分）如图，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP是∠MON的平分线，A，B分别在OP，OM上，且AB∥ON．以点A为中心，将线段AO旋转到AC处，使点O的对应点C恰好在射线BM上，在射线ON上取一点D，使得∠BAD＝180°﹣α．
（1）①依题意补全图；
②求证：OC＝OD+AD；
（2）连接CD，若CD＝OD，求α的度数，并直接写出的值．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点P'，x轴正半轴上存在点Q'，使PP'∥QQ'，且∠1＝∠2＝α（如图1），则称点P与点Q为α﹣关联点．
（1）在点Q1（3，1），Q2（5，2）中，与（1，3）为45°﹣关联点的是 ；
（2）如图2，M（6，4），N（8，4），P（m，8）（m＞1）．若线段MN上存在点Q，使点P与点Q为45°﹣关联点，结合图象，求m的取值范围；
（3）已知点A（1，8），B（n，6）（n＞1）．若线段AB上至少存在一对30°﹣关联点，直接写出n的取值范围．
2021-2022学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）方程x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣6，﹣1B．1，6，1C．0，﹣6，1D．0，6，﹣1
【分析】根据一元二次方程的一般形式找出a，b，c的值即可．
【解答】解：方程x2﹣6x﹣1＝0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣6，﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．（2分）中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（2分）将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“上加下减”的规律进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是：y＝x2﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
4．（2分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝4
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2+2x﹣3＝0
∴x2+2x＝3
∴x2+2x+1＝1+3
∴（x+1）2＝4
故选：D．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（ ）
A．90°B．100°C．130°D．140°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角求得∠ACB＝90°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解∠A，再根据圆内接四边形的性质即可得解．
【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°．
又∠ABC＝50°，
∴∠A＝40°，
∵四边形ABDC为圆O的内接四边形，
∴∠A+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝140°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．
6．（2分）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将△MNP旋转，得到△M1N1P1，则旋转中心是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【分析】根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论．
【解答】解：线段NN1，线段PP1的垂直平分线的交点为点B，故点B为旋转中心．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
7．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其中ab＜0，c＞0，下列说法正确的是（ ）
A．该抛物线经过原点
B．该抛物线的对称轴在y轴左侧
C．该抛物线的顶点可能在第一象限
D．该抛物线与x轴必有公共点
【分析】根据抛物线的系数与图象的关系即可求出答案．
【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c，
∵c＞0，
∴抛物线不会经过原点，故A错误；
∵ab＜0，
∴a、b异号，
∴抛物线在y轴的右侧，故B错误；
∴顶点可能在第一象限，也可能在第四象限，故C正确；
当a＞0，b＜0时，
∵c＞0，
∴顶点在第一象限，此时抛物线与x轴没有交点，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于中等题型．
8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝10．动点M，N分别从A，C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，点M，C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
【分析】求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．
【解答】解：由题意得，AM＝t，CN＝2t，
∴MC＝AC﹣AM＝5﹣t，
即y＝5﹣t，
∴S＝MC•CN＝5t﹣t2，
因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若点A（5，5）与点B关于原点对称，则点B的坐标为 （﹣5，﹣5） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：若点A（5，5）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（﹣5，﹣5）．
故答案为：（﹣5，﹣5）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
10．（2分）若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a ＜ b（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝1，然后比较两个点离直线x＝1的远近得到a、b的大小关系．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，
∴点（3，b）离直线x＝1远，点点（0，a）离直线x＝1较近，
