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2021-2022学年北京市房山区九年级（上）期中数学试卷【含解析】
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这是一份2021-2022学年北京市房山区九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共24页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，1）
2．（2分）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
3．（2分）已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2分）如果两个相似三角形的面积之比为9：4，那么这两个三角形的周长之比为（ ）
A．81：16B．27：12C．9：4D．3：2
5．（2分）如图是测量河宽的示意图，测得BD＝150m，DC＝75m，EC＝60m，则河宽AB的长为（ ）
A．60mB．80mC．100mD．120m
6．（2分）已知二次函数y＝x2﹣1图象上三点：（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3），比较y1，y2，y3的大小（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
7．（2分）已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣6，当﹣1≤x≤4时，y的最小值为（ ）
A．3B．0C．﹣2D．﹣6
8．（2分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ）
A．S＝x（5﹣x）（0＜x＜5）B．S＝x（10﹣x）（0＜x＜5）
C．S＝x（x﹣5）（0＜x＜5）D．S＝x（x﹣10）（0＜x＜5）
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分
9．（2分）二次函数y＝﹣2x2+4x+1图象的开口方向是 ．
10．（2分）若2m＝3n，那么m：n＝ ．
11．（2分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为 m．
12．（2分）如图，在△ABC中，点P是AB边上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是 ．
13．（2分）如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，则AD的长为 ．
14．（2分）如果二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3m的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝ ．
15．（2分）写出抛物线y＝2（x﹣1）2上一对关于对称轴对称的点的坐标，这对点的坐标可以是 和 ．
16．（2分）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．有以下3种说法：①ac＜0；②a+b+c＞0；③当x＞1时，y随着x的增大而增大．这3种说法中，正确的有 ．
三、解答题（本题共11道小题，17-20题每题6分，21题4分，22-24题每题6分，25题8分，26-27题每题7分，共68分）
17．（6分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求证：△ACD∽△CBD．
18．（6分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）该二次函数与y轴的交点坐标是 ．
（2）在给定的坐标系中画出该二次函数的图象．
19．（6分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
20．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
21．（4分）如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均为格点，在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1．
22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，0）和B（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）设此二次函数图象的顶点为C，写出一个过点C的二次函数的表达式．
23．（6分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．
24．（6分）在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：△BEC∽△ABF；
（2）求AF的长．
25．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）该函数与x轴的交点坐标 ；
（2）在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；
（3）根据图象回答：
①当自变量x的取值范围满足什么条件时，y＜0？
②当0≤x＜3时，y的取值范围是多少？
26．（7分）如图，AD是△ABC的中线，点O是AD上任一点，连接BO并延长，交AC于点E．
（1）如图1，当时，求的值；
（2）如图2，当时，求的值．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．
2021-2022学年北京市房山区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（2分）二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，1）
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
2．（2分）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】先把化成+1，再把＝代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
故选：C．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
3．（2分）已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【解答】解：∵两条直线被三条平行线所截，
∴，
解得：x＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键．
4．（2分）如果两个相似三角形的面积之比为9：4，那么这两个三角形的周长之比为（ ）
A．81：16B．27：12C．9：4D．3：2
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为9：4，
∴相似比是3：2，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴这两个三角形的周长之比为：3：2，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
5．（2分）如图是测量河宽的示意图，测得BD＝150m，DC＝75m，EC＝60m，则河宽AB的长为（ ）
