高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式课时练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式课时练习，共9页。

A. −79 B. 79 C. 23 D. −23
2.已知sinα=35 ，α∈(π2,π) ，则tan(π4−α)= ( )
A. −7 B. −17 C. 17 D. 7
3. 已知角α 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点M(−12,−32) ，则cs 2α+sin(α−π3) 的值为( )
A. −12 B. 32 C. 1 D. 32
4. 已知tan(α+β) ,tan(α−β) 是方程x2+5x+6=0 的两个根，则tan 2α= ( )
A. −1 B. 1 C. −2 D. 2
5. 五星红旗左上角镶有五颗黄色五角星，旗上的五颗五角星及其相互联系象征着中国共产党领导下的革命人民大团结.如图，可以将五角星分割为五个黄金三角形和一个正五边形，“黄金分割”表现了恰到好处的和谐，其比值为5−12≈0.618 ，这一比值也可以表示为m=2sin 18∘ ，若m2+n=4 ，则m2n2cs227∘−1 的值约为( )
A. 0.618 B. 1.236 C. 2.472 D. 4
6. 已知角θ 的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若M(−1,y) 是角θ 终边上一点，且tan(2θ+π4)=7 ,则y= ( )
A. −13 B. 3 C. −13 或3D. 13 或−3
7. （多选）若α∈(0,π2) ，且sin2α+cs 2α=14 ，则下列各式中正确的是( )
A. tan 2α=−3 B. tan 2α=3 C. tanα=33 D. tanα=3
8. （多选）下列计算中正确的是( )
A. tan 15∘+1tan 15∘−1=−3
B. cs422.5∘−sin422.5∘=22
C. sin 15∘sin 45∘sin 75∘=28
D. tan 37∘+tan 23∘+3tan 37∘tan 23∘=1
9.若函数f(x)=Asin x−3cs x 的一个零点为π3 ，则A= ;f(π12)= .
10.化简：sin 10∘1−3tan 10∘= .
11. 已知csβ−3sinα=2 ,sinβ+3csα=32 ,则sin(β−α)= .
12. 满足等式(1−tanα)(1−tanβ)=2 的数组(α,β) 有无穷多个，试写出一个这样的数组 .
[B级 综合运用]
13. 已知角θ 的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，点P(1,2) 为角θ 终边上的一点，将角θ 的终边逆时针旋转π4 得到角β 的终边，则sin(π2+2β)1−cs(3π2−2β)= ( )
A. −2 B. −12 C. −1 D. 2
14.已知α ，β 都是锐角，cs(α+β)=513 ，sin(α−β)=35 ，则cs 2α= .
15.已知2cs(2α+π3)=7sin(α+π6) ，则cs(α−π3)= .
16. 已知0<β<π4<α<3π4 ,cs(π4−α)=35 ,sin(π4−β)=513 .
（1） 求csα 的值；
（2） 求sin(α−β) 的值.
[C级 素养提升]
17. 设α ，β∈[0,π] ，且满足sinαcsβ−csαsinβ=1 ，则sin(2α−β)+sin(α−2β) 的取值范围为( )
A. [−2,1] B. [−1,2] C. [−1,1] D. [1,2]
18. 已知α ,β 为锐角，tanα=43 ,cs(α+β)=−55 .
（1） 求cs 2α 的值；
（2） 求tan(α−β) 的值.
人教B版高中数学必修第三册7.2.3同角三角函数的基本关系式-同步练习【解析版】
[A级 基础达标]
1.已知csθ=13 ，则sin(2θ+π2)= ( A )
A. −79 B. 79 C. 23 D. −23
[解析]选A.根据诱导公式与二倍角公式，得sin(2θ+π2)=cs 2θ=2cs2θ−1=−79 ，故选
A.
2.已知sinα=35 ，α∈(π2,π) ，则tan(π4−α)= ( D )
A. −7 B. −17 C. 17 D. 7
[解析]选D.因为sinα=35 ，α∈(π2,π) ，
所以csα=−1−(35)2=−45 ，tanα=sinαcsα=−34 ,
所以tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=7 ,故选D.
3. 已知角α 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点M(−12,−32) ，则cs 2α+sin(α−π3) 的值为( A )
A. −12 B. 32 C. 1 D. 32
[解析]选A.由题意知sinα=−32 ，csα=−12 ，则cs 2α+sin(α−π3)=2cs2α−1+12sinα−32csα=2×(−12)2−1+12×(−32)−32×(−12)=−12 .故选A.
