专题7.5 与三角形有关的角的四大类型解答-八年级数学上册举一反三系列（北师大版）

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专题7.5 与三角形有关的角的四大类型解答【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对与三角形有关的角的四大类型解答的理解！【类型1 与三角形有关的角的计算】1．（2023春·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）如图，△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．   【答案】75°【分析】先由三角形内角和定理得到∠ACB=80，再由角平分线的定义得到∠ACE=40，进而利用三角形外角的性质得到∠CED=75°，根据垂直的定义和三角形内角和定理求出∠EDF=15°，进而根据垂直的定义求出∠CDF的度数即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，，∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=12∠ACB=40°，∴∠CED=∠A+∠ACE=75°，∵DF⊥CE，即∠DFE=90°，∴∠EDF=180°−∠DEF−∠DFE=15°，∵CD⊥AB，即∠ADC=90°，∴∠CDF=∠ADC−∠EDF=75°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，熟知三角形内角和为180°是解题的关键．2．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一点，连接AD．(1)当AD为BC边上的中线时，若AE=6，△ABC的面积为30，求CD的长；(2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数．【答案】(1)CD=5(2)∠DAE=15°【分析】（1）由中线平分三角形面积可得△ADC的面积，再由面积公式即可求得CD的长；（2）由三角形内角和可求得∠BAC的度数，由角平分线的性质可求得∠ADE，然后在Rt△ADE中即可求得结果．【详解】（1）解：∵AD为BC边上的中线，∴S△ADC=12S△ABC=12×30=15，∵AE为边BC上的高，AE=6，∴12CD⋅AE=15，∴CD=5．（2）解：∵∠BAC=180°−∠B−∠C=78°，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=12∠BAC=39°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=36°+39°=75°，∵AE⊥BC，∴∠AED=90°，∴∠DAE=90°−75°=15°．【点睛】本题考查了三角形中线、角平分线、三角形内角和及三角形外角的性质等知识，掌握这些知识是基础与关键．3．（2023春·安徽淮北·八年级校考期末）如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，CD平分∠ACB，∠BDC=135°．(1)求∠DBF+∠DCF的度数；(2)求∠A的度数．【答案】(1)45°(2)90°【分析】（1）根据三角形的内角和定理，即可求解；（2）先证明BD平分∠ABC，再根据三角形的内角和即可求解．【详解】（1）解：∵∠BDC=135°，∴∠DBF+∠DCF=180°−135°=45° ；（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE=DF，∴BD平分∠ABC，即∠ABD =∠CBD． ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD． ∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=180°−2(∠DBC+∠DCB)=180°−2×45°=90°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°．4．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，点D为△ABC的边BC上一点，∠BAD=13∠BAC，BP平分∠ABC交AD于点P，∠C=70°，∠ADB=110°．求∠BPD的度数．  【答案】45°【分析】首先根据三角形的外角和求出∠CAD=40°，由此可得∠BAD=20°，再根据三角形的内角和和角平分线的性质求出∠BPD的度数即可.【详解】解：∵∠C+∠CAD=∠ADB，∴70°+∠CAD=110°．∴∠CAD=40°．∵∠BAD=13∠BAC，∴∠CAB=60°，∠BAD=20°．在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180°，∴70°+60°+∠ABC=180°，∴∠ABC=50°．∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=12∠ABC=25°．∴∠BPD=∠ABP+∠BAD=25°+20°=45°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和、外角和和角平分线的定义，属于基础题，要熟练掌握.5．（2023春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线交BC的延长线于点E，BG⊥AE，垂足为点F，交CD于点G．  (1)求证：BG平分∠ABE．(2)若∠DCE=105°，∠DAB=60°，求∠BGC的度数．【答案】(1)证明见详解(2)35°【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DAE=∠E，再根据角平分线的性质得出∠DAE=∠BAE，从而得出∠E=∠BAE，最后根据等腰三角形的性质即可得出BG平分∠ABE；（2）根据∠DAB=60°，AD∥BC，得出∠ABE=120°，再根据角平分线的性质得出∠GBE=60°，从而得出∠DCE=105°，最后根据∠BGC=∠DCE−∠GBE即可得出答案．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠E，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE，∴∠E=∠BAE，∴AB=BE，∵BG⊥AE，∴BG平分∠ABE；（2）∵∠DAB=60°，AD∥BC，∴∠ABE=120°，∵BG平分∠ABE，∴∠GBE=60°，∵∠DCE=105°，∴∠BGC=∠DCE−∠GBE=105°−60°=35°．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角以及平行线的性质，熟记平行线的性质以及三角形的性质是解题的关键．6．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）已知：如图1，在三角形ABC中，∠BAC=40°，∠C=65°，将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，连接AE．  (1)当∠E=65°时，请说明AE∥BC．(2)如图2，当DE在AC上方时，且∠E=2∠BAE−29°时，求∠BAE与∠EAC的度数．(3)在整个运动中，当AE垂直三角形ABC中的一边时，求出所有满足条件的∠E的度数．