2021-2022学年北京市徐悲鸿中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市徐悲鸿中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共26页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
2．（2分）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝3，则弦AB的长为（ ）
A．8B．6C．4D．10
4．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）
A．34°B．46°C．56°D．66°
5．（2分）抛物线y＝3x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
6．（2分）⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在圆外B．点在圆上C．点在圆内D．无法确定
7．（2分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0
8．（2分）小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝b．你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）抛物线y＝2（x﹣3）2﹣1开口向 ，有最 值为 ．
10．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝ ．
11．（2分）如图，P是等边△ABC内一点，△BCM是由△BAP旋转所得，则∠PBM＝ °．
12．（2分）写出一个开口向上，经过点（1，0）的二次函数 ．
13．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是 ．
14．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则实数a的取值范围是 ．
15．（2分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，如果CE＝1，AB＝10，那么半径OC的长为 ．”
16．（2分）如图，在同一平面直角坐标系中，抛物线y1＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C（0，﹣3），直线y2＝mx+n与抛物线交于B、C两点．
（1）当x满足 时，y1＞y2；
（2）当x满足 时，y1•y2＞0．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
18．（5分）二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点（4，3）．
（1）求b的值；
（2）写出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
19．（5分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表．
（1）这个二次函数的对称轴是 ；
（2）可求得m的值为 ；
（3）求出这个二次函数的解析式．
20．（5分）已知：如图，直线AC与圆O交于点B、C，直线AD过圆心O，若圆O的半径是5，且∠DAC＝30°，AD＝13，OE⊥BC于点E，求弦BC的长．
21．（5分）已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点坐标为A（0，3），B（4，5），C（3，2）．（正方形网格中，每个小正方形边长都是1个单位长度）．请画出△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'（请保留画图痕迹，不要求写出画法）．
22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是中点，若∠BAC＝70°，求∠C．
下面是小诺的解答过程，请帮她补充完整．
∵D是中点，
∴，
∴∠1＝∠2．
∵∠BAC＝70°，
∴∠2＝35°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．
∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠C+∠B＝180°（ ）（填推理的依据）．
∴∠C＝180°﹣∠B＝ （填计算结果）．
23．（6分）求证：无论k为何值时，二次函数y＝﹣x2+kx+2的图象与x轴总有两个交点．
24．（6分）如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，CE是⊙O的直径，CD⊥AB，D为垂足，求证：∠ACD＝∠BCE．
25．（6分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F．
（1）求点B的坐标及该函数的表达式；
（2）若直线y＝a与F只有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
27．（7分）正方形ABCD中，将边AB所在直线绕点A逆时针旋转一个角度α得到直线AM，过点C作CE⊥AM，垂足为E，连接BE．
（1）当0°＜α＜45°时，设AM交BC于点F，
①如图1，若α＝35°，则∠BCE＝ °；
②如图2，用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明；
（2）当45°＜α＜90°时（如图3），请直接用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）＝0．已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0）．
（1）d（点A，点B）＝ ，d（点A，线段BC）＝ ；
（2）⊙O半径为r，
①当r＝1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）＝ ；
②若d（⊙O，△ABC）＝1，则r＝ ．
2021-2022学年北京市徐悲鸿中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
2．（2分）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（2分）如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝3，则弦AB的长为（ ）
A．8B．6C．4D．10
【分析】先连接OA，根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可知，AB＝2AC，进而可得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵OA＝5，OC＝3，OC⊥AB，
∴AC＝＝＝4，
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AC＝2×4＝8．
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）
A．34°B．46°C．56°D．66°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝34°，
∴∠ABD＝34°
