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    2022-2023学年北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

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    这是一份2022-2023学年北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷(解析版),共33页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷
    一、选择题(共16分,每题2分)
    1.(2分)围棋起源于中国,古代称之为“弈”,至今已有4000多年的历史.2017年5月,世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分,由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是(  )
    A. B.
    C. D.
    2.(2分)如图,香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合,则n的最小值为(  )

    A.45 B.60 C.72 D.144
    3.(2分)用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5=0,配方正确的是(  )
    A.(x﹣1)2=4 B.(x+1)2=4 C.(x+1)2=6 D.(x﹣1)2=6
    4.(2分)将抛物线y=﹣3x2平移,得到抛物线y=﹣3(x﹣1)2﹣2,下列平移方式中,正确的是(  )
    A.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位
    B.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位
    C.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位
    D.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位
    5.(2分)如图,AB是半圆O的直径,点C,D在半圆O上.若∠ABC=50°,则∠BDC的度数为(  )

    A.120° B.130° C.140° D.150°
    6.(2分)已知函数y=﹣(x﹣2)2的图象上有A(﹣1,y1),B(1,y2),C(4,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系(  )
    A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1
    7.(2分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列选项中不正确的是(  )

    A.a<0 B.c>0 C.0<﹣<1 D.a+b+c<0
    8.(2分)四位同学在研究二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)时,甲同学发现函数图象的对称轴是直线x=1;乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3=0(a≠0)的一个根;丙同学发现函数的最大值为4;丁同学发现当x=2时,y=5,已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的,则该同学是(  )
    A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
    二、填空题(共16分,每题2分)
    9.(2分)点A(2,3)与点B关于原点对称,则B点的坐标   .
    10.(2分)请写出一个开口向上且经过(0,1)的抛物线的解析式   .
    11.(2分)已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根,则k=   .
    12.(2分)如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是    .

    13.(2分)关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a,b的值:a=   ,b=   .
    14.(2分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为    .

    15.(2分)如图,在平面直角坐标系xOy中,△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由△AOB得到△CDE的过程:   .

    16.(2分)如图,AB是⊙O的直径,弦MN∥AB,分别过M,N作AB的垂线,垂足为C,D.以下结论:
    ①AC=BD;
    ②=;
    ③若四边形MCDN是正方形,则MN=AB;
    ④若M为的中点,则D为OB中点;
    所有正确结论的序号是    .

    三、解答题(共68分,第17题8分,18题4分,19-24题,每题5分,第25-26题,每题6分,第27-28题,每题7分)
    17.(8分)解下列方程
    (1)x2﹣6x﹣16=0;
    (2)x(2x﹣5)=4x﹣10.
    18.(4分)已知:如图,△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1,点A,B,C分别对应点A1,B1,C1.
    (1)根据点A1和B1的位置确定旋转中心是点    .
    (2)请在图中画出△A1B1C1.

    19.(5分)已知:A,B是直线l上的两点.
    求作:△ABC,使得点C在直线l上方,且∠ACB=150°.
    作法:
    ①分别以A,B为圆心,AB长为半径画弧,在直线l下方交于点O;
    ②以点O为圆心,OA长为半径画圆;
    ③在劣弧上任取一点C(不与A,B重合),连接AC,BC.△ABC就是所求作的三角形.
    (1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
    (2)完成下面的证明.
    证明:在优弧上任取一点M(不与A,B重合),连接AM,BM,OA,OB.
    ∵OA=OB=AB,
    ∴△OAB是等边三角形.
    ∴∠AOB=60°.
    ∵A,B,M在⊙O上,
    ∴∠AMB=∠AOB(    )(填推理的依据).
    ∴∠AMB=30°.
    ∵四边形ACBM内接于⊙O,
    ∴∠AMB+∠ACB=180°(    )(填推理的依据).
    ∴∠ACB=150°.

    20.(5分)如图,D是等边三角形ABC内一点,将线段AD绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE,连接CD,BE.
    (1)求证:△AEB≌△ADC;
    (2)连接DE,若∠ADC=105°,求∠BED的度数.

    21.(5分)一圆柱形排水管的截面如图所示,已知排水管的半径为1m,水面宽AB为1.6m.由于天气干燥,水管水面下降,此时排水管水面宽变为1.2m,求水面下降的高度.