∴a＜b，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'C'D'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为 1 ．
【分析】根据DB′＝AD﹣AB′，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
由旋转的性质可知，AB＝AB′＝3，
∴DB′＝AD﹣AB′＝4﹣3＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 x＝1或x＝3 ．
【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3，
故答案为：x＝1或x＝3．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x轴的两个交点坐标．
13．（2分）如图，C，D为AB的三等分点，分别以C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点E，F，连接EF．若AB＝9，则EF的长为 3 ．
【分析】连接CE、ED、DF、FC，根据菱形的判定与性质可得CO＝，然后根据勾股定理及菱形的性质可得答案．
【解答】解：连接CE、ED、DF、FC，
∵C，D为AB的三等分点，AB＝9，
∴AC＝CD＝DB＝3，
∴四边形ECFD是菱形，
∴CD、EF互相垂直平分，设CD、EF的交点为O，
∴CO＝，
∵∠COF＝90°，
∴OF＝＝＝，
∴EF＝2OF＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查的是线段的垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．
14．（2分）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 x（x﹣12）＝864 ．
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2分）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝4cm，CD＝1cm，则轮子的半径为 cm．
【分析】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【解答】解：设圆心为O，连接OB．
Rt△OBC中，BC＝AB＝2cm，
根据勾股定理得：
OC2+BC2＝OB2，即：
（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝2.5；
故轮子的半径为cm．
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16．（2分）已知M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2（a≠0）上任意两点，其中0≤x1＜x2．若对于x2﹣x1＝1，都有|y2﹣y1|≥1，则a的取值范围是 a≥1或a≤﹣1 ．
【分析】由点M、N是抛物线上的点得到y1＝ax12、y2＝ax22，然后代入|y2﹣y1|≥1中，结合x2﹣x1＝1和0≤x1＜x2求出a的取值范围．
【解答】解：由题意得，y1＝ax12、y2＝ax22，
∴|y2﹣y1|＝|ax12﹣ax22|＝|a（x1+x2）|，
∵|y2﹣y1|≥1，x2﹣x1＝1，
∴|a|≥恒成立，
∴|a|≥最大值，
∵0≤x1，
∴2x1+1≥1，
∴≤1，
∴|a|≥1，
∴a≥1或 a≤﹣1，
故答案为：a≥1或 a≤﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过二次函数图象上点的坐标特征代入|y2﹣y1|≥1求得关于a与x的不等式．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题5分，第24题5分，第25-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）解方程：x2﹣8x＝9．
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：∵x2﹣8x＝9，
∴x2﹣8x+16＝25，
∴（x﹣4）2＝5，
则x﹣4＝±5，
∴x1＝9，x2＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（5分）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，以CD为边作等边△CDE，连接BD，AE．求证：BD＝AE．
【分析】根据等边三角形的性质和SAS证明△BCD与△ACE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵△ABC，△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°．
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明三角形全等是解题的关键．
19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，﹣2），B（2，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象也经过点A，B，结合图象，直接写出不等式kx+b＞x2+px+q的解集．
【分析】（1）把A、B的坐标代入y＝x2+px+q，根据待定系数法求得即可；
（2）根据图象即可求得一次函数图象在二次函数图象上方的x的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，﹣2），B（2，0），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）由图象可知，不等式kx+b＞x2+px+q的解集为0＜x＜2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．
20．（5分）如图，A，B是⊙O上的两点，C是的中点．求证：∠A＝∠B．
【分析】连接OC．证明△AOC≌△BOC（SAS），可得结论．
【解答】证明：连接OC．
∵C是的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴∠A＝∠B．
【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
21．（5分）已知：A，B是直线l上的两点．
求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且∠ACB＝150°．
作法：
①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③在劣弧上任取一点C（不与A，B重合），连接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝60°．
∵A，B，M在⊙O上，