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（2分）抛物线y＝3x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向左平移1个单位所得的抛物线的表达式是y＝3（x+1）2；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3（x+1）2向下平移2个单位所得的抛物线的表达式是y＝3（x+1）2﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．（2分）⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在圆外B．点在圆上C．点在圆内D．无法确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判断方法求解．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为6，
∴圆心O到点P的距离大于圆的半径，
∴点P在⊙O外．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
7．（2分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0
【分析】根据根的判别式与二次函数的定义列出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，
∴，即，
解得k＜3且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与△的关系是解答此题的关键．
8．（2分）小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝b．你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x＝1或﹣1时y的符号，进而判断得出答案．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＝﹣，
∴3b＝2a，则a＝b，
∴b＜0，
∵图象与x轴交于y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确；
②由图象可得出：当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故选项②正确；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴b﹣b+c＞0，
∴b+2c＞0，故选项③正确；
④抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0，
故选项④错误．
故正确的有3个．
故选：B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）抛物线y＝2（x﹣3）2﹣1开口向 上 ，有最 小 值为 ﹣1 ．
【分析】根据二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：∵二次项的系数大于0，
∴抛物线的开口向上，
由抛物线的解析式可得顶点为（3，﹣1），
∴函数有最小值为﹣1，
故答案为：上，小，﹣1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，关键是要牢记二次函数的顶点式的意义．
10．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝ ﹣2 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，然后解关于k的方程．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，解得k＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．（2分）如图，P是等边△ABC内一点，△BCM是由△BAP旋转所得，则∠PBM＝ 60 °．
【分析】连接PM，根据旋转的性质可知∠MBC＝∠PBA，再根据等边三角形的性质可证∠MBC+∠CBP＝∠PBA+∠CBP＝∠ABC＝60°．
【解答】解：如图，连接PM，
根据旋转的性质得：∠MBC＝∠PBA，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠MBC+∠CBP＝∠PBA+∠CBP＝∠ABC＝60°，
即∠PBM＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质等知识，明确旋转前后对应角相等是解题的关键．
12．（2分）写出一个开口向上，经过点（1，0）的二次函数 y＝x2﹣1（答案不唯一） ．
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以写出相应的函数解析式，注意本题答案不唯一．
【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，且经过点（1，0），
∴a＞0，
∴该函数图象可以是y＝x2﹣1，
故答案为：y＝x2﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是 （﹣2，3） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
14．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则实数a的取值范围是 a≥1且a≠5 ．
【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在有实数根下必须满足Δ＝b2﹣4ac≥0．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以Δ＝b2﹣4ac＝16+4（a﹣5）≥0，
解之得a≥1．
∵a﹣5≠0
∴a≠5
∴实数a的取值范围是a≥1且a≠5
故答案为a≥1且a≠5．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
15．（2分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，如果CE＝1，AB＝10，那么半径OC的长为 13 ．”
【分析】连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣1，再根据AB＝10，AB⊥CD得出AE＝5，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出r的值即可．
【解答】解：连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣1，
∵弦AB⊥CD于E，AB＝10，
∴AE＝5，
在Rt△AOE中，OA＝r，AE＝5，OE＝r﹣1，
∴52+（r﹣1）2＝r2，解得r＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．（2分）如图，在同一平面直角坐标系中，抛物线y1＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C（0，﹣3），直线y2＝mx+n与抛物线交于B、C两点．
（1）当x满足 x＜0或x＞3 时，y1＞y2；
（2）当x满足 x＞﹣1且x≠3 时，y1•y2＞0．
【分析】（1）根据图象抛物线在直线上方的部分确定x的取值范围．
（2）根据抛物线与直线图象同时满足在x轴下方或x轴上方确定x的取值范围．