    22.(5分)已知关于x的方程3x2﹣(a﹣3)x﹣a=0(a>0).
    (1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
    (2)若方程有一个根大于2,求a的取值范围.
    23.(5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y1=x2+bx+c经过点A(﹣2,0),B(﹣1,3).
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)求抛物线的顶点C的坐标;
    (3)设过B,C两点的直线解析式为y2=mx+n,直接写出当y1>y2时自变量x的取值范围.

    24.(5分)某公司以每件40元的价格购进一种商品,在销售过程中发现这种商品每天的销售量y(件)与每件的销售单价x(元)满足一次函数关系:y=﹣2x+140(x>40).
    (1)当x=50时,总利润为    元;
    (2)若设总利润为w元,则w与x的函数关系式是    ;
    (3)若每天的销售量不少于38件,则销售单价定为多少元时,此时利润最大,最大利润是多少?
    25.(6分)某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门,工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头,从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分.安装后,通过测量获得如下数据,喷头高出湖面3米,在距立柱水平距离为d米的地点,水柱距离湖面高度为h米.
    d(米)
    0.50
    1.00
    1.50
    2.00
    2.50
    3.00
    h(米)
    3.75
    4.00
    3.75
    3.00
    1.75
    0
    请解决以下问题:
    (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系,根据已知数据描点,并用平滑的曲线连接;
    (2)结合表中所给数据或所画图象,直接写出水柱最高点距离湖面的高度;
    (3)求h关于d的函数表达式;
    (4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过,已知游船的宽度约为2米,游船的平顶棚到湖面的高度约为1米,从安全的角度考虑,要求游船到立柱的水平距离不小于1米,顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米.工人想只通过调整喷头距离湖面的高度(不考虑其他因素)就能满足上述要求,请通过计算说明应如何调整.

    26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)点Q是x轴上一点,
    ①若在抛物线上存在点P,使得∠POQ=45°,求点P的坐标.
    ②抛物线与直线y=1交于点E,F(点E在点F的左侧),将此抛物线在点E,F(包含点E和点F)之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G,若在图象G上存在点P,使得∠POQ=45°,求n的取值范围.

    27.(7分)四边形ABCD是正方形,将线段CD绕点C逆时针旋转2α(0°<α<45°),得到线段CE,连接DE,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F,连接BE.
    (1)依题意补全图1;
    (2)直接写出∠FBE的度数;
    (3)连接AF,用等式表示线段AF与DE的数量关系,并证明.

    28.(7分)对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P(x,y)和图形W,给出如下定义:
    过点P作x轴和y轴的垂线,垂足分别为M,N,若图形W中的任意一点Q(a,b)满足a≤x且b≤y,则称四边形PMON是图形W的一个覆盖,点P为这个覆盖的一个特征点.例:已知A(1,2),B(3,1),则点P(5,4)为线段AB的一个覆盖的特征点.
    (1)已知点C(2,3),
    ①在P1(1,3),P2(3,3),P3(4,4)中,是△ABC的覆盖特征点的为   ;
    ②若在一次函数y=mx+5(m≠0)的图象上存在△ABC的覆盖的特征点,求m的取值范围.
    (2)以点D(2,4)为圆心,半径为1作圆,在抛物线y=ax2﹣5ax+4(a≠0)上存在⊙D的覆盖的特征点,直接写出a的取值范围   .

    2022-2023学年北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(共16分,每题2分)
    1.(2分)围棋起源于中国,古代称之为“弈”,至今已有4000多年的历史.2017年5月,世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分,由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是(  )
    A. B.
    C. D.
    【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
    【解答】解:A、是中心对称图形,故本选项符合题意;
    B、不是中心对称图形,故本选项不合题意;
    C、不是中心对称图形,故本选项不合题意;
    D、不是中心对称图形,故本选项不合题意.
    故选:A.
    2.(2分)如图,香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合,则n的最小值为(  )

