2021-2022学年北京市海淀区八一学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市海淀区八一学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6B．x2+x2＝2x4C．x6÷x2＝x3D．（﹣2x）2＝4x2
3．（3分）已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BDC的度数是（ ）
A．95°B．90°C．85°D．80°
4．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
6．（3分）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
小聪作法正确的理由是（ ）
A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
D．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB
7．（3分）如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（ ）
A．14B．9C．﹣1D．﹣6
8．（3分）已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（ ）
①长方形ABCD的长宽之比可能为2；
②图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长；
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形；
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．
A．②③B．①③C．②③④D．①③④
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）直接写出计算结果：（2ab2）3＝ ．
10．（2分）点M（﹣1，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是 ．
11．（2分）如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是 度．
12．（2分）分解因式：x2﹣6x+9＝ ．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 ．
14．（2分）已知（a+b）2＝32，a﹣b＝2，则ab＝ ．
15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）．
16．（2分）如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…
（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是 ；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范围是 ．
三、解答题（17，18题每小题12分，19、20题每题4分，21题5分，22题4分，23题3分，24题5分，25题4分，26题6分，27题7分，共60分）
17．（12分）计算：
（1）6x2•3xy．
（2）（3x+1）（x﹣2）．
（3）（6x4﹣9x3）÷3x2．
（4）（x+2y）2．
18．（6分）分解因式：
（1）12xyz﹣9x2y2；
（2）a2m﹣25m．
19．（4分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．
20．（4分）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），其中a＝﹣1，b＝2．
21．（5分）在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：（ ），B′（ ），C′（ ）．
（3）点Q在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有 个．
22．（4分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
23．（3分）如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
24．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．
25．（4分）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：
对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式x2﹣4x+6关于x＝ 对称；
（2）若关于x的多项式x2+2ax+3关于x＝4对称，求a的值；
（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣6x+9）关于x＝ 对称．
26．（6分）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．
求证：∠ABC＝2∠ACB．
小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝ ，连接DF．
请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．
请你解答小芸提出的这个问题；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．
小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
27．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P1，再将点P1关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′，C′的坐标分别是 ；
（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点D′，求线段DD′的长；
（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．
2021-2022学年北京市海淀区八一学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共16分）
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6B．x2+x2＝2x4C．x6÷x2＝x3D．（﹣2x）2＝4x2
【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
选项B根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
选项C根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；
选项D根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【解答】解：A．x2•x3＝x5，故本选项不合题意；
B．x2+x2＝2x2，故本选项不合题意；
C．x6÷x2＝x4，故本选项不合题意；
D．（﹣2x）2＝4x2，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
3．（3分）已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BDC的度数是（ ）
A．95°B．90°C．85°D．80°
【分析】根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C＝∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC＝∠A+∠C，代入求出即可．
【解答】解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠C＝∠B，
∵∠B＝25°，
∴∠C＝25°，
∵∠A＝60°，
∴∠BDC＝∠A+∠C＝85°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠BDC＝∠A+∠C．
4．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DBA＝∠A＝40°，计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．（3分）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
小聪作法正确的理由是（ ）
A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
D．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB
【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了全等三角形的判定．
7．（3分）如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（ ）
A．14B．9C．﹣1D．﹣6
【分析】直接利用单项式乘多项式计算，再把已知代入得出答案．
【解答】解：m（m﹣2）+（m+2）2
＝m2﹣2m+m2+4m+4
＝2m2+2m+4．
当m2+m＝5时，原式＝2（m2+m）+4＝2×5+4＝10+4＝14．
故选：A．
【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，完全平方公式，正确将原式变形是解题关键．
8．（3分）已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（ ）
①长方形ABCD的长宽之比可能为2；