∴∠AMB＝∠AOB（ 在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ）（填推理的依据）．
∴∠AMB＝30°．
∵四边形ACBM内接于⊙O，
∴∠AMB+∠ACB＝180°（ 圆内接四边形对角互补 ）（填推理的依据）．
∴∠ACB＝150°．
【分析】（1）根据题意补全图形；
（2）根据画图过程得出△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°，根据圆周角定理得出∠AMB＝30°，再根据圆内接四边形的性质即可得解．
【解答】解：（1）如图即为所求，
（2）证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵A，B，M在⊙O上，
∴∠AMB＝∠AOB（在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），
∴∠AMB＝30°，
∵四边形ACBM内接于⊙O，
∴∠AMB+∠ACB＝180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ACB＝150°．
故答案为：在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆内接四边形对角互补．
【点评】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．
22．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．
【分析】（1）求出方程的判别式Δ的值，利用配方法得出Δ≥0，根据判别式的意义即可证明；
（2）根据题意得不等式组，解不等式组求得a的取值范围即可．
【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣1）＝4a2﹣4a2+4＝4，
∵Δ＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：解方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0，得x1＝a﹣1，x2＝a+1，
∵方程的两个根均为负数，
∴
解得a＜﹣1．
∴a的取值范围为a＜﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
23．（6分）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
【分析】（1）根据题意画出图象即可；
（2）设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，由抛物线过点A得到16a+3＝2．求得，于是得到结论；
（3）根据题意解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3），点A的坐标为（0，2）．
设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，
由抛物线过点A，有16a+3＝2．
解得，
∴该抛物线的表达式为；
（3）解：令y＝0，得．
解得，（C在x轴正半轴，故舍去）．
∴点C的坐标为（，0）．
∴．
由，可得．
∴小明此次试投的成绩达到优秀．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
24．（5分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0经过适当变形，可以写成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．现列表探究x2﹣4x﹣3＝0的变形：
回答下列问题：
（1）表格中t的值为 3 ；
（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为 m+n＝4 ；
（3）记x2+bx+c＝0的两个变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），则的值为 ﹣1 ．
【分析】（1）先把方程两边加上6，然后把方程左边因式分解，从而得到t的值；
（2）利用表中数据得到m与n的和为一次项系数的相反数；
（3）由（2）的结论得到m1+n1＝﹣b，m2+n2＝﹣b，则m1+n1＝m2+n2，从而得到的值．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3+6＝6，
x2﹣4x+3＝6，
（x﹣1）（x﹣3）＝6，
所以t＝3；
故答案为3；
（2）﹣1+5＝4，
0+4＝4，
1+3＝4，
2+2＝4，
所以m+n为一次项系数的相反数，
即m+n＝4；
故答案为m+n＝4；
（3）由（2）的结论得到m1+n1＝﹣b，m2+n2＝﹣b，
所以m1+n1＝m2+n2，
即n1﹣n2＝﹣（m1﹣m2），
∴＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用公式法、因式分解法和配方法解一元二次方程．
25．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，∠C＝75°，∠D＝45°．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若AC＝12，求CD的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠A＝∠D＝45°，再根据三角形内角和定理即可得解；
（2）连接OC，过O作OH⊥CD于H，根据等腰三角形的性质推出∠AOC＝90°，根据勾股定理求出OC＝6，根据含30°的直角三角形的性质得出OH＝3，进而得到CH＝3，再根据垂径定理即可得解．
【解答】（1）解：∵A，D在⊙O上，∠D＝45°，
∴∠A＝∠D＝45°，
∵∠C＝75°，
∴在△ACE中，∠AEC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°；
（2）解：连接OC，过O作OH⊥CD于H，
∵OA＝OC，∠A＝45°，
∴∠ACO＝∠A＝45°，
∴∠AOC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
Rt△AOC中，AO2+OC2＝AC2，AC＝12，
∴，
∵∠ACD＝75°，
∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝30°，
∴，
∴，
∵OH⊥CD于H，
∴．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟记圆周角定理、垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（1，﹣1），与y轴交于点B．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最大值N．
①若N＝2，求抛物线的表达式；
②若﹣9＜a＜﹣2，结合函数图象，直接写出N的取值范围．
【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征求得即可；