    A.45 B.60 C.72 D.144
    【分析】该图形被平分成五部分,因而每部分被分成的圆心角是72°,并且圆具有旋转不变性,因而旋转72度的整数倍,就可以与自身重合.
    【解答】解:该图形被平分成五部分,旋转72°的整数倍,就可以与自身重合,
    故n的最小值为72.
    故选:C.
    3.(2分)用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5=0,配方正确的是(  )
    A.(x﹣1)2=4 B.(x+1)2=4 C.(x+1)2=6 D.(x﹣1)2=6
    【分析】常数项移到方程的左边,两边都加上1配成完全平方式即可得出答案.
    【解答】解:∵x2﹣2x﹣5=0,
    ∴x2﹣2x=5,
    则x2﹣2x+1=5+1,即(x﹣1)2=6,
    故选:D.
    4.(2分)将抛物线y=﹣3x2平移,得到抛物线y=﹣3(x﹣1)2﹣2,下列平移方式中,正确的是(  )
    A.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位
    B.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位
    C.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位
    D.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位
    【分析】找到两个抛物线的顶点,根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到.
    【解答】解:∵y=﹣3x2的顶点坐标为(0,0),y=﹣3(x﹣1)2﹣2的顶点坐标为(1,﹣2),
    ∴将抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位,再向下平移2个单位,可得到抛物线y=﹣3(x﹣1)2﹣2.
    故选:D.
    5.(2分)如图,AB是半圆O的直径,点C,D在半圆O上.若∠ABC=50°,则∠BDC的度数为(  )

    A.120° B.130° C.140° D.150°
    【分析】根据直径所对的圆周角是直角,再根据三角形内角和定理即可解决问题.
    【解答】解:∵AB是直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∵∠ABC=50°,
    ∴∠A=90°﹣50°=40°,
    ∴∠BDC的度数为:180°﹣40°=140°
    故选:C.
    6.(2分)已知函数y=﹣(x﹣2)2的图象上有A(﹣1,y1),B(1,y2),C(4,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系(  )
    A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1
    【分析】根据二次函数的性质可以判断y1、y2、y3的大小关系,从而可以解答本题.
    【解答】解:∵y=﹣(x﹣2)2,
    ∴该函数开口向下,对称轴为直线x=2,
    ∵该函数图象上有A(﹣1,y1)、B(1,y2)、C(4,y3)三点,|2﹣1|<|4﹣2|<|2+1|,
    ∴y2>y3>y1,
    故选:B.
    7.(2分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列选项中不正确的是(  )

    A.a<0 B.c>0 C.0<﹣<1 D.a+b+c<0
    【分析】由抛物线的开口方向判定a的取值范围,由抛物线于y轴的交点判定c的取值范围,根据对称轴的位置即可判定的取值范围,由抛物线中,x=1时的函数值即可判定a+b+c的取值范围.
    【解答】解:A、抛物线的开口向下,∴a<0,故正确;
    B、抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0,故正确;
    C、抛物线的对称轴在y轴的右边,在直线x=1的左边,∴,故正确;
    D、从图象可以看出,当x=1时,对应的函数值在x轴的上方,∴a+b+c>0,故错误.
    故选:D.
    8.(2分)四位同学在研究二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)时,甲同学发现函数图象的对称轴是直线x=1;乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3=0(a≠0)的一个根;丙同学发现函数的最大值为4;丁同学发现当x=2时,y=5,已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的,则该同学是(  )
    A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
    【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式,依次假设不对时,其它三个条件是否同时成立;
    【解答】解:对称轴是直线x=1时,b=﹣2a①;
    3是一元二次方程ax2+bx+3=0(a≠0)的一个根时,3a+b+1=0 ②;
    函数的最大值为4时,b2=﹣4a③;
    当x=2时,y=5时,2a+b﹣1=0 ④;
    当甲不对时,由②和④联立a=﹣2,b=5,不满足③,故不成立;
    当乙不对时,由①和③联立a=﹣1,b=2,不满足④,故不成立;
    当丙不对时,由②和④联立a=﹣2,b=5,不满足①,故不成立;
    当丁不对时,由①和③联立a=﹣1,b=2,成立;
    故选:D.
    二、填空题(共16分,每题2分)
    9.(2分)点A(2,3)与点B关于原点对称,则B点的坐标 (﹣2,﹣3) .
    【分析】直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案.
    【解答】解:点A(2,3)与点B关于原点对称,则B点的坐标:(﹣2,﹣3).
    故答案为:(﹣2,﹣3).
    10.(2分)请写出一个开口向上且经过(0,1)的抛物线的解析式 y=x2+x+1(答案不唯一) .
    【分析】开口向上,只要二次项系数为正数即可,经过点(0,1),说明常数项c=1.
    【解答】解:依题意,满足题意的抛物线解析式为
    y=x2+x+1等,答案不唯一.
    故本题答案为:y=x2+x+1等.
    11.(2分)已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根,则k= ﹣2 .
    【分析】把x=﹣1代入方程x2+kx﹣3=0得1﹣k﹣3=0,然后解关于k的方程.
    【解答】解:把x=﹣1代入方程x2+kx﹣3=0得1﹣k﹣3=0,解得k=﹣2.
    故答案为﹣2.
    12.(2分)如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是  26° .

