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【解析版】北京市海淀区2022学年九年级上期中数学试卷
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这是一份【解析版】北京市海淀区2022学年九年级上期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．如图图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． y=x2+1 B． y=x2﹣1 C． y=（x+1）2+1 D． y=（x﹣1）2+1
3．袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球．下面说法正确的是（ ）
A． 这个球一定是黑球
B． 这个球一定是白球
C． “摸出黑球”的可能性大
D． “摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x﹣1）2=4 B． （x﹣1）2=﹣4 C． （x+1）2=4 D． （x+1）2=﹣4
5．如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（ ）
A． 29° B． 31° C． 59° D． 62°
7．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（ ）
A． x1=1，x2=﹣1 B． x1=﹣1，x2=2 C． x1=﹣1，x2=0 D． x1=1，x2=3
8．如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与A，B重合），过C作AB的垂线交半圆于点D，以点D，C，O为顶点作矩形DCOE．若AB=10，设AC=x，矩形DCOE的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是 ．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
11．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）
12．如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB．∠CAE=15°且AE=AC，连接GE．将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则∠CAF的度数为 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解方程：x2+3x﹣1=0．
14．如图，∠DAB=∠EAC，AB=AD，AC=AE．
求证：BC=DE．
15．已知二次函数的图象经过点（0，1），且顶点坐标为（2，5），求此二次函数的解析式．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．
17．若x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2=0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．
18．某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．
（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有 天；
（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．
20．已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x﹣3=0（a≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．
21．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若CD=6，求GF的长．
22．阅读下面材料：
小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|=2，=，=，所以数列2，﹣1，3的价值为．
小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，2”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为 ；
（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为 ，取得价值最小值的数列为 （写出一个即可）；
（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为 ．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y=kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于﹣8，求k的取值范围．
24．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．
（1）连接BD，
①如图1，若α=80°，则∠BDC的度数为 ；
②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限．以P为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交⊙P于点B（m，n），其中m≥0．
（1）若b=5，则点A坐标是 ；
（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；
（3）若点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，且△BQP是等腰三角形．
①直接写出实数a的取值范围： ；
②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为 ，并求出此时点B的坐标．
2022学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．如图图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形．
分析： 根据中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选B．
点评： 本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． y=x2+1 B． y=x2﹣1 C． y=（x+1）2+1 D． y=（x﹣1）2+1
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点（0，0）向上平移1个单位得到的点的坐标为（0，1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解答： 解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向上平移1个单位得到的点的坐标为（0，1），所以所得到的抛物线的解析式为y=x2+1．
故选A．
点评： 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
3．袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球．下面说法正确的是（ ）
A． 这个球一定是黑球
B． 这个球一定是白球
C． “摸出黑球”的可能性大
D． “摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大
考点： 可能性的大小．
分析： 根据概率公式先求出摸出黑球和白球的概率，再进行比较即可得出答案．
解答： 解：∵布袋中有除颜色外完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，
∴从布袋中随机摸出一个球是黑球的概率为=，摸出一个球是白球的概率为=，
∴摸出黑球”的可能性大；
故选C．
点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0时，配方后得到的方程为（ ）
A． （x﹣1）2=4 B． （x﹣1）2=﹣4 C． （x+1）2=4 D． （x+1）2=﹣4
考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 在本题中，把常数项﹣3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