【解答】解：（1）由图象得x＜0或x＞3时，抛物线在直线上方，
故答案为：x＜0或x＞3．
（2）由图象得﹣1＜x＜3时，y1＜0，y2＜0，
x＞3时，y1＞0，y2＞0，
故答案为：x＞﹣1且x≠3．
【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，根据图象求解．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．
18．（5分）二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点（4，3）．
（1）求b的值；
（2）写出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【分析】（1）利用待定系数法转化为方程组即可解决问题；
（2）利用配方法即可解决问题．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点（4，3），
∴16+4b+3＝3，
解得b＝﹣4．
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴x＝2．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象上的点的特征、待定系数法、配方法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（5分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表．
（1）这个二次函数的对称轴是 直线x＝2 ；
（2）可求得m的值为 3 ；
（3）求出这个二次函数的解析式．
【分析】（1）根据表中x、y的对应值可知，当x＝1与x＝3时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程；
（2）根据抛物线的对称性求得即可；
（3）利用待定系数法求得即可．
【解答】解：（1）∵由表中x、y的对应值可知，当x＝1与x＝3时y的值相等，
∴对称轴是直线x＝＝2，
故答案为直线x＝2；
（2）∵点（0，3）关于直线x＝2的对称点为（4，3），
∴m＝3，
故答案为3；
（3）∵抛物线的顶点为（2，﹣1），
∴设解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
代入点（0，3）得，3＝4a﹣1，
解得a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3．
【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
20．（5分）已知：如图，直线AC与圆O交于点B、C，直线AD过圆心O，若圆O的半径是5，且∠DAC＝30°，AD＝13，OE⊥BC于点E，求弦BC的长．
【分析】连接OB，由垂径定理可得CB＝2BE，由勾股定理求出BE的长度，即可求出BC的长度．
【解答】解：如图，连接OB，
∵圆O的半径是5，AD＝13，
∴OA＝8，
∵∠DAC＝30°，OE⊥BC于点E，
∴OE＝OA＝×8＝4，BC＝2BE，
在Rt△OBE中，
BE＝＝＝3，
∴BC＝2BE＝2×3＝6．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理，熟练运用垂径定理是解题的关键．
21．（5分）已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点坐标为A（0，3），B（4，5），C（3，2）．（正方形网格中，每个小正方形边长都是1个单位长度）．请画出△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'（请保留画图痕迹，不要求写出画法）．
【分析】利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求．
【点评】本题考查旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是中点，若∠BAC＝70°，求∠C．
下面是小诺的解答过程，请帮她补充完整．
∵D是中点，
∴，
∴∠1＝∠2．
∵∠BAC＝70°，
∴∠2＝35°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）．
∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．
∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠C+∠B＝180°（ 圆内接四边形对角互补 ）（填推理的依据）．
∴∠C＝180°﹣∠B＝ 125° （填计算结果）．
【分析】根据圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出∠B即可解决问题．
【解答】解：∵D是中点，
∴，
∴∠1＝∠2．
∵∠BAC＝70°，
∴∠2＝35°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴∠B＝90°﹣∠2＝55°．
∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠C+∠B＝180°（圆内接四边形对角互补）（填推理的依据）．
∴∠C＝180°﹣∠B＝125° （填计算结果）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；圆内接四边形对角互补；125°．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（6分）求证：无论k为何值时，二次函数y＝﹣x2+kx+2的图象与x轴总有两个交点．
【分析】求出方程的判别式Δ的值，根据判别式的意义即可证明．
【解答】证明：∵二次函数y＝﹣x2+kx+2，
∴Δ＝k2﹣4×（﹣1）×2＝k2+8＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握抛物线与x轴交点与判别式的关系，
24．（6分）如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，CE是⊙O的直径，CD⊥AB，D为垂足，求证：∠ACD＝∠BCE．
【分析】首先连接BE，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠ACD＝90°，根据圆周角定理可得∠E+∠ECB＝90°，∠A＝∠E，进而可证明∠ACD＝∠BCE．
【解答】证明：连接EB，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CBE＝90°，
∴∠E+∠ECB＝90°，
∵∠A＝∠E，
∴∠ACD＝∠BCE．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
25．（6分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．
【分析】（1）以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．
（1）求出x＝1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．
【解答】解：（1）本题答案不唯一，如：
以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．
∴A（﹣4，0），B（4，0），C（0，6）．