    【分析】根据垂径定理,可得=,∠OEB=90°,根据圆周角定理,可得∠3,根据直角三角形的性质,可得答案.
    【解答】解:连接AO,如图:

    由OC⊥AB,得=,∠OEB=90°.
    ∴∠2=∠3.
    ∵∠2=2∠1=2×32°=64°.
    ∴∠3=64°,
    在Rt△OBE中,∠OEB=90°,
    ∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°,
    故答案为;26°.
    13.(2分)关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a,b的值:a= 4 ,b= 2 .
    【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根,得到a=b2,找一组满足条件的数据即可.
    【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根,
    ∴Δ=b2﹣4×a=b2﹣a=0,
    ∴a=b2,
    当b=2时,a=4,
    故b=2,a=4时满足条件.
    故答案为:4,2.
    14.(2分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为  x=1或x=3 .

    【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标,由此求得关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根.
    【解答】解:∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点为(1,0),
    ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),
    ∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解为x=1或x=3,
    故答案为:x=1或x=3.
    15.(2分)如图,在平面直角坐标系xOy中,△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由△AOB得到△CDE的过程: 将△AOB绕点O顺时针旋转90°,再沿x轴向右平移一个单位 .

    【分析】根据旋转的性质,平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程.
    【解答】解:将△AOB绕点O顺时针旋转90°,再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE,
    故答案为:将△AOB绕点O顺时针旋转90°,再沿x轴向右平移一个单位
    16.(2分)如图,AB是⊙O的直径,弦MN∥AB,分别过M,N作AB的垂线,垂足为C,D.以下结论:
    ①AC=BD;
    ②=;
    ③若四边形MCDN是正方形,则MN=AB;
    ④若M为的中点,则D为OB中点;
    所有正确结论的序号是  ①②④ .

    【分析】①②正确,证明Rt△OMC≌Rt△OND(HL),可得结论.
    ③错误,证明AB=MN,可得结论.
    ④正确,证明△OBN是等边三角形,可得结论.
    【解答】解:连接OM、ON,如图,
    ∵MC⊥AB、ND⊥AB,
    ∴∠OCM=∠ODN=90°,
    ∵MN∥AB,
    ∴∠CMN+∠MCD=180°,
    ∴∠CMN=90°,
    ∴四边形CMND是矩形,
    ∴CM=DN,
    在Rt△OMC和Rt△OND中,

    ∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL),
    ∴OC=OD,∠COM=∠DON,
    ∴=,故②正确,
    ∵OA=OB,OD=OD,
    ∴AC=BD,故①正确,
    当四边形MCDN是正方形时,CM=2OC,
    ∴OM=OC,
    ∴AB=2OM=2OC=MN,故③错误,
    若M是的中点,连接BN,
    ∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°,
    ∵ON=OB,
    ∴△ONB是等边三角形,
    ∵ND⊥OB,
    ∴OD=DB,故④正确.
    故答案为:①②④.

    三、解答题(共68分,第17题8分,18题4分,19-24题,每题5分,第25-26题,每题6分,第27-28题,每题7分)
    17.(8分)解下列方程
    (1)x2﹣6x﹣16=0;
    (2)x(2x﹣5)=4x﹣10.
    【分析】(1)利用求根公式法求解即可;
    (2)移项后,利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得.
    【解答】解:(1)x2﹣6x﹣16=0;
    ∵a=1,b=﹣6,c=﹣16,
    ∴Δ=b2﹣4ac=(﹣6)2﹣4×1×(﹣16)=36+64=100>0,
    ∴x===3±5,
    ∴x1=8,x2=﹣2;
    (2)x(2x﹣5)=4x﹣10,
    x(2x﹣5)﹣(4x﹣10)=0,
    x(2x﹣5)﹣2(2x﹣5)=0,
    则(2x﹣5)(x﹣2)=0,
    ∴2x﹣5=0或x﹣2=0,
    解得x1=,x2=2.
    18.(4分)已知:如图,△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1,点A,B,C分别对应点A1,B1,C1.
    (1)根据点A1和B1的位置确定旋转中心是点  O1 .
    (2)请在图中画出△A1B1C1.