A．60mB．80mC．100mD．120m
【分析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算AB的长即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴AB∥CE，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝，即＝，
∴AB＝120（m）．
∴河宽AB为120m．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
6．（2分）已知二次函数y＝x2﹣1图象上三点：（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3），比较y1，y2，y3的大小（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
【分析】将三个点的横坐标分别代入解析式，求出相应的函数值，再进行比较即可．
【解答】解：将点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）分别代入y＝x2﹣1得，
y1＝1﹣1＝0，
y2＝4﹣1＝3，
y3＝9﹣1＝8．
可见y1＜y2＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由于函数图象上的点符合函数解析式，将各点代入，求出函数值比较其大小是最简捷的方法．
7．（2分）已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣6，当﹣1≤x≤4时，y的最小值为（ ）
A．3B．0C．﹣2D．﹣6
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当1≤x≤4时该函数的最小值．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2﹣6，
∴该函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝2，当x＝2时取得最小值﹣6，
∵﹣1≤x≤4，
∴当x＝2取得最小值﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（2分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ）
A．S＝x（5﹣x）（0＜x＜5）B．S＝x（10﹣x）（0＜x＜5）
C．S＝x（x﹣5）（0＜x＜5）D．S＝x（x﹣10）（0＜x＜5）
【分析】由矩形周长可得x与y的关系，然后由S＝xy求解．
【解答】解：由题意得2（x+y）＝10，
即y＝5﹣x，
∴S＝xy＝x（5﹣x），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握求矩形周长与面积的方法．
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分
9．（2分）二次函数y＝﹣2x2+4x+1图象的开口方向是 下 ．
【分析】根据二次函数y＝﹣2x2+4x+1中a＝﹣2＜0，即可判定．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1中a＝﹣2＜0，
∴图象的开口向下，
故答案为：下．
【点评】本题考查了二次函数的性质，通过a的符号即可判断开口方向．
10．（2分）若2m＝3n，那么m：n＝ 3：2 ．
【分析】逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解．
【解答】解：∵2m＝3n，
∴m：n＝3：2．
故答案为：3：2．
【点评】考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
11．（2分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为 7 m．
【分析】此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度．
【解答】解：如图；
AD＝6m，AB＝21m，DE＝2m；
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：
，即，
解得：BC＝7m，
故答案为：7．
【点评】此题考查了相似三角形在测量高度时的应用；解题的关键是找出题中的相似三角形，并建立适当的数学模型来解决问题．
12．（2分）如图，在△ABC中，点P是AB边上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是 ∠B＝∠ACP或∠ACB＝∠APC或 ．
【分析】欲使△ACP∽△ABC，通过观察发现两个三角形有一个公共角，即∠A，若夹此对应角的两边对应成比例或有一组角对应相等即可．
【解答】解：∵∠A＝∠A
∴当∠B＝∠ACP或∠ACB＝∠APC或时，△ACP∽△ABC．
故答案为：∠B＝∠ACP或∠ACB＝∠APC或．
【点评】本题考查相似三角形的判定方法的理解及运用，识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等．
13．（2分）如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，则AD的长为 4 ．
【分析】先证明△ADE∽△ACB，得出对应边成比例，即可求出AD的长．
【解答】解：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝90°＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
解得：AD＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
14．（2分）如果二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3m的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝ ﹣1 ．
【分析】将点（0，3）代入函数解析式即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3m的图象与y轴的交点为（0，3），
∴﹣3m＝3，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
15．（2分）写出抛物线y＝2（x﹣1）2上一对关于对称轴对称的点的坐标，这对点的坐标可以是 （2，2） 和 （0，2） ．
【分析】根据抛物线的对称轴是直线x＝1作答．
【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣1）2的对称轴是直线x＝1，
∴这对对称点的坐标可以是（2，2），（0，2）（答案不唯一）．
故答案为：（2，2），（0，2）（答案不唯一）．
【点评】考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换．需要掌握抛物线的轴对称性．
16．（2分）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．有以下3种说法：①ac＜0；②a+b+c＞0；③当x＞1时，y随着x的增大而增大．这3种说法中，正确的有 ①③ ．
【分析】由抛物线的开口方向、与y轴的交点判定a、c的符号即可判断①将x＝1代入函数关系式，结合图象即可判断②；利用对称轴和二次函数的图象的性质即可判断③．
【解答】解：①∵该抛物线的开口方向向上，
∴a＞0；
又∵该抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0；