②图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长；
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形；
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．
A．②③B．①③C．②③④D．①③④
【分析】假设长方形的长宽比是2，推导出与已知的矛盾，排除①，根据正方形定义和长方形的周长公式判断②③，根据长方形的周长为60，推导出该长方形的面积大于100，从而说明④错误．
【解答】解：如图：
①长方形的长为a+2b，宽为2a+b，若该长方形的长宽之比为2，则a+2b＝2（2a+b），
解得a＝0．这与题意不符，故①的说法不正确；
②四边形AEFG、FHKM、SKWC的周长之和等于长方形ABCD的周长，故②正确；
③当长方形ABCD为正方形时，2a+b＝a+2b，
所以a＝b，所以九部分都为正方形，故③的说法正确；
④当长方形ABCD的周长为60时，即2（2a+b+a+2b）＝60，
整理，得a+b＝10，
∴四边形GHWD的面积为100，长方形ABCD的面积大于100，故④的说法不正确．
综上所述，正确的是：②③．
故选：A．
【点评】本题考查了长方形、正方形的周长和面积即等式的性质等知识点，掌握正方形的判定、长方形的周长公式和正方形的面积公式是解决本题的关键．
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）直接写出计算结果：（2ab2）3＝ 8a3b6 ．
【分析】利用积的乘方的法则对式子进行运算即可．
【解答】解：（2ab2）3
＝23×a3（b2）3
＝8a3b6．
故答案为：8a3b6．
【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握．
10．（2分）点M（﹣1，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是 （﹣1，3） ．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点M（﹣1，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
11．（2分）如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是 20 度．
【分析】由已知等腰三角形的一个底角是80°，利用等腰三角形的性质得另一个底角也是80°，结合三角形内角和定理可求顶角的度数
【解答】解：∵三角形是等腰三角形，
∴两个底角相等，
∵等腰三角形的一个底角是80°，
∴另一个底角也是80°，
∴顶角的度数为180°﹣80°﹣80°＝20°．
故填20．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；借助三角形的内角定理求解有关角的度数问题是一种很重要的方法，要熟练掌握．
12．（2分）分解因式：x2﹣6x+9＝ （x﹣3）2 ．
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x﹣3）2．
故答案为：（x﹣3）2
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 2 ．
【分析】直接利用角平分线的性质得出D到AB的距离，进而利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝1，
∵AB＝4，
∴S△ABD＝×DE×AB＝×1×4＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确得出D到AB的距离是解题关键．
14．（2分）已知（a+b）2＝32，a﹣b＝2，则ab＝ 7 ．
【分析】由a﹣b＝2，得（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4．由（a+b）2＝32，得a2+b2+2ab＝32，那么（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝28，从而解决此题．
【解答】解：∵a﹣b＝2，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4．
∵（a+b）2＝32，
∴a2+b2+2ab＝32．
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝28．
∴ab＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查完全平方公式以及整式的加减运算，熟练掌握完全平方公式以及整式的加减运算法则是解决本题的关键．
15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 BD＝CD （写出一个即可）．
【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
∴在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：BD＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
16．（2分）如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…
（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是 △P1P2P3 ；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范围是 18°≤α＜22.5° ．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠OP2P3即可判断．
（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，解不等式即可解决问题．
【解答】解：（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，
∴∠OP2P1＝∠O＝30°，
∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°，
∴∠OP2P3＝90°，
∴△P2P3P4不存在，
∴得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3．
故答案为△P1P2P3．
（2）由题意要使得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，
需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，
∴18°≤α＜22.5°，
故答案为18°≤α＜22.5°．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（17，18题每小题12分，19、20题每题4分，21题5分，22题4分，23题3分，24题5分，25题4分，26题6分，27题7分，共60分）
17．（12分）计算：
（1）6x2•3xy．
（2）（3x+1）（x﹣2）．
（3）（6x4﹣9x3）÷3x2．
（4）（x+2y）2．
【分析】（1）利用单项式乘以单项式计算法则进行计算；
（2）利用多项式乘以多项式计算法则，再算加减即可；
（3）多项式除以单项式计算法则进行计算，然后再计算减法即可；
（4）利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）6x2•3xy＝18x3y．
（2）（3x+1）（x﹣2）
＝3x2﹣6x+x﹣2
＝3x2﹣5x﹣2．
（3）（6x4﹣9x3）÷3x2
＝6x4÷3x2﹣9x3÷3x2
＝2x2﹣3x．
（4）（x+2y）2
＝x2+4y2+4xy．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
18．（6分）分解因式：
（1）12xyz﹣9x2y2；
（2）a2m﹣25m．
【分析】（1）直接提公因式3xy即可；
（2）先提公因式m，再应用平方差公式．
【解答】解：（1）原式＝3xy（4z﹣3xy）；
（2）原式＝m（a2﹣25）＝m（a+5）（a﹣5）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
19．（4分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．
【分析】证明它们所在的三角形全等即可．根据等式的性质可得BC＝EF．运用SSS证明△ABC与△DEF全等．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ABC＝∠DEF，
∴AB∥DE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．
20．（4分）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），其中a＝﹣1，b＝2．
【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），
＝4a2﹣b2﹣4a2+12ab
＝﹣b2+12ab，
当a＝﹣1，b＝2时，
原式＝﹣22+12×（﹣1）×2
＝﹣4﹣24
＝﹣28．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
21．（5分）在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：（ 4，1 ），B′（ 2，4 ），C′（ ﹣1，﹣2 ）．
（3）点Q在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有 10 个．
【分析】（1）由点的对称性，作出图形即可；
（2）关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解；