    【分析】(1)分别作AA1、BB1的中垂线m、n,两者的交点即为所求;
    (2)作出点C绕点O1顺时针旋转90°所得对应点,再首尾顺次连接即可得.
    【解答】解:(1)如图,根据点A1和B1的位置确定旋转中心是点O1,
    故答案为:O1.
    (2)如图所示,△A1B1C1即为所求.

    19.(5分)已知:A,B是直线l上的两点.
    求作:△ABC,使得点C在直线l上方,且∠ACB=150°.
    作法:
    ①分别以A,B为圆心,AB长为半径画弧,在直线l下方交于点O;
    ②以点O为圆心,OA长为半径画圆;
    ③在劣弧上任取一点C(不与A,B重合),连接AC,BC.△ABC就是所求作的三角形.
    (1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
    (2)完成下面的证明.
    证明:在优弧上任取一点M(不与A,B重合),连接AM,BM,OA,OB.
    ∵OA=OB=AB,
    ∴△OAB是等边三角形.
    ∴∠AOB=60°.
    ∵A,B,M在⊙O上,
    ∴∠AMB=∠AOB(  在同圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 )(填推理的依据).
    ∴∠AMB=30°.
    ∵四边形ACBM内接于⊙O,
    ∴∠AMB+∠ACB=180°(  圆内接四边形对角互补 )(填推理的依据).
    ∴∠ACB=150°.

    【分析】(1)根据题意补全图形;
    (2)根据画图过程得出△OAB是等边三角形,则∠AOB=60°,根据圆周角定理得出∠AMB=30°,再根据圆内接四边形的性质即可得解.
    【解答】解:(1)如下图即为所求,

    (2)证明:在优弧上任取一点M(不与A,B重合),连接AM,BM,OA,OB,


    ∵OA=OB=AB,
    ∴△OAB是等边三角形,
    ∴∠AOB=60°,
    ∵A,B,M在⊙O上,
    ∴∠AMB=∠AOB(在同圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半),
    ∴∠AMB=30°,
    ∵四边形ACBM内接于⊙O,
    ∴∠AMB+∠ACB=180°(圆内接四边形对角互补),
    ∴∠ACB=150°.
    故答案为:在同圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;圆内接四边形对角互补.
    20.(5分)如图,D是等边三角形ABC内一点,将线段AD绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE,连接CD,BE.
    (1)求证:△AEB≌△ADC;
    (2)连接DE,若∠ADC=105°,求∠BED的度数.

    【分析】(1)由等边三角形的性质知∠BAC=60°,AB=AC,由旋转的性质知∠DAE=60°,AE=AD,从而得∠EAB=∠DAC,再证△EAB≌△DAC可得答案;
    (2)由∠DAE=60°,AE=AD知△EAD为等边三角形,即∠AED=60°,继而由∠AEB=∠ADC=105°可得.
    【解答】解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
    ∴∠BAC=60°,AB=AC.
    ∵线段AD绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE,
    ∴∠DAE=60°,AE=AD.
    ∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC.
    ∴∠EAB=∠DAC.
    在△EAB和△DAC中,
    ∵,
    ∴△EAB≌△DAC(SAS).
    (2)如图,

    ∵∠DAE=60°,AE=AD,
    ∴△EAD为等边三角形.
    ∴∠AED=60°,
    ∵△EAB≌△DAC
    ∴∠AEB=∠ADC=105°.
    ∴∠BED=45°.
    21.(5分)一圆柱形排水管的截面如图所示,已知排水管的半径为1m,水面宽AB为1.6m.由于天气干燥,水管水面下降,此时排水管水面宽变为1.2m,求水面下降的高度.