故本选项正确；
②∵根据抛物线的图象知，该抛物线的对称轴是直线x＝＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0；
故本选项错误；
③由②知，该抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴当x＞1时，y随着x的增大而增大；
故本选项正确；
综上所述，以上说法正确的是①③；
故答案为：①③．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，重点是从图象中找出重要信息．
三、解答题（本题共11道小题，17-20题每题6分，21题4分，22-24题每题6分，25题8分，26-27题每题7分，共68分）
17．（6分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求证：△ACD∽△CBD．
【分析】根据垂直的定义得到∠ADC＝∠BDC＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠BCD，由相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
18．（6分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）该二次函数与y轴的交点坐标是 （0，﹣3） ．
（2）在给定的坐标系中画出该二次函数的图象．
【分析】（1）由函数图象经过点（0，﹣3），即可求得该二次函数与y轴的交点坐标是（0，﹣3）；
（2）利用描点发法画函数图象；
【解答】解：（1）∵抛物线经过点（0，﹣3），
∴该二次函数与y轴的交点坐标是（0，﹣3）；
故答案为：（0，﹣3）；
（2）描点、连线，画出函数图象如图：
【点评】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确分析表格数据是解题的关键．
19．（6分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
【分析】根据平行线的性质可知∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC，根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC．
【解答】证明：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C．
又∵EF∥AB，
∴∠A＝∠FEC．
∴△ADE∽△EFC．
【点评】本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．
20．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式；
（2）根据顶点式得出即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴该二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4）．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
21．（4分）如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均为格点，在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1．
【分析】将△A1B1C1的各边都缩小2倍，画出图形即可．
【解答】解：如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，0）和B（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）设此二次函数图象的顶点为C，写出一个过点C的二次函数的表达式．
【分析】（1）把A（1，0）和点B（0，1）代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，解方程组即可；
（2）根据题意，可以写出一个点C的二次函数的解析式，答案不唯一．
【解答】解：（1）把A（1，0）和点B（0，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
所以这个二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∵二次函数y＝﹣4x2的图象过点（﹣1，﹣4），
∴过点C的一个二次函数的表达式为y＝﹣4x2，答案不唯一．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），然后把二次函数图象上的点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，从而确定二次函数的解析式．
23．（6分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．
（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．
【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）由（1）可知：△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵点E是AC的中点，设AE＝x，
∴AC＝2AE＝2x，
∵AD＝8，AB＝10，
∴＝，
解得：x＝2，
∴AE＝2．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
24．（6分）在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：△BEC∽△ABF；
（2）求AF的长．
【分析】（1）在矩形ABCD中，有∠C＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝90°，由于AF⊥BE，所以∠AFB＝∠C＝90°，∠BAF＝∠EBC，从而得证；
（2）在矩形ABCD中，AB＝10，可知CD＝AB＝10，由于E为DC的中点，CE＝5，由勾股定理可求得：BE＝13，最后由△ABF∽△BEC得：，从而可求出答案．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，
有∠C＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝90°
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝∠C＝90°，
∴∠BAF＝∠EBC
∴△BEC∽△ABF
（2）在矩形ABCD中，AB＝10，
∴CD＝AB＝10，
∵E为DC的中点，
∴CE＝5，
又BC＝12，
在Rt△BEC中，
由勾股定理得：BE＝13，
由△ABF∽△BEC得：
即：＝，
∴解得：AF＝
【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键熟练运用相似三角形的判定方法以及矩形的性质，本题属于中等题型．
25．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）该函数与x轴的交点坐标 （1，0），（3，0） ；
（2）在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；
（3）根据图象回答：
①当自变量x的取值范围满足什么条件时，y＜0？
②当0≤x＜3时，y的取值范围是多少？