（3）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解．
【解答】解：（1）如图1：
（2）由图可知A（﹣4，1），B（﹣2，3），C（1，﹣2），
∴A点关于y轴对称的点为（4，1），B点关于y轴对称的点为（2，4），C点关于y轴对称的点为（﹣1，﹣2），
故答案为：（4，1），（2，4），（﹣1，﹣2）；
（3）如图：以B为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，
以C为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，
作线段BC的垂直平分线，此线与坐标轴有2个交点，
∴△BCQ是等腰三角形时，Q点坐标有10个，
故答案为10．
【点评】本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键．
22．（4分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
【分析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．
【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键．
23．（3分）如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【分析】到两条公路的距离相等，在这两条公路的夹角的平分线上；到两所大学的距离相等，在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上，所画两条直线的交点即为所求的位置．
【解答】解：
则点P为所求．
【点评】用到的知识点为：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
24．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．
【分析】（1）根据HL证明Rt△CAE与Rt△ABD全等，进而解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．
【解答】证明：（1）∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠BAC＝90°，
在Rt△CAE与Rt△ABD中，
，
∴Rt△CAE≌Rt△ABD（HL），
∴CE＝AD．
（2）由（1）得Rt△CAE≌Rt△ABD，
∴∠EAC＝∠ABD，∠E＝∠ADB．
由（1）得CE＝AD，
∵AD＝CF，
∴CE＝CF．
∴∠CFE＝∠E，
∵∠CFE＝∠AFB，
∴∠AFB＝∠E．
∵∠E＝∠ADB，
∴∠AFB＝∠ADB，
∵∠AGB＝∠EAC+∠ADB，∠AGB＝∠DBC+∠AFB，
∴∠EAC＝∠DBC．
∵∠EAC＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠DBC，
∴BD平分∠ABC．
【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据HL证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
25．（4分）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：
对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式x2﹣4x+6关于x＝ 2 对称；
（2）若关于x的多项式x2+2ax+3关于x＝4对称，求a的值；
（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣6x+9）关于x＝ ﹣ 对称．
【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可；
（2）求出x2+2bx+3的对称轴，令对称轴x＝4即可；
（3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
则多项式关于x＝2对称，
故答案为：2；
（2）∵x2+2ax+3＝（x+a）2+3﹣a2，
∴关于x的多项式x2+2ax+3关于x＝﹣a对称，
∴﹣a＝4，
∴a＝﹣4；
（3）原式＝（x+4）2（x﹣3）2
＝[（x+4）（x﹣3）]2
＝（x2+x﹣12）2
＝[（x+）2﹣]2，
故关于x＝﹣对称，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．
26．（6分）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．
求证：∠ABC＝2∠ACB．
小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝ BD ，连接DF．
请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．
请你解答小芸提出的这个问题；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．
小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【分析】（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质证明结论；
（3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义证明．
【解答】证明：（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，
则∠BDF＝∠F，
∴∠ABC＝∠BDF+∠F＝2∠F，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB+BD＝AC，BF＝BD，
∴AF＝AC，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴∠ACB＝∠F，
∴∠ABC＝2∠ACB；
（2）如图3，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，
∵AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，
∵AB+BD＝AC，AE＝AB，
∴DB＝CE，
在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠AED＝2∠ECD，
∴∠ABD＝2∠ECD，
∴∠ABC＝2∠ACB；
（3）如图4，延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，
则∠BDG＝∠AGD，
∴∠ABC＝∠BDG+∠G＝2∠AGD，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠AGD＝∠ACB，
∵AB+BD＝AC，BG＝BD，
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DG＝DC，
在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SSS），
∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
27．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P1，再将点P1关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′，C′的坐标分别是 A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1） ；
（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点D′，求线段DD′的长；
（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．
【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；
（2）根据二次反射点的定义得出D′（6+a，0），则可得出答案
（3）根据二次反射点的定义得出P′（6+a，1），Q′（7+a，1），由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），
∴点A关于y轴点的对称的坐标为（4，0），
∵（4，0）关于直线l对称得点A′（2，0），
∴点A（﹣4，0）关于y轴和直线l的二次反射点A′（2，0）；
∵B（﹣2，0），
∴点B关于y轴点的对称的坐标为（2，0），
∵（2，0）关于直线l对称得点B′（4，0），
∴点B（﹣2，0）关于y轴和直线l的二次反射点B′（4，0）；
∵C（﹣3，1），
∴点C关于y轴点的对称的坐标为（3，1），
∵（3，1）关于直线l对称得点C′（3，1），
∴点C（﹣3，1）关于y轴和直线l的二次反射点C′（3，1）；
故答案为：A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1）；
（2）∵点D的坐标是（a，0），a＜0，
∴点D关于y轴对称的点的坐标为（﹣a，0），
∴（﹣a，0）关于直线l对称得点D′（6+a，0），
∴DD'＝6+a﹣a＝6．
（3）∵点P（a，1），
∴点P（a，1）关于y轴和直线l的二次反射点为P′（6+a，1），
∵Q（a+1，1），
∴Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点为Q′（7+a，1），
当P'Q'与EH有公共点时，
，
∴﹣3≤a≤﹣2，
当P'Q'与FG有公共点时，
，
∴﹣1≤a≤0，
∴﹣3≤a≤﹣2或﹣1≤a≤0，
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/28 17:48:24；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111