    【分析】先根据垂径定理求得AM、CN,然后根据勾股定理求出OM、ON的长,即可得出结论.
    【解答】解:如图,下降后的水面宽CD为1.2m,连接OA,OC,过点O作ON⊥CD于N,交AB于M.
    ∴∠ONC=90°.
    ∵AB∥CD,
    ∴∠OMA=∠ONC=90°.
    ∵AB=1.6,CD=1.2,
    ∴AM=AB=0.8,CN=CD=0.6,
    在Rt△OAM中,
    ∵OA=1,
    ∴OM==0.6.
    同理可得ON=0.8,
    ∴MN=ON﹣OM=0.2(米).
    答:水面下降了0.2米.

    22.(5分)已知关于x的方程3x2﹣(a﹣3)x﹣a=0(a>0).
    (1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
    (2)若方程有一个根大于2,求a的取值范围.
    【分析】(1)先求出△的值,再根据根的情况与判别式△的关系即可得出答案;
    (2)利用因式分解法求得方程的两个根,根据有一个根大于2,得出不等式解答即可.
    【解答】(1)证明:Δ=(a﹣3)2﹣4×3×(﹣a)=(a+3)2.
    ∵a>0,
    ∴(a+3)2>0.即Δ>0.
    ∴方程总有两个不相等的实数根.
    (2)解:3x2﹣(a﹣3)x﹣a=0,
    (3x﹣a)(x+1)=0,
    解得x1=﹣1,x2=.
    ∵方程有一个根大于2,
    ∴>2.
    ∴a>6.
    23.(5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y1=x2+bx+c经过点A(﹣2,0),B(﹣1,3).
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)求抛物线的顶点C的坐标;
    (3)设过B,C两点的直线解析式为y2=mx+n,直接写出当y1>y2时自变量x的取值范围.

    【分析】(1)通过待定系数法求解.
    (2)根据图象抛物线在直线上方时x的取值范围求解.
    【解答】解:(1)将A(﹣2,0),B(﹣1,3)代入y1=x2+bx+c得,
    解得,
    ∴y1=x2+6x+8.
    (2)∵y1=x2+6x+8=(x+3)2﹣1,
    ∴抛物线顶点C的坐标为(﹣3,﹣1).
    (4)如图,

    可得x<﹣3或x>﹣1时,y1>y2.
    24.(5分)某公司以每件40元的价格购进一种商品,在销售过程中发现这种商品每天的销售量y(件)与每件的销售单价x(元)满足一次函数关系:y=﹣2x+140(x>40).
    (1)当x=50时,总利润为  400 元;
    (2)若设总利润为w元,则w与x的函数关系式是  w=﹣2x2+220x﹣5600 ;
    (3)若每天的销售量不少于38件,则销售单价定为多少元时,此时利润最大,最大利润是多少?
    【分析】(1)根据题意先求出当x=50时的销售量,再求出利润即可;
    (2)每件进价是40元,销售单价为x元,则每件利润为(x﹣40)元,从而根据利润等于每件的利润乘以销售量可得w关于x的函数关系式;
    (3)每天的销售量不少于38件,可得不等式,解得x的取值范围,将(2)中所得的二次函数写成顶点式,根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案.
    【解答】解:(1)当x=50时,销售量为y=﹣2×50+140=40(件),
    利润为:(50﹣40)×40=400(元),
    故答案为:400;
    (2)由题意得:
    w=y•(x﹣40)
    =(﹣2x+140)(x﹣40)
    =﹣2x2+220x﹣5600,
    ∴w与x的函数关系式为w=﹣2x2+220x﹣5600(x>40),
    故答案为:w=﹣2x2+220x﹣5600;
    (3)∵y≥38,
    ∴﹣2x+140≥38,
    解得:x≤51.
    ∵w=﹣2x2+220x﹣5600
    =﹣2(x﹣55)2+450,
    ∴对称轴为x=55,抛物线开口向下,
    ∴当x≤55时,w随x的增大而增大,
    ∵x≤51,
    ∴当x=51时,w有最大值,最大值为:﹣2×512+220×51﹣5600=418.
    ∴销售单价定为51元时,利润最大,最大利润是418元.
    25.(6分)某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门,工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头,从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分.安装后,通过测量获得如下数据,喷头高出湖面3米,在距立柱水平距离为d米的地点,水柱距离湖面高度为h米.
    d(米)
    0.50
    1.00
    1.50
    2.00
    2.50
    3.00
    h(米)
    3.75
    4.00
    3.75
    3.00
    1.75
    0
    请解决以下问题:
    (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系,根据已知数据描点,并用平滑的曲线连接;
    (2)结合表中所给数据或所画图象,直接写出水柱最高点距离湖面的高度;
    (3)求h关于d的函数表达式;
    (4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过,已知游船的宽度约为2米,游船的平顶棚到湖面的高度约为1米,从安全的角度考虑,要求游船到立柱的水平距离不小于1米,顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米.工人想只通过调整喷头距离湖面的高度(不考虑其他因素)就能满足上述要求,请通过计算说明应如何调整.

