2020-2021学年9.1.2 余弦定理第2课时课后练习题

9.1.2余弦定理（2）

【基础练习】 

一、单选题

1．若的内角满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故选D.

2．已知钝角三角形的三边长分别为，则的取值范围是（    ）   

A．(-2,6) B．(0,2) C．(0,6) D．(2,6)

【答案】D

【解析】

由题：钝角三角形的三边长分别为

解得：.

故选：D

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac,则角B的值为

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【解析】

由余弦定理和及已知条件得，

所以，又，

所以，故选A.

4．已知的内角A，B，C所对的边分别为，且，，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由正弦定理角化边得：

化简得：

又

故选：B

5．在中，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

根据正弦定理：

根据余弦定理：

故答案选C

二、填空题

6．在中，角所对的边分别为，已知，则____.

【答案】3

【解析】

解:由正弦定理及得，，，，又，，，由余弦定理得：

，即.

7．在中，分别是角的对边，的面积为，，则＝_____．

【答案】2

【解析】

由可得：

可得：，则

故答案为：2．

8．在中，边所对的角分别为，的面积满足，若，则外接圆的面积为______________.

【答案】

【解析】

设外接圆的半径为

在中，

由，所以

可知，又

所以，则

所以

可知外接圆的面积为

故答案为：

三.解答题

9．如图，已知的内角，，的对边分别是，，，且，点是的中点，，交于点，且，.

（1）求；

（2）求的面积.

【答案】(1) (2)

【解析】

解（1），由得，

由余弦定理得，

，:

（2）连接，如下图：是的中点，，，

，

在中，由正弦定理得，

，，

，，

，，，

，，

，

10．已知中，内角所对的边分别为，且.

（1）若，求的面积S；

（2）若，求的面积S的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由余弦定理知，，解得

所以，

（2）因为，所以，，

所以，，当且仅当时等号成立.

因此，的面积S的取值范围是.

【提升练习】

1．中，分别表示角所对的边，若，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由得,

所以,

故选:A

2．在中，分别是内角所对的边，则下列等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

,故A选项正确,

故选:A

3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由正弦定理可得．

，

．

故选C．

4．在中，内角，，的对边分别为，，，且面积为，则面积的最大值为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，

，，，，

又，由余弦定理可得：，

，

当且仅当时取等号，

．

面积的最大值为．

5．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值的动点的轨迹.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

依题意，，得，

即，以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴

建立直角坐标系，则，设，

由，则的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为

，边高的最大值为，

∴.

故选:C

6．如图所示，在平面四边形中，，，，，，则__________．

【答案】3

【解析】

设，

在直角中，得，所以，

在中，由余弦定理，

由于，所以，

即，整理得，解得.

7．在中，若，，，则实数__________．

【答案】

【解析】

在中，，由余弦定理得，①

因为，即，所以，

由正弦定理得，所以，

整理得，②

由①②可得，所以，解得，

所以，

又，所以．

故答案为：

8．如图，在圆内接四边形ABCD中，已知对角线BD为圆的直径，，则的值为______．

【答案】

【解析】

在中，，所以=3，∴．

在中，由余弦定理可知，，

即，解之得．

在中，，

所以

．

故答案为．

9．已知同时满足下列四个条件中的三个：

①；②；③ ；④ ．

（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；

（Ⅱ）求的面积．

【答案】（Ⅰ）满足①，③，④；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）解：同时满足①，③，④．理由如下：

若同时满足①，②．

因为，且，所以．

所以，矛盾．

所以只能同时满足③，④．

所以，所以，故不满足②．

故满足①，③，④．

（Ⅱ）解：因为，

所以．

解得，或（舍）．

所以△的面积．

10．在平面四边形中，已知，，.

（1）若，，，求的长；

（2）若，求证：.

【答案】（1），；（2）见解析

【解析】

（1）由已知得，，所以.

因为，所以，.

所以.

在中，由正弦定理得，所以，

所以.

又，所以，.

（2）在中，由余弦定理得.

在中，由余弦定理得

.

因为，，

所以，

即.

又，，所以，

所以.