设这条抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）（x+4）．
∵抛物线经过点C，
∴﹣16a＝6．
∴a＝﹣
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+6，（﹣4≤x≤4）．
（2）当x＝1时，y＝，
∵4.4+0.5＝4.9＜，
∴这辆货车能安全通过这条隧道．
【点评】本题考查二次函数的应用、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F．
（1）求点B的坐标及该函数的表达式；
（2）若直线y＝a与F只有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）令x＝0，解得y＝3，即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得解析式；
（2）画出函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，
∴令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
把A（﹣3，0）代入y＝mx2+2mx+3得0＝9m﹣6m+3
解得m＝﹣1，
∴函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）画出函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象如图所示：
由图象可知，函数y＝a的图象与F只有一个公共点，a的取值范围为0≤a＜3或a＝4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
27．（7分）正方形ABCD中，将边AB所在直线绕点A逆时针旋转一个角度α得到直线AM，过点C作CE⊥AM，垂足为E，连接BE．
（1）当0°＜α＜45°时，设AM交BC于点F，
①如图1，若α＝35°，则∠BCE＝ 35 °；
②如图2，用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明；
（2）当45°＜α＜90°时（如图3），请直接用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系．
【分析】（1）①利用正方形的性质得出∠ABC＝90°，进而求出∠AFB＝90°﹣∠BAF＝55°，再利用对顶角相等得出∠CFE＝∠AFB＝55°，即可得出结论；
②先利用等式的性质得出∠ABG＝∠CBE，再同①的方法得出∠α＝∠BCE，进而判断出△ABG≌△CBE（ASA），得出AG＝CE，BG＝BE，即可得出结论；
（2）先判断出∠ABG＝∠CBE，进而用同①的方法判断出∠DAH＝∠DCE，即可得出∠BAG＝∠BCE，判断出△ABG≌△CBE（ASA），得出AG＝CE，BG＝BE，即可得出结论．
【解答】（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，
∵∠BAF＝35°，
∴∠AFB＝90°﹣∠BAF＝55°，
∴∠CFE＝∠AFB＝55°，
∵CE⊥AM，
∴∠CEF＝90°，
∴∠ECF＝90°﹣∠CFE＝35°，
即：∠BCE＝35°，
故答案为：35；
②AE＝CE+BE．
证明：如图2，过点B作BG⊥BE，交AM于点G，
∴∠GBE＝∠GBC+∠CBE＝90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ABG+∠GBC＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE．
∵∠ABC＝90°，
∴∠α+∠AFB＝90°，
∵∠CFE＝∠AFB，
∴∠α+∠CFE＝90°，
∵∠CEF＝90°，
∴∠BCE+∠CFE＝90°，
∴∠α＝∠BCE．
在△ABG和△CBE中，
∠ABG＝∠CBE，AB＝BC，∠α＝∠BCE，
∴△ABG≌△CBE（ASA），
∴AG＝CE，BG＝BE．
∵在Rt△BEG中，BG＝BE，
∴GE＝BE，
∴AE＝AG+GE＝CE+BE．
（2）AE+CE＝BE．
理由：如图3，过点B作BG⊥BE，交AM于点G，
∴∠GBE＝∠GBA+∠ABE＝90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠D＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE．
∵∠D＝90°，
∴∠DAH+∠AHD＝90°，
∵∠AHD＝∠CHE，
∴∠DAH+∠CHE＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴∠DCE+∠CHE＝90°，
∴∠DAH＝∠DCE．
延长DA交BG于N，
∵∠NAG＝∠DAH，∴∠NAG＝∠DCE，
∴∠NAG+90°＝∠DCE+90°，
∴∠BAG＝∠BCE
在△ABG和△CBE中，
∠ABG＝∠CBE，AB＝BC，∠BAG＝∠BCE，
∴△ABG≌△CBE（ASA），
∴AG＝CE，BG＝BE．
∵在Rt△BEG中，BG＝BE，
∴GE＝BE，
∴AE＝GE﹣AG＝BE﹣CE．
即：AE+CE＝BE．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形的两锐角互余，对顶角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）＝0．已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0）．
（1）d（点A，点B）＝ 4 ，d（点A，线段BC）＝ 2 ；
（2）⊙O半径为r，
①当r＝1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）＝ 2﹣1 ；
②若d（⊙O，△ABC）＝1，则r＝ ﹣1或5 ．
【分析】（1）图形M，N的“近距离”的定义可求解；
（2）①过点O作EO⊥AB于点E，由三角形面积公式可求OE的长，即可求解；
②分△ABC在⊙O外，△ABC在⊙O内两种情况讨论，当△ABC在⊙O外时，由三角形面积公式可求OF的长，由d（⊙O，△ABC）＝1的值，可求r的值，△ABC在⊙O内时，d（⊙O，△ABC）＝1＝BM，可求r的值．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），B（0，4），
∴d（点A，点B）＝＝4，
∴d（点A，线段BC）＝2，
故答案为：4，2；
（2）①如图，过点O作EO⊥AB于点E，
∵A（﹣4，0），B（0，4），
∴AO＝BO＝4，
∴AB＝4，
∵S△ABO＝AB•OE＝AO•BO，
∴OE＝2，
∴d（⊙O，线段AB）＝2﹣1，
故答案为：2﹣1；
②∵d（⊙O，△ABC）＝1，
∴⊙O与△ABC各边都不相交，
若△ABC在⊙O外，如图，过点O作OF⊥BC于点F，
∵B（0，4），C（﹣2，0），
∴OB＝4，OC＝2，
∴BC＝＝2，
∵S△BOC＝BC•OF＝CO•BO，
∴OF＝，
∵d（⊙O，△ABC）＝1，
∴OF﹣r＝1，
∴r＝﹣1，
若△ABC在⊙O内，
∵d（⊙O，△ABC）＝1，
∴BM＝1，
∴r＝BO+BM＝5，
故答案为：﹣1或5．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，一次函数的应用，图形M，N间的“近距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
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