解答： 解：把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4，
配方得（x﹣1）2=4．
故选：A．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，则的长为（ ）
A． B． C． D．
考点： 弧长的计算．
分析： 利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．
解答： 解：如图所示：∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，
∴∠AOB==72°，
∴的长为：=π．
故选：D．
点评： 此题主要考查了弧长公式应用，得出圆心角度数是解题关键．
6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（ ）
A． 29° B． 31° C． 59° D． 62°
考点： 圆周角定理．
分析： 由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，求得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠C的度数．
解答： 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=59°，
∴∠A=90°﹣∠ABD=31°，
∴∠C=∠A=31°．
故选B．
点评： 此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（ ）
A． x1=1，x2=﹣1 B． x1=﹣1，x2=2 C． x1=﹣1，x2=0 D． x1=1，x2=3
考点： 抛物线与x轴的交点．
分析： 根据抛物线与x轴交点的性质和根与系数的关系进行解答．
解答： 解：∵二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的一个根是x=1．
∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的另一根是t．
∴1+t=4，
解得 t=3．
即方程的另一根为3．
故选：D．
点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．注意二次函数解析式与一元二次方程间的转化关系．
8．如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与A，B重合），过C作AB的垂线交半圆于点D，以点D，C，O为顶点作矩形DCOE．若AB=10，设AC=x，矩形DCOE的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象．
分析： 按点C在半径OA或半径OB上两种情况分类讨论；首先运用射影定理求出DC的长度，借助矩形的面积公式即可求得y与x的函数关系．
解答： 解：根据题意结合图形，分情况讨论：
如图，①当点C在半径OA上时，连接AD、BD；
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，而DC⊥AB，
∴DC2=AC•BC，而AC=x，BC=10﹣x，
∴DC=，而OC=5﹣x，
∴y=（5﹣x）；
②当点C在半径OB上，即点C′的位置时，
同理可求：y=（x﹣5），
综上所述，y与x的函数关系式为：
y=．
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有C选项图象符合．
故选：C．
点评： 该题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、矩形的面积公式等几何知识点及其应用问题；作辅助线，牢固掌握圆周角定理及其推论、射影定理等几何知识点是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是 5 ．
考点： 切线的性质．
分析： 利用切线长定理得出PA=PB，再利用等边三角形的判定得出△PAB是等边三角形，即可得出答案．
解答： 解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB=PA=5，
故答案为：5．
点评： 此题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，得出△PAB是等边三角形是解题关键．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为 4 ．
考点： 根的判别式．
分析： 根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4k=0，然后解一次方程即可．
解答： 解：根据题意得△=（﹣4）2﹣4k=0，
解得k=4．
故答案为4．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
11．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 ＞ y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
分析： 根据二次函数的性质即可求解．
解答： 解：由y=x2可知，
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
∵﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，
∴2＜﹣x1＜4，
∴y1＞y2．
点评： 本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质．当a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
12．如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB．∠CAE=15°且AE=AC，连接GE．将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则∠CAF的度数为 30°或60° ．
考点： 旋转的性质．
分析： 根据旋转的性质可得AE=AF，然后利用“边边边”证明△AGE和△ADF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAF=∠CAE，然后分点F在AD的下方和上方两种情况讨论求解．
解答： 解：∵线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，
∴AE=AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵AG=AB，
∴AD=AG，
在△AGE和△ADF中，，
∴△AGE≌△ADF（SSS），
∴∠DAF=∠CAE=15°，
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠CAD=45°，
点F在AD的下方时，∠CAF=∠CAD﹣∠DAF=45°﹣15°=30°，
点F在AD的上方时，∠CAF=∠CAD+∠DAF=45°+15°=60°，
综上所述，∠CAF的度数为30°或60°．
故答案为：30°或60°．
点评： 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出∠DAF的度数是解题的关键，作出图形更形象直观．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解方程：x2+3x﹣1=0．
考点： 解一元二次方程-公式法．
专题： 计算题．
分析： 找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
解答： 解：这里a=1，b=3，c=﹣1，
∵△=9+4=13，
∴x=，
则x1=，x2=．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
14．如图，∠DAB=∠EAC，AB=AD，AC=AE．
求证：BC=DE．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 求出∠DAE=∠BAC，根据SAS推出△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质得出即可．
解答： 证明：∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
在△BAC和△DAE中，
∴△BAC≌△DAE，
∴BC=DE．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