【分析】（1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可，再令y＝0，解关于x的一元二次方程即可得到与x轴的交点坐标；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点和顶点坐标作出图象即可；
（3）①结合函数图象即可求出y＜0时，自变量x的取值范围；②根据函数图象写出y的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1），
令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
所以，与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）；
故答案为：（1，0），（3，0）；
（2）如图所示；
（3）①当1＜x＜3时，y＜0；
②0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．
26．（7分）如图，AD是△ABC的中线，点O是AD上任一点，连接BO并延长，交AC于点E．
（1）如图1，当时，求的值；
（2）如图2，当时，求的值．
【分析】（1）过D作EDF∥AC交BE于点F，则DF是△BCD的中位线，利用中位线定理可得CE＝2DF，证明△AOE≌△DOF（ASA），根据全等三角形的性质得AE＝DF，即可求解；
（2）过D作EDF∥AC交BE于点F，则DF是△BCD的中位线，利用中位线定理可得CE＝2DF，证明△AOE∽△DOF，根据相似三角形的性质得2AE＝DF，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，过D作DF∥AC交BE于点F．
∵DF∥AC，且AD是△ABC的中线．
∴DF是△BCE的中位线，
∴CE＝2DF．
∵，
∴AO＝DO，
∵DF∥AC，
∴∠EAO＝∠FDO．
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝AE，
∴CE＝2AE，
∴AC＝3AE，
∴＝；
（2）过D作EDF∥AC交BE于点F，
∵DF∥AC，且AD是△ABC的中线．
∴DF是△BCE的中位线，
∴CE＝2DF．
∵，
∴，
∵DF∥AC，
∴∠EAO＝∠FDO，∠AEO＝∠DFO，
∴△AOE∽△DOF，
∴，
∴DF＝2AE，
∴CE＝4AE．
∴AC＝5AE，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b＝4a，则解析式为y＝ax2+4ax+3a，进一步求得抛物线的对称轴；
（2）结合图形，分两种情况：①a＞0；②a＜0；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0），
∴a﹣b+3a＝0，
∴b＝4a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax+3a，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣2；
（2）∵直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C，
∴B（0，4），C（﹣2，2），
∵抛物线y＝ax2+bx+3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝﹣2，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（﹣3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴3a≥4，
解得a≥，
②a＜0时，如图2，
将x＝﹣2代入抛物线得y＝﹣a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣a≥2，
解得a≤﹣2；
综上所述，a≥或a≤﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．
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1．（2分）二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，1）
2．（2分）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
3．（2分）已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2分）如果两个相似三角形的面积之比为9：4，那么这两个三角形的周长之比为（ ）
A．81：16B．27：12C．9：4D．3：2
5．（2分）如图是测量河宽的示意图，测得BD＝150m，DC＝75m，EC＝60m，则河宽AB的长为（ ）
A．60mB．80mC．100mD．120m
6．（2分）已知二次函数y＝x2﹣1图象上三点：（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3），比较y1，y2，y3的大小（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
7．（2分）已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣6，当﹣1≤x≤4时，y的最小值为（ ）
A．3B．0C．﹣2D．﹣6
8．（2分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ）
A．S＝x（5﹣x）（0＜x＜5）B．S＝x（10﹣x）（0＜x＜5）
C．S＝x（x﹣5）（0＜x＜5）D．S＝x（x﹣10）（0＜x＜5）
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分
9．（2分）二次函数y＝﹣2x2+4x+1图象的开口方向是 ．
10．（2分）若2m＝3n，那么m：n＝ ．
11．（2分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为 m．
12．（2分）如图，在△ABC中，点P是AB边上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是 ．
13．（2分）如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，则AD的长为 ．
14．（2分）如果二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3m的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝ ．
15．（2分）写出抛物线y＝2（x﹣1）2上一对关于对称轴对称的点的坐标，这对点的坐标可以是 和 ．
16．（2分）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．有以下3种说法：①ac＜0；②a+b+c＞0；③当x＞1时，y随着x的增大而增大．这3种说法中，正确的有 ．
三、解答题（本题共11道小题，17-20题每题6分，21题4分，22-24题每题6分，25题8分，26-27题每题7分，共68分）
17．（6分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求证：△ACD∽△CBD．
18．（6分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）该二次函数与y轴的交点坐标是 ．
（2）在给定的坐标系中画出该二次函数的图象．
19．（6分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
