数学必修 第四册第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.2 余弦定理同步训练题

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1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝ eq \r(13) ，b＝3，A＝60°，则c＝( )
A．1 B．2
C．4 D．6
2．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果A＝60°，b＝3，△ABC的面积S＝ eq \f(3,2) eq \r(3) ，那么a等于( )
A． eq \r(7) B．7
C． eq \r(17) D．17
4．(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有( )
A．sin (B＋C)＝sin A
B．cs (B＋C)＝cs A
C．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形
D．若a2＋b2二、填空题
5．在△ABC中，若a2＋c2－b2＝ eq \r(3) ac，则∠B的值为________．
6．在△ABC中，B＝60°，a＝1，c＝2，则 eq \f(c,sin C) ＝________．
7．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－ eq \r(2) a sin C＝b sin B，则B＝________.
三、解答题
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 eq \f(sin A＋sin B,sin C) ＝ eq \f(b－c,b－a) .
(1)求角A；
(2)若a＝ eq \r(6) ，△ABC的面积为 eq \r(3) ，求△ABC的周长．
9．已知△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cs A sin B＝sin C，试判断△ABC的形状．
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10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 eq \f(a sin A＋b sin B－c sin C,sin B sin C) － eq \f(2\r(3),3) a＝0 .
(1)求角C；
(2)若△ABC的中线CE的长为1，求△ABC的面积的最大值．
参考答案
1．解析：a2＝c2＋b2－2cb cs A⇒13＝c2＋9－2c×3×cs 60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)，故选C.
答案：C
2．解析：设中间角为θ，则θ为锐角，由余弦定理得cs θ＝ eq \f(52＋82－72,2×5×8) ＝ eq \f(1,2) ，θ＝60°，180°－60°＝120°，所以三角形最大角与最小角的和是120°.
答案：B
3．解析：因为S＝ eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(3\r(3)c,4) ＝ eq \f(3\r(3),2) ，所以c＝2；
又因为cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ，所以 eq \f(1,2) ＝ eq \f(9＋4－a2,12) ，所以a＝ eq \r(7) ，故选A.
答案：A
4．解析：依题意，△ABC中，B＋C＝π－A，sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，A正确；cs (B＋C)＝cs (π－A)＝－cs A，B不正确；因a2＋b2＝c2，则由余弦定理得：cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝0，而0答案：AC
5．解析：根据余弦定理，cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(\r(3)ac,2ac) ＝ eq \f(\r(3),2) ，又∠B∈(0，π)，所以∠B＝ eq \f(π,6) .
答案： eq \f(π,6)
6．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cs B＝3，所以b＝ eq \r(3) ，由正弦定理得 eq \f(c,sin C) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(\r(3),\f(\r(3),2)) ＝2.
答案：2
7．解析：由正弦定理得a2＋c2－ eq \r(2) ac＝b2，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cs B，故cs B＝ eq \f(\r(2),2) .
又因为B为三角形的内角，所以B＝45°.
答案：45°
8．解析：(1)因为 eq \f(sin A＋sin B,sin C) ＝ eq \f(b－c,b－a) ，所以 eq \f(a＋b,c) ＝ eq \f(b－c,b－a) ，
化简得c2＋b2－a2＝bc，所以cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝ eq \f(bc,2bc) ＝ eq \f(1,2) .
因为A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(π,3) .
(2)因为△ABC的面积为 eq \r(3) ，所以 eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(\r(3),4) bc＝ eq \r(3) ，得bc＝4.因为A＝ eq \f(π,3) ，a＝ eq \r(6) ，所以b2＋c2－2bc cs eq \f(π,3) ＝6，整理得(b＋c)2＝3bc＋6＝18，解得b＋c＝3 eq \r(2) .
故△ABC的周长为 eq \r(6) ＋3 eq \r(2) .
答案：(1)A＝ eq \f(π,3) (2) eq \r(6) ＋3 eq \r(2)
9．解析：方法一 (利用边的关系判断)
由正弦定理，得 eq \f(sin C,sin B) ＝ eq \f(c,b) .
∵2cs A sin B＝sin C，∴cs A＝ eq \f(sin C,2sin B) ＝ eq \f(c,2b) .
∵cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ，∴ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝ eq \f(c,2b) ，
∴c2＝b2＋c2－a2，∴a2＝b2，∴a＝b.
∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴(a＋b)2－c2＝3ab.∵a＝b，∴4b2－c2＝3b2，
∴b2＝c2，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形．
方法二 (利用角的关系判断)
∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin (A＋B).
∵2cs A sin B＝sin C，
∴2cs A sin B＝sin (A＋B)＝sin A cs B＋cs A sin B，
∴sin A cs B－cs A sin B＝0，∴sin (A－B)＝0.
∵0°∴－180°∴A－B＝0°，即A＝B.
∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，∵c2＝a2＋b2－2ab cs C，
∴cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(1,2) ，∴C＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
10．解析：(1)由 eq \f(a sin A＋b sin B－c sin C,sin B sin C) － eq \f(2\r(3),3) a＝0，
得 eq \f(a·a＋b·b－c·c,b·sin C) ＝ eq \f(2\r(3),3) a，即 eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(\r(3),3) sin C，由余弦定理得cs C＝ eq \f(\r(3),3) sin C，
所以tan C＝ eq \r(3) ，因为C∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π)) ，所以C＝ eq \f(π,3) .
(2)由余弦定理b2＝1＋ eq \f(c2,4) －2×1× eq \f(c,2) ·cs ∠CEA ①，
a2＝1＋ eq \f(c2,4) －2×1× eq \f(c,2) ·cs ∠CEB ②，①＋②得，
b2＋a2＝2＋ eq \f(c2,2) ，即2(b2＋a2)＝4＋c2，
因为c2＝a2＋b2－2ab·cs C，所以a2＋b2＝4－ab≥2ab，所以ab≤ eq \f(4,3) ，当且仅当a＝b时取等号，所以S△ABC＝ eq \f(1,2) ab sin C≤ eq \f(1,2) × eq \f(4,3) × eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),3) ，即△ABC面积的最大值为 eq \f(\r(3),3) .