15．已知二次函数的图象经过点（0，1），且顶点坐标为（2，5），求此二次函数的解析式．
考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+5，再把（0，1）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．
解答： 解：设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+5，
把（0，1）代入解析式得，1=a（0﹣2）2+5，
解得a=﹣1，
则抛物线的解析式为：y=﹣2x2+4x+1．
点评： 本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．
考点： 圆内接四边形的性质；圆周角定理．
分析： 先根据圆内接四边形的性质推出∠ADC=50°，再根据圆周角定理推出∠AOC=100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠OAC的度数．
解答： 解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ABC=130°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ADC=100°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°．
点评： 本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出∠AOC的度数．
17．若x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2=0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．
考点： 一元二次方程的解．
分析： 把x=1代入已知方程可以求得2m2﹣4m=﹣1，然后将其代入整理后的所求代数式进行求值即可．
解答： 解：依题意，得 1﹣4m+2m2=0，
∴2m2﹣4m=﹣1，
∴2（m﹣1）2+3=2（m2﹣2m+1）+3=2m2﹣4m+5=﹣1+5=4．即2（m﹣1）2+3=4．
点评： 本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
18．某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？
考点：一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 等量关系为：450×（1﹣减少的百分率）2=288，把相关数值代入计算即可；
解答： 解：设每期减少的百分率为x，
根据题意得：450×（1﹣x）2=288，
解得：x1=1.8（舍去），x2=0.2
解得x=20%．
答：每期减少的百分率是20%．
点评： 考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．
（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有 3 天；
（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．
考点： 条形统计图；概率公式．
分析： （1）根据空气质量指数大于200表示空气重度污染，找出统计图中空气质量指数大于200的天数即可；
（2）根据统计图求出空气质量优良的天数，再根据概率公式列式计算即可．
解答： 解：（1）根据统计图可得：空气质量指数大于200的有5日、8日、15日，共3天；
故答案为：3．
（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等，
由图可知，其中有9天空气质量优良，则P（到达当天空气质量优良）==．
点评： 本题考查的是条形统计图和概率公式．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
20．（5分）（2014秋•海淀区期中）已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x﹣3=0（a≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．
考点： 根的判别式；解一元二次方程-因式分解法．
分析： （1）根据a≠0，得出原方程为一元二次方程，再根据△=（a+3）2即可得出方程总有两个实数根．
（2）先求出原方程的解是x1=﹣1，x2=，再根据此方程有两个负整数根，且a为整数，得出a=﹣1或﹣3，最后根据x1=﹣1，x2=得出a≠﹣3即可．
解答： 解：（1）∵a≠0，
∴原方程为一元二次方程．
∴△=（a﹣3）2﹣4×a×（﹣3）=（a+3）2．
∵（a+3）2≥0．
∴此方程总有两个实数根．
（2）解原方程，得 x1=﹣1，x2=．
∵此方程有两个负整数根，且a为整数，
∴a=﹣1或﹣3．
∵x1=﹣1，x2=．
∴a≠﹣3．
∴a=﹣1．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
21．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若CD=6，求GF的长．
考点： 切线的判定．
分析： （1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；
（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出FG的长即可．
解答： （1）证明：连接OC．
∵OC=OD，∠D=30°，
∴∠OCD=∠D=30°．
∵∠G=30°，
∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°．
∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．
∴OC⊥CG．
又∵OC是⊙O的半径．
∴CG是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=CD=3．
∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，
∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．
设EO=x，则CO=2x．
∴（2x）2=x2+32．
解得x=（舍负值）．
∴CO=2．
∴FO=2．
在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，
∴GO=2CO=4．
∴GF=GO﹣FO=2．
点评： 此题主要考查了切线的判定，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
22．阅读下面材料：
小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|=2，=，=，所以数列2，﹣1，3的价值为．
小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，2”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为 ；
（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为 ，取得价值最小值的数列为 ﹣3，2，﹣4；或2，﹣3，﹣4． （写出一个即可）；
（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为 11或4 ．
考点： 规律型：数字的变化类．
专题： 阅读型．
分析： （1）根据上述材料给出的方法计算其相应的价值即可；
（2）按照三个数不同的顺序排列算出价值，由计算可以看出，要求得这些数列的价值的最小值；只有当前两个数的和的绝对值最小，最小只能为|﹣3+2|=1，由此得出答案即可；
（3）分情况算出对应的数值，建立方程求得a的数值即可．
解答： 解：（1）因为|﹣4|=4，||=3.5，||=，
所以数列﹣4，﹣3，2的价值为．
（2）数列的价值的最小值为||=，
数列可以为：﹣3，2，﹣4，；或2，﹣3，﹣4．
（3）当||=1，则a=0，不合题意；
当||=1，则a=11；
当||=1，则a=4．
故答案为：；，﹣3，2，﹣4，；或2，﹣3，﹣4；11或4．
点评： 此题考查数字的变化规律，理解运算的方法是解决问题的关键．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y=kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于﹣8，求k的取值范围．