4. 已知tan(α+β) ,tan(α−β) 是方程x2+5x+6=0 的两个根，则tan 2α= ( B )
A. −1 B. 1 C. −2 D. 2
[解析]选B.由题知tan(α+β)+tan(α−β)=−5 ，tan(α+β)⋅tan(α−β)=6 ，
则tan 2α=tan[(α+β)+(α−β)]=tan(α+β)+tan(α−β)1−tan(α+β)⋅tan(α−β)=−51−6=1 .故选B.
5. 五星红旗左上角镶有五颗黄色五角星，旗上的五颗五角星及其相互联系象征着中国共产党领导下的革命人民大团结.如图，可以将五角星分割为五个黄金三角形和一个正五边形，“黄金分割”表现了恰到好处的和谐，其比值为5−12≈0.618 ，这一比值也可以表示为m=2sin 18∘ ，若m2+n=4 ，则m2n2cs227∘−1 的值约为( B )
A. 0.618 B. 1.236 C. 2.472 D. 4
[解析]选B.由题意知，n=4−m2=4−4sin218∘=4cs218∘ ，
则m2n2cs227∘−1=4sin218∘×2cs 18∘cs 54∘=4sin 18∘sin 36∘sin 36∘=4sin 18∘≈4×0.6182=1.236 .故选B.
6. 已知角θ 的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若M(−1,y) 是角θ 终边上一点，且tan(2θ+π4)=7 ,则y= ( C )
A. −13 B. 3 C. −13 或3D. 13 或−3
[解析]选C.由题知tanθ=−y ,又tan(2θ+π4)=tan 2θ+11−tan 2θ=2tanθ1−tan2θ+11−2tanθ1−tan2θ=7 ,整理可得3tan2θ+8tanθ−3=0 ，解得tanθ=−3 或tanθ=13 ，则y=3 或−13 .故选C.
7. （多选）若α∈(0,π2) ，且sin2α+cs 2α=14 ，则下列各式中正确的是( AD )
A. tan 2α=−3 B. tan 2α=3 C. tanα=33 D. tanα=3
[解析]选AD.因为sin2α+cs 2α=14 ，
所以sin2α+cs2α−sin2α=cs2α=14 ，
解得csα=±12 .又α∈(0,π2) ，
所以csα=12 ，
所以sinα=1−cs2α=32 ,
则tanα=3 ，所以tan 2α=2tanα1−tan2α=−3 .故选AD.
8. （多选）下列计算中正确的是( ABC )
A. tan 15∘+1tan 15∘−1=−3
B. cs422.5∘−sin422.5∘=22
C. sin 15∘sin 45∘sin 75∘=28
D. tan 37∘+tan 23∘+3tan 37∘tan 23∘=1
[解析]选ABC.因为tan 15∘+1tan 15∘−1=−tan 15∘+tan 45∘1−tan 15∘tan 45∘=−tan 60∘=−3 ，故A正确；
cs422.5∘−sin422.5∘=(cs222.5∘+sin222.5∘)(cs222.5∘−sin222.5∘)=cs 45∘=22 ，故B正确；
sin 15∘sin 45∘sin 75∘=sin 15∘cs 15∘sin 45∘=12sin 30∘⋅sin 45∘=28 ，故C正确；
因为tan 60∘=tan(37∘+23∘)=tan 37∘+tan 23∘1−tan 37∘tan 23∘=3 ，
所以tan 37∘+tan 23∘+3tan 37∘tan 23∘=3 ，故D错误.故选ABC.
9.若函数f(x)=Asin x−3cs x 的一个零点为π3 ，则A= 1 ;f(π12)= −2 .
[解析]依题意得f(π3)=A×32−3×12=0 ,解得A=1 ，所以f(x)=sin x−3cs x=2sin(x−π3) ,
所以f(π12)=2sin(π12−π3)=−2 .
10.化简：sin 10∘1−3tan 10∘= 14 .
[解析]sin 10∘1−3tan10∘=sin 10∘cs 10∘cs 10∘−3sin 10∘=2sin 10∘cs 10∘4(12cs 10∘−32sin 10∘)=sin 20∘4sin(30∘−10∘)=14 .
11. 已知csβ−3sinα=2 ,sinβ+3csα=32 ,则sin(β−α)= −58 .
[解析]由csβ−3sinα=2 得(csβ−3sinα)2=cs2β−6csβsinα+9sin2α=4 ，①
由sinβ+3csα=32 得(sinβ+3csα)2=sin2β+6sinβcsα+9cs2α=94 ，②
①+②得,10+6(sinβcsα−csβsinα)=10+6sin(β−α)=254 ，所以sin(β−α)=−58 .
12. 满足等式(1−tanα)(1−tanβ)=2 的数组(α,β) 有无穷多个，试写出一个这样的数组(0,3π4) （答案不唯一，满足α+β=3π4+kπ ，k∈Z 即可）.