（2）①由题意得抛物线的顶点为（0，2），把A（1，﹣1）代入即可求出a的值，继而求出抛物线的表达式；
②把点A（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+2得出a与b的关系，再把a＝﹣9和a＝﹣3代入求出对应b的值，从而求出抛物线解析式，利用解析式求出最大值，即可得到N的取值范围．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝ax2+bx+2得，y＝2，
∴B（0，2）；
（2）①依题意，当N＝2时，该抛物线的顶点为（0，2），
设抛物线的解析式为y＝ax2+2，
由抛物线过A（1，﹣1），得a+2＝﹣1，
解得a＝﹣3，
∴抛物线的表达式为y＝﹣3x2+2；
②∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（1，﹣1），
∴﹣1＝a+b+2，
∴b＝﹣3﹣a，
当a＝﹣9时，b＝﹣3﹣a＝6，则y＝﹣9x2+6x+2，
此时，函数有最大值＝＝3，
当a＝﹣2时，b＝﹣3﹣a，则y＝﹣2x2﹣x+2，
此时，函数有最大值为，
∵y＝＝2﹣，在a＝﹣3时，乘积会有最小值，最小值为0，
因此，这个代数式的最小值应该是2﹣0＝2，
∴2≤N＜3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象与性质及最值的求法是解决问题的关键．
27．（7分）如图，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP是∠MON的平分线，A，B分别在OP，OM上，且AB∥ON．以点A为中心，将线段AO旋转到AC处，使点O的对应点C恰好在射线BM上，在射线ON上取一点D，使得∠BAD＝180°﹣α．
（1）①依题意补全图；
②求证：OC＝OD+AD；
（2）连接CD，若CD＝OD，求α的度数，并直接写出的值．
【分析】（1）①根据要求作出图形．
②证明△ABC≌△ADO（ASA），可得结论．
（2）证明△ADC≌△ADO（SSS），推出∠DCA＝∠DOA＝，再利用三角形内角和定理，构建方程求解即可．
【解答】（1）解：①补全图形，如图．
②证明：
∵OP平分∠MON，∠MON＝α，
∴∠AOC＝∠AON＝＝，
∵AB∥ON，
∴∠BAO＝∠AON，
∴∠BAO＝∠AOC，
∴AB＝BO，
∵由旋转，AO＝AC，
∴∠AOC＝∠ACO＝，
∴∠ACO＝∠AON，
∠OAC＝180°﹣α，
∵∠BAD＝180°﹣α，
∴∠OAC＝∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAO，
∴△ABC≌△ADO（ASA），
∴AB＝AD，CB＝OD，
∴BO＝AD，
∵OC＝CB+BO，
∴OC＝OD+AD．
（2）如图所示，
∵AB∥ON，
∴∠BAD+∠ADO＝180°，
∵∠BAD＝180°﹣α，
∴∠ADO＝α，
∵AC＝AO，CD＝OD，AD＝AD，
∴△ADC≌△ADO（SSS），
∴∠DCA＝∠DOA＝，
∠CDA＝∠ODA＝α，
在△CDO中，∠OCD+∠CDO+∠DOC＝180°，
∴4α＝180°，
∴α＝45°，
此时，的值为．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点P'，x轴正半轴上存在点Q'，使PP'∥QQ'，且∠1＝∠2＝α（如图1），则称点P与点Q为α﹣关联点．
（1）在点Q1（3，1），Q2（5，2）中，与（1，3）为45°﹣关联点的是 Q1 ；
（2）如图2，M（6，4），N（8，4），P（m，8）（m＞1）．若线段MN上存在点Q，使点P与点Q为45°﹣关联点，结合图象，求m的取值范围；
（3）已知点A（1，8），B（n，6）（n＞1）．若线段AB上至少存在一对30°﹣关联点，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）过点P作PA⊥y轴于点A，过点Q作QB⊥x轴于点B，由P点的坐标得出△APP'和△P'Q'O都是等腰直角三角形，得出△Q'BQ是等腰直角三角形，则可得出答案；
（2）由点P与点Q为45°﹣关联可知点P'为（0，8﹣m），Q'为（8﹣m，0），求出关联点所在直线表达式，将y＝4代入求出横坐标，根据点Q在线段MN上可表示出横坐标的取值范围，即可得出答案；
（3）由题意画出图形，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）过点P作PA⊥y轴于点A，过点Q作QB⊥x轴于点B，
∵P（1，3），α＝45°，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠PP'Q'＝90°，∠P'Q'O＝45°，
∴△APP'和△P'Q'O都是等腰直角三角形，
∴AP'＝AP＝1，
∴OQ'＝OP'＝AO﹣AP'＝3﹣1＝2，
∵PP'∥QQ'，
∴∠P'Q'Q＝90°，
∴∠QQ'B＝45°，
∴△Q'BQ是等腰直角三角形，
∴当Q'B＝BQ＝1时，点Q的坐标为（3，1），
∴与（1，3）为45°﹣关联点的是Q1（3，1）．
故答案为Q1；
（2）如图所示，
对点P（m，8）（m＞1）而言，依定义，要使∠1＝∠2＝α＝45°，
则有：P'为（0，8﹣m），Q'为（8﹣m，0），
于是函数y＝x﹣（8﹣m）（x＞8﹣m）上的点Q即为点P的45°﹣关联点．
若当点Q在线段MN上时，yQ＝4，则有xQ＝12﹣m．
由6≤xQ≤8，得6≤12﹣m≤8，
解得4≤m≤6．
（3）．
∵点Q和点P在线段AB上，
当点P离B越近时，点Q的横坐标越小，
∴当点P，Q，B三点重合时，点P'，点Q'和点O重合，
过点P作PM⊥y轴于点M，
∵α＝30°，
∴∠BOM＝30°，
∵B（n，6），
∴OM＝6，
∴n＝BM＝OM•tan30°＝6×，
∴当线段AB上至少存在一对30°﹣关联点时，n＞2．
∴n的取值范围是n＞2．
【点评】本题考查一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的性质，点P与点Q为α﹣关联点的新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/22 19:16:58；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052变形
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（x+1）（x﹣5）＝﹣2
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3
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变形
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x（x﹣4）＝3
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（x﹣1）（x﹣t）＝6
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