20．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
21．（4分）如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均为格点，在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1．
22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，0）和B（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）设此二次函数图象的顶点为C，写出一个过点C的二次函数的表达式．
23．（6分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．
24．（6分）在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：△BEC∽△ABF；
（2）求AF的长．
25．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）该函数与x轴的交点坐标 ；
（2）在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；
（3）根据图象回答：
①当自变量x的取值范围满足什么条件时，y＜0？
②当0≤x＜3时，y的取值范围是多少？
26．（7分）如图，AD是△ABC的中线，点O是AD上任一点，连接BO并延长，交AC于点E．
（1）如图1，当时，求的值；
（2）如图2，当时，求的值．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．
2021-2022学年北京市房山区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（2分）二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，1）
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
2．（2分）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】先把化成+1，再把＝代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
故选：C．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
3．（2分）已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【解答】解：∵两条直线被三条平行线所截，
∴，
解得：x＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键．
4．（2分）如果两个相似三角形的面积之比为9：4，那么这两个三角形的周长之比为（ ）
A．81：16B．27：12C．9：4D．3：2
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为9：4，
∴相似比是3：2，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴这两个三角形的周长之比为：3：2，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
5．（2分）如图是测量河宽的示意图，测得BD＝150m，DC＝75m，EC＝60m，则河宽AB的长为（ ）
A．60mB．80mC．100mD．120m
【分析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算AB的长即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴AB∥CE，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝，即＝，
∴AB＝120（m）．
∴河宽AB为120m．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
6．（2分）已知二次函数y＝x2﹣1图象上三点：（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3），比较y1，y2，y3的大小（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
【分析】将三个点的横坐标分别代入解析式，求出相应的函数值，再进行比较即可．
【解答】解：将点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）分别代入y＝x2﹣1得，
y1＝1﹣1＝0，
y2＝4﹣1＝3，
y3＝9﹣1＝8．
可见y1＜y2＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由于函数图象上的点符合函数解析式，将各点代入，求出函数值比较其大小是最简捷的方法．
7．（2分）已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣6，当﹣1≤x≤4时，y的最小值为（ ）
A．3B．0C．﹣2D．﹣6
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当1≤x≤4时该函数的最小值．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2﹣6，
∴该函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝2，当x＝2时取得最小值﹣6，
∵﹣1≤x≤4，
∴当x＝2取得最小值﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（2分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ）
A．S＝x（5﹣x）（0＜x＜5）B．S＝x（10﹣x）（0＜x＜5）
C．S＝x（x﹣5）（0＜x＜5）D．S＝x（x﹣10）（0＜x＜5）
【分析】由矩形周长可得x与y的关系，然后由S＝xy求解．
【解答】解：由题意得2（x+y）＝10，
即y＝5﹣x，
∴S＝xy＝x（5﹣x），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握求矩形周长与面积的方法．
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分
9．（2分）二次函数y＝﹣2x2+4x+1图象的开口方向是 下 ．
【分析】根据二次函数y＝﹣2x2+4x+1中a＝﹣2＜0，即可判定．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1中a＝﹣2＜0，
∴图象的开口向下，
故答案为：下．
【点评】本题考查了二次函数的性质，通过a的符号即可判断开口方向．
10．（2分）若2m＝3n，那么m：n＝ 3：2 ．
【分析】逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解．
【解答】解：∵2m＝3n，
∴m：n＝3：2．
故答案为：3：2．
【点评】考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
11．（2分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为 7 m．
【分析】此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度．