考点： 二次函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）对于抛物线解析式，令y=0得到关于x的方程，求出方程的解，根据A在B的左侧且m大于0，求A的坐标即可；
（2）由（1）的结果表示出B的坐标，根据抛物线与y轴交于点C，表示出C坐标，进而表示出AB与OC，由三角形ABC面积为15，利用三角形面积公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出抛物线解析式；
（3）由（2）中m的值确定出C坐标，设直线l解析式为y=kx+b，把C坐标代入求出b的值，抛物线解析式配方后，经判断得到当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于﹣8，令y=﹣8求出x的值，确定出抛物线经过点（3，﹣8），把（3，﹣8）代入一次函数解析式求出k的值，由图象确定出满足题意k的范围即可．
解答： 解：（1）∵抛物线y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点，
∴令y=0，即x2﹣（m﹣1）x﹣m=0，
解得：x1=﹣1，x2=m，
又∵点A在点B左侧，且m＞0，
∴点A的坐标为（﹣1，0）；
（2）由（1）可知点B的坐标为（m，0），
∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，﹣m），
∵m＞0，
∴AB=m+1，OC=m，
∵S△ABC=15，
∴m（m+1）=15，即m2+m﹣30=0，
解得：m=﹣6或m=5，
∵m＞0，
∴m=5；
则抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5；
（3）由（2）可知点C的坐标为（0，﹣5），
∵直线l：y=kx+b（k＜0）经过点C，
∴b=﹣5，
∴直线l的解析式为y=kx﹣5（k＜0），
∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，
∴当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为﹣9，不符合题意；
当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于﹣8，
令y=﹣8，即x2﹣4x﹣5=﹣8，
解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=3，
∴抛物线经过点（3，﹣8），
当直线y=kx﹣5（k＜0）经过点（3，﹣8）时，可求得k=﹣1，
由图象可知，当﹣1＜k＜0时新函数的最小值大于﹣8．
点评： 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，抛物线与x轴的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
24．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．
（1）连接BD，
①如图1，若α=80°，则∠BDC的度数为 30° ；
②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．
考点： 几何变换综合题．
分析： （1）①根据图形旋转的性质可知AB=AC=AD，再由圆周角定理即可得出结论；
②不变，证明过程同①；
（2）过点AM⊥CD于点M，连接EM，先根据AAS定理得出△AEB≌△AMC，故可得出AE=AM，∠BAE=∠CAM，所以△AEM是等边三角形．根据AC=AD，AM⊥CD可知CM=DM．故可得出点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上．由圆周角定理可得出结论．
解答： 解：（1）①∵线段AC，AD由AB旋转而成，
∴AB=AC=AD．
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
∴∠BDC=∠BAC=30°．
故答案为：30°．
②不改变，∠BDC的度数为30°．
方法一：
由题意知，AB=AC=AD．
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
∴∠BDC=∠BAC=30°．
方法二：
由题意知，AB=AC=AD．
∵AC=AD，∠CAD=α，
∴∠ADC=∠C==90°﹣α．
∵AB=AD，∠BAD=60°+α，
∴∠ADB=∠B===60°﹣α．
∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=（90°﹣α）﹣（60°﹣α）=30°．
（2）过点AM⊥CD于点M，连接EM．
∵∠AMD=90°，
∴∠AMC=90°．
在△AEB与△AMC中，
，
∴△AEB≌△AMC（AAS）．
∴AE=AM，∠BAE=∠CAM．
∴∠EAM=∠EAC+∠CAM=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°．
∴△AEM是等边三角形．
∴EM=AM=AE．
∵AC=AD，AM⊥CD，
∴CM=DM．
又∵∠DEC=90°，
∴EM=CM=DM．
∴AM=CM=DM．
∴点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上．
∴α=∠CAD=90°．
点评： 本题考查的是几何变换综合题，涉及到图形旋转的性质、等边三角形的性质及圆周角定理，难度适中．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限．以P为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交⊙P于点B（m，n），其中m≥0．
（1）若b=5，则点A坐标是 （0，10） ；
（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；
（3）若点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，且△BQP是等腰三角形．
①直接写出实数a的取值范围： a≥1 ；
②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为 ，并求出此时点B的坐标．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）过点P作PH⊥OA于点H，由垂径定理可求出OA的长，进而可求出A的坐标；
（2）连接BP、OP，由已知条件易求QH，在Rt△QHP中，由勾股定理可得：PQ2=QH2+PH2=9+PH2，在RtPHO中，由勾股定理可得：PO2=OH2+PH2=25+PH2=BP2，
进而在RtBQP中，BQ2=BP2﹣PQ2=（25+PH2）﹣（9+PH2）=16．所以BQ=4；
（3）①把P点的坐标代入抛物线解析式可得到b=a2，进而可求出a≥1；②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为，作BM⊥y轴于点M，首先求出a=2，再求出MQ=PH=2，利用勾股定理可求出MB=QH==．所以可得：B1（，6+），若点Q在OH上，再由抛物线对称性可得B2（，2﹣）综上，当PQ=时，B点坐标为（，6+）或（，2﹣）．
解答： 解：（1）过点P作PH⊥OA于点H，
∴OA=2OH，
∵b=5，
∴OH=5，
∴OA=10，
∴点A坐标是（0，10）．
故答案为：（0，10）．
（2）连接BP、OP．
∵b=5，PH⊥OA，
∴OH=AH=5．
∵OQ=8，
∴QH=OQ﹣OH=3．
在Rt△QHP中，PQ2=QH2+PH2=9+PH2，
在RtPHO中，PO2=OH2+PH2=25+PH2=BP2，
在RtBQP中，BQ2=BP2﹣PQ2=（25+PH2）﹣（9+PH2）=16．
∴BQ=4．
（3）①∵点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，
∴b=a2，
∴a≥1，
故答案为：a≥1；
②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为，
理由如下：
∵△BQP是等腰直角三角形，PQ=，
∴半径BP=2．
又∵P（a，a2），
∴OP2=a2+a4=（2）2．
即a4+a2﹣20=0．
解得a=±2．
∵a＞0
∴a=2．
∴P（2，4）．
如图，作BM⊥y轴于点M，则△QBM≌△PQH．
∴MQ=PH=2，
∴MB=QH==．
∴B1（，6+）．
若点Q在OH上，由对称性可得B2（，2﹣）
综上，当PQ=时，B点坐标为（，6+）或（，2﹣）．
点评： 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理的运用，三角形全等、探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