[解析]由(1−tanα)(1−tanβ)=2 ，得1−(tanα+tanβ)+tanαtanβ=2 ，所以tanα+tanβ=tanαtanβ−1 ，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=tanαtanβ−11−tanαtanβ=−1 ，
所以α+β=3π4+kπ ,k∈Z ,所以可取α+β=3π4 ,所以(α,β) 可以为(0,3π4) .
[B级 综合运用]
13. 已知角θ 的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，点P(1,2) 为角θ 终边上的一点，将角θ 的终边逆时针旋转π4 得到角β 的终边，则sin(π2+2β)1−cs(3π2−2β)= ( A )
A. −2 B. −12 C. −1 D. 2
[解析]选A.由题可知tanθ=2 ，
所以tanβ=tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=2+11−2=−3 ，
则原式=cs 2β1+sin 2β=cs2β−sin2βsin2β+cs2β+2sinβcsβ=1−tan2βtan2β+1+2tanβ
=1−tanβ1+tanβ=1+31−3=−2 .故选A.
14.已知α ，β 都是锐角，cs(α+β)=513 ，sin(α−β)=35 ，则cs 2α= −1665 .
[解析]因为α ,β 都是锐角，所以0<α+β<π ，−π2<α−β<π2 ，又因为cs(α+β)=513 ,sin(α−β)=35 ,
所以sin(α+β)=1−cs2(α+β)=1213 ,
cs(α−β)=1−sin2(α−β)=45 ,
则cs 2α=cs[(α+β)+(α−β)]=cs(α+β)cs(α−β)−sin(α+β)sin(α−β)
=513×45−1213×35=−1665 .
15.已知2cs(2α+π3)=7sin(α+π6) ，则cs(α−π3)= 14 .
[解析]由题知2cs[2(α−π3)+π]
=7sin[(α−π3)+π2] ，
即−2cs[2(α−π3)]=7cs(α−π3) ，
则−4cs2(α−π3)+2=7cs(α−π3) ，
即4cs2(α−π3)+7cs(α−π3)−2=0 ，
解得cs(α−π3)=14 或cs(α−π3)=−2 （舍去）.
16. 已知0<β<π4<α<3π4 ,cs(π4−α)=35 ,sin(π4−β)=513 .
（1） 求csα 的值；
[答案]解：因为π4<α<3π4 ,所以−π2<π4−α<0 ,
又cs(π4−α)=35 ，所以sin(π4−α)=−45 ，所以csα=cs[π4−(π4−α)]=csπ4cs(π4−α)+
sinπ4sin(π4−α)=22×35+22×(−45)=−210 .
（2） 求sin(α−β) 的值.
[答案]因为0<β<π4 ,所以0<π4−β<π4 ,又sin(π4−β)=513 ,所以cs(π4−β)=1213 ，所以sin(α−β)=sin[(π4−β)−(π4−α)]=sin(π4−β)cs(π4−α)−cs(π4−β)sin(π4−α)=513×35−1213×(−45)=6365 .
[C级 素养提升]
17. 设α ，β∈[0,π] ，且满足sinαcsβ−csαsinβ=1 ，则sin(2α−β)+sin(α−2β) 的取值范围为( C )
A. [−2,1] B. [−1,2] C. [−1,1] D. [1,2]
[解析]选C.因为sinαcsβ−csαsinβ=sin(α−β)=1 ，且α ，β∈[0,π] ，所以α−β=π2 ，由0≤α≤π，0≤β=α−π2≤π⇒π2≤α≤π ,
所以sin(2α−β)+sin(α−2β)=sin(2α−α+π2)+sin(α−2α+π)=csα+sinα=2sin(α+π4) ,因为π2≤α≤π ,所以3π4≤α+π4≤5π4 ,所以−1≤2sin(α+π4)≤1 ,即所求的取值范围是[−1,1] .故选C.
18. 已知α ,β 为锐角，tanα=43 ,cs(α+β)=−55 .
（1） 求cs 2α 的值；
[答案]解：因为tanα=43=sinαcsα ,所以sinα=43csα .
因为sin2α+cs2α=1 ，所以cs2α=925 ，
所以cs 2α=2cs2α−1=−725 .
（2） 求tan(α−β) 的值.
[答案]因为α ,β 为锐角，所以α+β∈(0,π) .
又因为cs(α+β)=−55 ，所以α+β∈(π2,π) ，
所以sin(α+β)=1−cs2(α+β)=255 ，所以tan(α+β)=−2 .
因为tanα=43 ,所以tan 2α=2tanα1−tan2α=−247 ,所以
tan(α−β)=tan[2α−(α+β)]=tan 2α−tan(α+β)1+tan 2αtan(α+β)=−211 .