【解答】解：如图；
AD＝6m，AB＝21m，DE＝2m；
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：
，即，
解得：BC＝7m，
故答案为：7．
【点评】此题考查了相似三角形在测量高度时的应用；解题的关键是找出题中的相似三角形，并建立适当的数学模型来解决问题．
12．（2分）如图，在△ABC中，点P是AB边上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是 ∠B＝∠ACP或∠ACB＝∠APC或 ．
【分析】欲使△ACP∽△ABC，通过观察发现两个三角形有一个公共角，即∠A，若夹此对应角的两边对应成比例或有一组角对应相等即可．
【解答】解：∵∠A＝∠A
∴当∠B＝∠ACP或∠ACB＝∠APC或时，△ACP∽△ABC．
故答案为：∠B＝∠ACP或∠ACB＝∠APC或．
【点评】本题考查相似三角形的判定方法的理解及运用，识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等．
13．（2分）如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，则AD的长为 4 ．
【分析】先证明△ADE∽△ACB，得出对应边成比例，即可求出AD的长．
【解答】解：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝90°＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
解得：AD＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
14．（2分）如果二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3m的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝ ﹣1 ．
【分析】将点（0，3）代入函数解析式即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3m的图象与y轴的交点为（0，3），
∴﹣3m＝3，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
15．（2分）写出抛物线y＝2（x﹣1）2上一对关于对称轴对称的点的坐标，这对点的坐标可以是 （2，2） 和 （0，2） ．
【分析】根据抛物线的对称轴是直线x＝1作答．
【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣1）2的对称轴是直线x＝1，
∴这对对称点的坐标可以是（2，2），（0，2）（答案不唯一）．
故答案为：（2，2），（0，2）（答案不唯一）．
【点评】考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换．需要掌握抛物线的轴对称性．
16．（2分）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．有以下3种说法：①ac＜0；②a+b+c＞0；③当x＞1时，y随着x的增大而增大．这3种说法中，正确的有 ①③ ．
【分析】由抛物线的开口方向、与y轴的交点判定a、c的符号即可判断①将x＝1代入函数关系式，结合图象即可判断②；利用对称轴和二次函数的图象的性质即可判断③．
【解答】解：①∵该抛物线的开口方向向上，
∴a＞0；
又∵该抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0；
故本选项正确；
②∵根据抛物线的图象知，该抛物线的对称轴是直线x＝＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0；
故本选项错误；
③由②知，该抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴当x＞1时，y随着x的增大而增大；
故本选项正确；
综上所述，以上说法正确的是①③；
故答案为：①③．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，重点是从图象中找出重要信息．
三、解答题（本题共11道小题，17-20题每题6分，21题4分，22-24题每题6分，25题8分，26-27题每题7分，共68分）
17．（6分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求证：△ACD∽△CBD．
【分析】根据垂直的定义得到∠ADC＝∠BDC＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠BCD，由相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
18．（6分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）该二次函数与y轴的交点坐标是 （0，﹣3） ．
（2）在给定的坐标系中画出该二次函数的图象．
【分析】（1）由函数图象经过点（0，﹣3），即可求得该二次函数与y轴的交点坐标是（0，﹣3）；
（2）利用描点发法画函数图象；
【解答】解：（1）∵抛物线经过点（0，﹣3），
∴该二次函数与y轴的交点坐标是（0，﹣3）；
故答案为：（0，﹣3）；
（2）描点、连线，画出函数图象如图：
【点评】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确分析表格数据是解题的关键．
19．（6分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
【分析】根据平行线的性质可知∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC，根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC．
【解答】证明：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C．
又∵EF∥AB，
∴∠A＝∠FEC．
∴△ADE∽△EFC．
【点评】本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．
20．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式；
（2）根据顶点式得出即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴该二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4）．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
21．（4分）如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均为格点，在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1．
【分析】将△A1B1C1的各边都缩小2倍，画出图形即可．
【解答】解：如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，0）和B（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）设此二次函数图象的顶点为C，写出一个过点C的二次函数的表达式．
【分析】（1）把A（1，0）和点B（0，1）代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，解方程组即可；