2022学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．如图图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． y=x2+1 B． y=x2﹣1 C． y=（x+1）2+1 D． y=（x﹣1）2+1
3．袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球．下面说法正确的是（ ）
A． 这个球一定是黑球
B． 这个球一定是白球
C． “摸出黑球”的可能性大
D． “摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x﹣1）2=4 B． （x﹣1）2=﹣4 C． （x+1）2=4 D． （x+1）2=﹣4
5．如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（ ）
A． 29° B． 31° C． 59° D． 62°
7．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（ ）
A． x1=1，x2=﹣1 B． x1=﹣1，x2=2 C． x1=﹣1，x2=0 D． x1=1，x2=3
8．如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与A，B重合），过C作AB的垂线交半圆于点D，以点D，C，O为顶点作矩形DCOE．若AB=10，设AC=x，矩形DCOE的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是 ．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
11．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）
12．如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB．∠CAE=15°且AE=AC，连接GE．将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则∠CAF的度数为 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解方程：x2+3x﹣1=0．
14．如图，∠DAB=∠EAC，AB=AD，AC=AE．
求证：BC=DE．
15．已知二次函数的图象经过点（0，1），且顶点坐标为（2，5），求此二次函数的解析式．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．
17．若x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2=0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．
18．某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．
（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有 天；
（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．
20．已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x﹣3=0（a≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．
21．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若CD=6，求GF的长．
22．阅读下面材料：
小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|=2，=，=，所以数列2，﹣1，3的价值为．
小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，2”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为 ；
（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为 ，取得价值最小值的数列为 （写出一个即可）；
（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为 ．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y=kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于﹣8，求k的取值范围．
24．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．
（1）连接BD，
①如图1，若α=80°，则∠BDC的度数为 ；
②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限．以P为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交⊙P于点B（m，n），其中m≥0．
（1）若b=5，则点A坐标是 ；
（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；
（3）若点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，且△BQP是等腰三角形．
①直接写出实数a的取值范围： ；
②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为 ，并求出此时点B的坐标．
2022学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．如图图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形．
分析： 根据中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选B．
点评： 本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． y=x2+1 B． y=x2﹣1 C． y=（x+1）2+1 D． y=（x﹣1）2+1
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点（0，0）向上平移1个单位得到的点的坐标为（0，1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解答： 解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向上平移1个单位得到的点的坐标为（0，1），所以所得到的抛物线的解析式为y=x2+1．
故选A．
点评： 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
3．袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球．下面说法正确的是（ ）
A． 这个球一定是黑球
B． 这个球一定是白球
C． “摸出黑球”的可能性大
D． “摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大
考点： 可能性的大小．
分析： 根据概率公式先求出摸出黑球和白球的概率，再进行比较即可得出答案．
解答： 解：∵布袋中有除颜色外完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，
∴从布袋中随机摸出一个球是黑球的概率为=，摸出一个球是白球的概率为=，
∴摸出黑球”的可能性大；
故选C．
点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0时，配方后得到的方程为（ ）
A． （x﹣1）2=4 B． （x﹣1）2=﹣4 C． （x+1）2=4 D． （x+1）2=﹣4
考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 在本题中，把常数项﹣3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
解答： 解：把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4，
配方得（x﹣1）2=4．