    【分析】(1)根据对应点画图象即可;
    (2)由图象可得答案;
    (3)利用待定系数法可得关系式;
    (4)设水枪高度向上调整m米,设平移后二次函数关系式为h′=﹣(d﹣1)2+4+m,再根据二次函数的性质可得答案.
    【解答】解:(1)如图,

    (2)水柱最高点距离湖面的高度是4米;
    (3)由图象可得,顶点(1,4),
    设二次函数的关系式为h=a(d﹣1)2+4,
    把(2,3)代入可得a=﹣1,
    所以h=﹣(d﹣1)2+4;
    (4)设水枪高度向上调整m米,
    设平移后二次函数关系式为h′=﹣(d﹣1)2+4+m,
    当d=1+2=3时,h′=﹣4+4+m=m,
    ∴m≥2,
    答:水枪高度至少向上调整2米.
    26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)点Q是x轴上一点,
    ①若在抛物线上存在点P,使得∠POQ=45°,求点P的坐标.
    ②抛物线与直线y=1交于点E,F(点E在点F的左侧),将此抛物线在点E,F(包含点E和点F)之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G,若在图象G上存在点P,使得∠POQ=45°,求n的取值范围.

    【分析】(1)利用二次函数的性质结合抛物线的顶点坐标在x轴上,可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出结论;
    (2)①作直线y=x,交抛物线y=x2﹣4x+4于点P,联立直线OP与抛物线的表达式成方程组,通过解方程组即可求出点P的坐标;
    ②利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点E,F的坐标,分点P,Q在y轴右侧及点P,Q在y轴左侧两种情况考虑:(i)当点P,Q在y轴右侧时,由抛物线y=x2﹣4x+4与直线y=x交于点(1,1),可得出当1≤3﹣n≤3时,图象G上存在点P使得∠POQ=45°,解不等式组即可求出n的取值范围;(ii)当点P,Q在y轴左侧时,同①可得出,抛物线y=x2+4x+4与直线y=﹣x交于点(﹣1,﹣1)或(﹣4,﹣4),进而可得出当﹣1≤3﹣n≤1时,图象G上存在点P使得∠POQ=45°,解不等式组即可求出n的取值范围.综上,此题得解.
    【解答】解:(1)∵抛物线y=x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上,
    ∴=0,
    解得:m=2,
    ∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x+4.
    (2)①作直线y=x,交抛物线y=x2﹣4x+4于点P,如图1所示.
    联立直线OP及抛物线的表达式成方程组,得:,
    解得:,,
    ∴点P的坐标为(1,1)或(4,4).
    ②当y=1时,x2﹣4x+4=1,
    解得:x1=1,x2=3,
    ∴点E的坐标为(1,1),点F的坐标为(3,1).
    分两种情况考虑:
    (i)当点P,Q在y轴右侧时,∵抛物线y=x2﹣4x+4与直线y=x交于点(1,1),
    ∴当1≤3﹣n≤3时,图象G上存在点P,使得∠POQ=45°,
    ∴,解得:0≤n≤2;
    (ii)当点P,Q在y轴左侧时,同①可得出,抛物线y=x2+4x+4与直线y=﹣x交于点(﹣1,﹣1)或(﹣4,﹣4),
    ∴当﹣1≤3﹣n≤1时,图象G上存在点P,使得∠POQ=45°,
    ∴,解得:2≤n≤4.
    综上所述:若在图象G上存在点P,使得∠POQ=45°,n的取值范围为0≤n≤4.