（2）根据题意，可以写出一个点C的二次函数的解析式，答案不唯一．
【解答】解：（1）把A（1，0）和点B（0，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
所以这个二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∵二次函数y＝﹣4x2的图象过点（﹣1，﹣4），
∴过点C的一个二次函数的表达式为y＝﹣4x2，答案不唯一．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），然后把二次函数图象上的点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，从而确定二次函数的解析式．
23．（6分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．
（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．
【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）由（1）可知：△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵点E是AC的中点，设AE＝x，
∴AC＝2AE＝2x，
∵AD＝8，AB＝10，
∴＝，
解得：x＝2，
∴AE＝2．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
24．（6分）在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：△BEC∽△ABF；
（2）求AF的长．
【分析】（1）在矩形ABCD中，有∠C＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝90°，由于AF⊥BE，所以∠AFB＝∠C＝90°，∠BAF＝∠EBC，从而得证；
（2）在矩形ABCD中，AB＝10，可知CD＝AB＝10，由于E为DC的中点，CE＝5，由勾股定理可求得：BE＝13，最后由△ABF∽△BEC得：，从而可求出答案．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，
有∠C＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝90°
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝∠C＝90°，
∴∠BAF＝∠EBC
∴△BEC∽△ABF
（2）在矩形ABCD中，AB＝10，
∴CD＝AB＝10，
∵E为DC的中点，
∴CE＝5，
又BC＝12，
在Rt△BEC中，
由勾股定理得：BE＝13，
由△ABF∽△BEC得：
即：＝，
∴解得：AF＝
【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键熟练运用相似三角形的判定方法以及矩形的性质，本题属于中等题型．
25．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）该函数与x轴的交点坐标 （1，0），（3，0） ；
（2）在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；
（3）根据图象回答：
①当自变量x的取值范围满足什么条件时，y＜0？
②当0≤x＜3时，y的取值范围是多少？
【分析】（1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可，再令y＝0，解关于x的一元二次方程即可得到与x轴的交点坐标；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点和顶点坐标作出图象即可；
（3）①结合函数图象即可求出y＜0时，自变量x的取值范围；②根据函数图象写出y的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1），
令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
所以，与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）；
故答案为：（1，0），（3，0）；
（2）如图所示；
（3）①当1＜x＜3时，y＜0；
②0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．
26．（7分）如图，AD是△ABC的中线，点O是AD上任一点，连接BO并延长，交AC于点E．
（1）如图1，当时，求的值；
（2）如图2，当时，求的值．
【分析】（1）过D作EDF∥AC交BE于点F，则DF是△BCD的中位线，利用中位线定理可得CE＝2DF，证明△AOE≌△DOF（ASA），根据全等三角形的性质得AE＝DF，即可求解；
（2）过D作EDF∥AC交BE于点F，则DF是△BCD的中位线，利用中位线定理可得CE＝2DF，证明△AOE∽△DOF，根据相似三角形的性质得2AE＝DF，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，过D作DF∥AC交BE于点F．
∵DF∥AC，且AD是△ABC的中线．
∴DF是△BCE的中位线，
∴CE＝2DF．
∵，
∴AO＝DO，
∵DF∥AC，
∴∠EAO＝∠FDO．
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝AE，
∴CE＝2AE，
∴AC＝3AE，
∴＝；
（2）过D作EDF∥AC交BE于点F，
∵DF∥AC，且AD是△ABC的中线．
∴DF是△BCE的中位线，
∴CE＝2DF．
∵，
∴，
∵DF∥AC，
∴∠EAO＝∠FDO，∠AEO＝∠DFO，
∴△AOE∽△DOF，
∴，
∴DF＝2AE，
∴CE＝4AE．
∴AC＝5AE，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b＝4a，则解析式为y＝ax2+4ax+3a，进一步求得抛物线的对称轴；
（2）结合图形，分两种情况：①a＞0；②a＜0；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3a过点A（﹣1，0），
∴a﹣b+3a＝0，
∴b＝4a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax+3a，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣2；
（2）∵直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C，
∴B（0，4），C（﹣2，2），
∵抛物线y＝ax2+bx+3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝﹣2，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（﹣3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴3a≥4，
解得a≥，
②a＜0时，如图2，
将x＝﹣2代入抛物线得y＝﹣a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣a≥2，
解得a≤﹣2；
综上所述，a≥或a≤﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．
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