故选：A．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，则的长为（ ）
A． B． C． D．
考点： 弧长的计算．
分析： 利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．
解答： 解：如图所示：∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，
∴∠AOB==72°，
∴的长为：=π．
故选：D．
点评： 此题主要考查了弧长公式应用，得出圆心角度数是解题关键．
6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（ ）
A． 29° B． 31° C． 59° D． 62°
考点： 圆周角定理．
分析： 由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，求得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠C的度数．
解答： 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=59°，
∴∠A=90°﹣∠ABD=31°，
∴∠C=∠A=31°．
故选B．
点评： 此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（ ）
A． x1=1，x2=﹣1 B． x1=﹣1，x2=2 C． x1=﹣1，x2=0 D． x1=1，x2=3
考点： 抛物线与x轴的交点．
分析： 根据抛物线与x轴交点的性质和根与系数的关系进行解答．
解答： 解：∵二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的一个根是x=1．
∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的另一根是t．
∴1+t=4，
解得 t=3．
即方程的另一根为3．
故选：D．
点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．注意二次函数解析式与一元二次方程间的转化关系．
8．如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与A，B重合），过C作AB的垂线交半圆于点D，以点D，C，O为顶点作矩形DCOE．若AB=10，设AC=x，矩形DCOE的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象．
分析： 按点C在半径OA或半径OB上两种情况分类讨论；首先运用射影定理求出DC的长度，借助矩形的面积公式即可求得y与x的函数关系．
解答： 解：根据题意结合图形，分情况讨论：
如图，①当点C在半径OA上时，连接AD、BD；
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，而DC⊥AB，
∴DC2=AC•BC，而AC=x，BC=10﹣x，
∴DC=，而OC=5﹣x，
∴y=（5﹣x）；
②当点C在半径OB上，即点C′的位置时，
同理可求：y=（x﹣5），
综上所述，y与x的函数关系式为：
y=．
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有C选项图象符合．
故选：C．
点评： 该题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、矩形的面积公式等几何知识点及其应用问题；作辅助线，牢固掌握圆周角定理及其推论、射影定理等几何知识点是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是 5 ．
考点： 切线的性质．
分析： 利用切线长定理得出PA=PB，再利用等边三角形的判定得出△PAB是等边三角形，即可得出答案．
解答： 解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB=PA=5，
故答案为：5．
点评： 此题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，得出△PAB是等边三角形是解题关键．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为 4 ．
考点： 根的判别式．
分析： 根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4k=0，然后解一次方程即可．
解答： 解：根据题意得△=（﹣4）2﹣4k=0，
解得k=4．
故答案为4．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
11．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 ＞ y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
分析： 根据二次函数的性质即可求解．
解答： 解：由y=x2可知，
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
∵﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，
∴2＜﹣x1＜4，
∴y1＞y2．
点评： 本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质．当a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
12．如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB．∠CAE=15°且AE=AC，连接GE．将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则∠CAF的度数为 30°或60° ．
考点： 旋转的性质．
分析： 根据旋转的性质可得AE=AF，然后利用“边边边”证明△AGE和△ADF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAF=∠CAE，然后分点F在AD的下方和上方两种情况讨论求解．
解答： 解：∵线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，
∴AE=AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵AG=AB，
∴AD=AG，
在△AGE和△ADF中，，
∴△AGE≌△ADF（SSS），
∴∠DAF=∠CAE=15°，
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠CAD=45°，
点F在AD的下方时，∠CAF=∠CAD﹣∠DAF=45°﹣15°=30°，
点F在AD的上方时，∠CAF=∠CAD+∠DAF=45°+15°=60°，
综上所述，∠CAF的度数为30°或60°．
故答案为：30°或60°．
点评： 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出∠DAF的度数是解题的关键，作出图形更形象直观．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解方程：x2+3x﹣1=0．
考点： 解一元二次方程-公式法．
专题： 计算题．
分析： 找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
解答： 解：这里a=1，b=3，c=﹣1，
∵△=9+4=13，
∴x=，
则x1=，x2=．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
14．如图，∠DAB=∠EAC，AB=AD，AC=AE．
求证：BC=DE．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 求出∠DAE=∠BAC，根据SAS推出△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质得出即可．
解答： 证明：∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
在△BAC和△DAE中，
∴△BAC≌△DAE，
∴BC=DE．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
15．已知二次函数的图象经过点（0，1），且顶点坐标为（2，5），求此二次函数的解析式．