    27.(7分)四边形ABCD是正方形,将线段CD绕点C逆时针旋转2α(0°<α<45°),得到线段CE,连接DE,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F,连接BE.
    (1)依题意补全图1;
    (2)直接写出∠FBE的度数;
    (3)连接AF,用等式表示线段AF与DE的数量关系,并证明.

    【分析】(1)按照题中的表述画出图形即可;
    (2)∠FBE的度数为45°.由题意得,CD=CE=CB,∠ECD=2α,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,根据三角形内角和与互余关系分别推理即可;
    (3)作AH⊥AF,交BF的延长线于点H,判定△HAB≌△FAD(ASA),可得HB=FD,AH=AF,HF=DE,∠H=45°,从而可得HF与AF的数量关系,则可得线段AF与DE的数量关系.
    【解答】解:(1)补全图形,如图所示:

    (2)∠FBE=45°.设DF与AB交于点G,如图所示:

    由题意得,CD=CE=CB,∠ECD=2α,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,
    ∴∠EDC=90°﹣α,∠BCE=90°﹣2α,
    ∴∠CBE=45°+α,∠ADF=α,
    ∴∠ABE=45°﹣α.
    ∵BF⊥DE,
    ∴∠BFD=90°.
    ∵∠AGD=∠FGB,
    ∴∠FBG=α
    ∴∠FBE=∠FEB=45°.
    (3)DE=AF.
    证明:如图,作AH⊥AF,交BF的延长线于点H,

    由(2)得∠FBE=∠FEB=45°.
    ∴FB=FE.
    ∵AH⊥AF,∠BAD=90°,
    ∴∠HAB=∠FAD,
    ∵∠BFG=∠DAG=90°,∠BGF=∠DGA,
    ∴∠FBG=∠ADG,即∠ABH=∠ADF,
    ∴△HAB≌△FAD(ASA),
    ∴HB=FD,AH=AF,
    ∴HF=DE,∠H=45°.
    ∴HF=AF.
    ∴DE=AF.
    28.(7分)对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P(x,y)和图形W,给出如下定义:
    过点P作x轴和y轴的垂线,垂足分别为M,N,若图形W中的任意一点Q(a,b)满足a≤x且b≤y,则称四边形PMON是图形W的一个覆盖,点P为这个覆盖的一个特征点.例:已知A(1,2),B(3,1),则点P(5,4)为线段AB的一个覆盖的特征点.
    (1)已知点C(2,3),
    ①在P1(1,3),P2(3,3),P3(4,4)中,是△ABC的覆盖特征点的为 P2,P3 ;
    ②若在一次函数y=mx+5(m≠0)的图象上存在△ABC的覆盖的特征点,求m的取值范围.
    (2)以点D(2,4)为圆心,半径为1作圆,在抛物线y=ax2﹣5ax+4(a≠0)上存在⊙D的覆盖的特征点,直接写出a的取值范围 a>0或 .
    【分析】(1)①画出图形,根据点P为这个覆盖的一个特征点的定义判断即可.
    ②分两种情形:m>0,m<0分别求解即可.
    (2)观察图象可知,当a>0时,抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点,当a<0时,抛物线经过(0,4),对称轴x=,当抛物线经过(2,5)或(3,5)时,抛物线满足条件,求出a的值,可得结论.
    【解答】解:(1)①如图1中,

    观察图象可知,P2,P3是△ABC的覆盖特征点.
    故答案为:P2,P3.

    ②当m>0时,结合函数图象可知符合题意.

    当m<0时,由题意得:当x≥3且y≥3时,点P(x,y)为△ABC的覆盖的特征点(图中的阴影部分).
    又∵点P在一次函数y=mx+5(m≠0)的图象上,
    ∴当直线y=mx+5(m≠0)过点K(3,3)时,解得:,
    ∴结合函数图象可知,
    综上所述:.

    (2)如图3中,

    观察图象可知,当a>0时,抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点,
    当a<0时,抛物线经过(0,4),对称轴x=,当抛物线经过(2,5)或(3,5)时,抛物线满足条件,
    ∴5=4a﹣10a+4,
    解得a=﹣,
    观察图象可知,当a≤﹣时,抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点,
    综上所述,满足条件的a的取值范围为:a>0或.
    故答案为:a>0或.

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