考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+5，再把（0，1）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．
解答： 解：设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+5，
把（0，1）代入解析式得，1=a（0﹣2）2+5，
解得a=﹣1，
则抛物线的解析式为：y=﹣2x2+4x+1．
点评： 本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．
考点： 圆内接四边形的性质；圆周角定理．
分析： 先根据圆内接四边形的性质推出∠ADC=50°，再根据圆周角定理推出∠AOC=100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠OAC的度数．
解答： 解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ABC=130°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ADC=100°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°．
点评： 本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出∠AOC的度数．
17．若x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2=0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．
考点： 一元二次方程的解．
分析： 把x=1代入已知方程可以求得2m2﹣4m=﹣1，然后将其代入整理后的所求代数式进行求值即可．
解答： 解：依题意，得 1﹣4m+2m2=0，
∴2m2﹣4m=﹣1，
∴2（m﹣1）2+3=2（m2﹣2m+1）+3=2m2﹣4m+5=﹣1+5=4．即2（m﹣1）2+3=4．
点评： 本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
18．某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？
考点：一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 等量关系为：450×（1﹣减少的百分率）2=288，把相关数值代入计算即可；
解答： 解：设每期减少的百分率为x，
根据题意得：450×（1﹣x）2=288，
解得：x1=1.8（舍去），x2=0.2
解得x=20%．
答：每期减少的百分率是20%．
点评： 考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．
（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有 3 天；
（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．
考点： 条形统计图；概率公式．
分析： （1）根据空气质量指数大于200表示空气重度污染，找出统计图中空气质量指数大于200的天数即可；
（2）根据统计图求出空气质量优良的天数，再根据概率公式列式计算即可．
解答： 解：（1）根据统计图可得：空气质量指数大于200的有5日、8日、15日，共3天；
故答案为：3．
（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等，
由图可知，其中有9天空气质量优良，则P（到达当天空气质量优良）==．
点评： 本题考查的是条形统计图和概率公式．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
20．（5分）（2014秋•海淀区期中）已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x﹣3=0（a≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．
考点： 根的判别式；解一元二次方程-因式分解法．
分析： （1）根据a≠0，得出原方程为一元二次方程，再根据△=（a+3）2即可得出方程总有两个实数根．
（2）先求出原方程的解是x1=﹣1，x2=，再根据此方程有两个负整数根，且a为整数，得出a=﹣1或﹣3，最后根据x1=﹣1，x2=得出a≠﹣3即可．
解答： 解：（1）∵a≠0，
∴原方程为一元二次方程．
∴△=（a﹣3）2﹣4×a×（﹣3）=（a+3）2．
∵（a+3）2≥0．
∴此方程总有两个实数根．
（2）解原方程，得 x1=﹣1，x2=．
∵此方程有两个负整数根，且a为整数，
∴a=﹣1或﹣3．
∵x1=﹣1，x2=．
∴a≠﹣3．
∴a=﹣1．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
21．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若CD=6，求GF的长．
考点： 切线的判定．
分析： （1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；
（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出FG的长即可．
解答： （1）证明：连接OC．
∵OC=OD，∠D=30°，
∴∠OCD=∠D=30°．
∵∠G=30°，
∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°．
∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．
∴OC⊥CG．
又∵OC是⊙O的半径．
∴CG是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=CD=3．
∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，
∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．
设EO=x，则CO=2x．
∴（2x）2=x2+32．
解得x=（舍负值）．
∴CO=2．
∴FO=2．
在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，
∴GO=2CO=4．
∴GF=GO﹣FO=2．
点评： 此题主要考查了切线的判定，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
22．阅读下面材料：
小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|=2，=，=，所以数列2，﹣1，3的价值为．
小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，2”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为 ；
（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为 ，取得价值最小值的数列为 ﹣3，2，﹣4；或2，﹣3，﹣4． （写出一个即可）；
（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为 11或4 ．
考点： 规律型：数字的变化类．
专题： 阅读型．
分析： （1）根据上述材料给出的方法计算其相应的价值即可；
（2）按照三个数不同的顺序排列算出价值，由计算可以看出，要求得这些数列的价值的最小值；只有当前两个数的和的绝对值最小，最小只能为|﹣3+2|=1，由此得出答案即可；
（3）分情况算出对应的数值，建立方程求得a的数值即可．
解答： 解：（1）因为|﹣4|=4，||=3.5，||=，
所以数列﹣4，﹣3，2的价值为．
（2）数列的价值的最小值为||=，
数列可以为：﹣3，2，﹣4，；或2，﹣3，﹣4．
（3）当||=1，则a=0，不合题意；
当||=1，则a=11；
当||=1，则a=4．
故答案为：；，﹣3，2，﹣4，；或2，﹣3，﹣4；11或4．
点评： 此题考查数字的变化规律，理解运算的方法是解决问题的关键．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y=kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于﹣8，求k的取值范围．
考点： 二次函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）对于抛物线解析式，令y=0得到关于x的方程，求出方程的解，根据A在B的左侧且m大于0，求A的坐标即可；
（2）由（1）的结果表示出B的坐标，根据抛物线与y轴交于点C，表示出C坐标，进而表示出AB与OC，由三角形ABC面积为15，利用三角形面积公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出抛物线解析式；
（3）由（2）中m的值确定出C坐标，设直线l解析式为y=kx+b，把C坐标代入求出b的值，抛物线解析式配方后，经判断得到当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于﹣8，令y=﹣8求出x的值，确定出抛物线经过点（3，﹣8），把（3，﹣8）代入一次函数解析式求出k的值，由图象确定出满足题意k的范围即可．
解答： 解：（1）∵抛物线y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点，
∴令y=0，即x2﹣（m﹣1）x﹣m=0，
解得：x1=﹣1，x2=m，
又∵点A在点B左侧，且m＞0，
∴点A的坐标为（﹣1，0）；
（2）由（1）可知点B的坐标为（m，0），
∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，﹣m），
∵m＞0，
∴AB=m+1，OC=m，
∵S△ABC=15，
∴m（m+1）=15，即m2+m﹣30=0，
解得：m=﹣6或m=5，
∵m＞0，
∴m=5；
则抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5；
（3）由（2）可知点C的坐标为（0，﹣5），
∵直线l：y=kx+b（k＜0）经过点C，
∴b=﹣5，
∴直线l的解析式为y=kx﹣5（k＜0），
∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，
∴当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为﹣9，不符合题意；
当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于﹣8，
令y=﹣8，即x2﹣4x﹣5=﹣8，
解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=3，
∴抛物线经过点（3，﹣8），
当直线y=kx﹣5（k＜0）经过点（3，﹣8）时，可求得k=﹣1，
由图象可知，当﹣1＜k＜0时新函数的最小值大于﹣8．
点评： 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，抛物线与x轴的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
24．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．
（1）连接BD，
①如图1，若α=80°，则∠BDC的度数为 30° ；
②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．
考点： 几何变换综合题．
分析： （1）①根据图形旋转的性质可知AB=AC=AD，再由圆周角定理即可得出结论；
②不变，证明过程同①；
（2）过点AM⊥CD于点M，连接EM，先根据AAS定理得出△AEB≌△AMC，故可得出AE=AM，∠BAE=∠CAM，所以△AEM是等边三角形．根据AC=AD，AM⊥CD可知CM=DM．故可得出点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上．由圆周角定理可得出结论．
解答： 解：（1）①∵线段AC，AD由AB旋转而成，
∴AB=AC=AD．
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
∴∠BDC=∠BAC=30°．
故答案为：30°．
②不改变，∠BDC的度数为30°．
方法一：
由题意知，AB=AC=AD．
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
∴∠BDC=∠BAC=30°．
方法二：
由题意知，AB=AC=AD．
∵AC=AD，∠CAD=α，
∴∠ADC=∠C==90°﹣α．
∵AB=AD，∠BAD=60°+α，
∴∠ADB=∠B===60°﹣α．
∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=（90°﹣α）﹣（60°﹣α）=30°．
（2）过点AM⊥CD于点M，连接EM．
∵∠AMD=90°，
∴∠AMC=90°．
在△AEB与△AMC中，
，
∴△AEB≌△AMC（AAS）．
∴AE=AM，∠BAE=∠CAM．
∴∠EAM=∠EAC+∠CAM=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°．
∴△AEM是等边三角形．
∴EM=AM=AE．
∵AC=AD，AM⊥CD，
∴CM=DM．
又∵∠DEC=90°，
∴EM=CM=DM．
∴AM=CM=DM．
∴点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上．
∴α=∠CAD=90°．
点评： 本题考查的是几何变换综合题，涉及到图形旋转的性质、等边三角形的性质及圆周角定理，难度适中．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限．以P为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交⊙P于点B（m，n），其中m≥0．
（1）若b=5，则点A坐标是 （0，10） ；
（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；
（3）若点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，且△BQP是等腰三角形．
①直接写出实数a的取值范围： a≥1 ；
②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为 ，并求出此时点B的坐标．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）过点P作PH⊥OA于点H，由垂径定理可求出OA的长，进而可求出A的坐标；
（2）连接BP、OP，由已知条件易求QH，在Rt△QHP中，由勾股定理可得：PQ2=QH2+PH2=9+PH2，在RtPHO中，由勾股定理可得：PO2=OH2+PH2=25+PH2=BP2，
进而在RtBQP中，BQ2=BP2﹣PQ2=（25+PH2）﹣（9+PH2）=16．所以BQ=4；
（3）①把P点的坐标代入抛物线解析式可得到b=a2，进而可求出a≥1；②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为，作BM⊥y轴于点M，首先求出a=2，再求出MQ=PH=2，利用勾股定理可求出MB=QH==．所以可得：B1（，6+），若点Q在OH上，再由抛物线对称性可得B2（，2﹣）综上，当PQ=时，B点坐标为（，6+）或（，2﹣）．
解答： 解：（1）过点P作PH⊥OA于点H，
∴OA=2OH，
∵b=5，
∴OH=5，
∴OA=10，
∴点A坐标是（0，10）．
故答案为：（0，10）．
（2）连接BP、OP．
∵b=5，PH⊥OA，
∴OH=AH=5．
∵OQ=8，
∴QH=OQ﹣OH=3．
在Rt△QHP中，PQ2=QH2+PH2=9+PH2，
在RtPHO中，PO2=OH2+PH2=25+PH2=BP2，
在RtBQP中，BQ2=BP2﹣PQ2=（25+PH2）﹣（9+PH2）=16．
∴BQ=4．
（3）①∵点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，
∴b=a2，
∴a≥1，
故答案为：a≥1；
②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为，
理由如下：
∵△BQP是等腰直角三角形，PQ=，
∴半径BP=2．
又∵P（a，a2），
∴OP2=a2+a4=（2）2．
即a4+a2﹣20=0．
解得a=±2．
∵a＞0
∴a=2．
∴P（2，4）．
如图，作BM⊥y轴于点M，则△QBM≌△PQH．
∴MQ=PH=2，
∴MB=QH==．
∴B1（，6+）．
若点Q在OH上，由对称性可得B2（，2﹣）
综上，当PQ=时，B点坐标为（，6+）或（，2﹣）．
点评： 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理的运用，三角形全等、探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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