【答案】(1)见解析(2)∠BAE=23°，∠EAC=17°(3)25°或50°或90°【分析】（1）由平移的性质可得AC∥DE，可得∠CAE=∠E=65°=∠C，可得结论；（2）由平行线的性质可得∠BAC=∠BDE=40°，∠E=∠EAC，由外角的性质可得∠E+∠BAE=40°，即可求解；（3）分三种情况讨论，由平行线的性质以及三角形的内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，∴AC∥DE，∴∠CAE=∠E=65°，∴∠C=∠CAE，∴AE∥BC；（2）解：∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，∴DE∥AC，∴∠BAC=∠BDE=40°，∠E=∠EAC，∴∠E+∠BAE=40°，∵∠E=2∠BAE−29°，∴∠BAE=23°，∠E=17°，∴∠EAC=17°；（3）解：如图2，当DE⊥BC时，   ∵∠BAC=40°，∠C=65°，∴∠ABC=75°，∵AE⊥BC，∴∠BAE=15°，∵∠BDE=40°，∴∠E=25°；如图3，当AE⊥AC时，   ∵AC∥DE，∴∠E=∠CAE=90°，如图4，当AE⊥AB时，∵AC∥DE，∠BAC=40°∴∠E=90°−∠ADE=50°综上所述：∠E=25°或50°或90°．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，平移的性质，三角形的外角性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．7．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在A′处．【感知】如果点A′落在边AB上，这时图①中的∠1变为0°，那么∠A′与∠2之间的关系是 ;【探究】如果点A′落在四边形BCDE的内部(如图①)，那么∠A′与∠1、∠2之间存在怎样的数量关系?并说明理由.【拓展】如果点A′落在四边形BCDE的外部(如图②)，那么请直接写出∠A′与∠1、∠2之间存在数量关系 .                  【答案】感知：∠2=2∠A′探究：2∠A′=∠1+∠2 拓展：2∠A′=∠2−∠1【分析】[感知]根据三角形外角性质得出∠1=∠A+∠EA′D，根据折叠性质得出∠EA′D=∠A，即可求出答案；[探究]根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°−∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°−∠A′，两式相加可得∠A′DA+∠A′EA=360°−∠A+∠A′，即∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°，根据平角的定义得出∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA=360°，可得出∠A′+∠A=∠1+∠2，根据折叠性质得出∠A′=∠A，即可得出2∠A=∠1+∠2；[拓展]根据三角形外角性质得出∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，推出∠2=∠A+∠A′+∠1，即可得出答案．【详解】解：[感知]：∠2=2∠A．理由如下：当点A'落在边AB上时，由折叠可得：∠EA′D=∠A；∵∠2=∠A+∠EA′D，∴∠2=2∠A，故答案为：∠2=2∠A；[探究]：2∠A=∠1+∠2．理由如下：∵∠AED+∠ADE=180°−∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°−∠A′，∴∠A′DA+∠A′EA=360°−(∠A+∠A′)，∴∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°，∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA=360°，∴∠A′+∠A=∠1+∠2，由折叠可得：∠A=∠A′，∴2∠A′=∠1+∠2，故答案为：2∠A′=∠1+∠2；[拓展]：如图②，  ∵∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，由折叠可得：∠A=∠A′，∴∠2=∠A+∠A′+∠1=2∠A+∠1，∴2∠A=∠2−∠1，2∠A′=∠2−∠1故答案为：2∠A′=∠2−∠1．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解．8．（2023春·江西萍乡·八年级统考期末）已知点A在射线CE上，∠C=∠ADB．  (1)如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD；(2)如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC=∠BAD，∠DFE=8∠DAE时，求∠BAD的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠DAE+2∠C=90°，理由见解析(3)99°【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠DAE=∠C，再根据∠C=∠ADB，即可得到∠DAE=∠ADB，即可得证；（2）∠DAE+2∠C=90°．根据三角形外角的性质，可得到∠CGB=∠ADB+∠DAE，根据直角三角形两锐角互余，有∠CGB+∠C=90°，再根据∠C=∠ADB即可得到∠DAE与∠C的数量关系；（3）设∠DAE=α，则∠DFE=8α，∠AFD=180°−8α，根据DF∥BC，即可得到∠C=∠AFD=180°−8α，再根据∠DAE+2∠C=90°，即可得到α+2180°−8α=90°，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到∠BAD的度数．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠C，又∵∠C=∠ADB，∴∠DAE=∠ADB，∴AC∥BD；（2）解：∠DAE+2∠C=90° 理由如下：∵∠CGB是△ADG的外角，∴∠CGB=∠ADB+∠DAE，∵BD⊥BC，∴∠CBD=90°，∴在△BCG中，∠CGB+∠C=90°，∴∠ADB+∠DAE+∠C=90°，又∵∠C=∠ADB，∴∠DAE+2∠C=90°；（3）设∠DAE=α，则∠DFE=8α，∴∠AFD=180°−8α，∵DF∥BC，∴∠C=∠AFD=180°−8α，又∵∠DAE+2∠C=90°，∴2180°−8α+α=90°，∴α=18°∴∠C=180°−8×18°=36°，∴∠ADB=∠C=36°，又∵∠BAC=∠BAD，∴∠ABC=180°−∠C−∠BAC=180°−∠ADB−∠BAD=∠ABD，∵∠CBD=90°，∴∠ABC=∠ABD=12∠CBD=45°，∴在△ABD中，∠BAD=180°−45°−36°=99°，∴∠BAD的度数为99°．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余．灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．9．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，点F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于点D．  (1)如图1，如果点F在线段AE上，且∠C=50°，∠B=30°，则∠EFD=______．(2)如果点F在△ABC的外部，分别作出∠CAE和∠EDF的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究∠AKD、∠C、∠B三者之间的数量关系，并说明理由：(3)如图3，若点F与点A重合，PE、PC分别平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，连接PA，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G，PH⊥AB交BA的延长线于点H，若∠EAD=∠CAD，且∠CPG=710∠B+∠CPE，求∠EPH的度数．【答案】(1)10°(2)画图见解析，∠AKD=3∠C−∠B4，理由见解析(3)95°【分析】（1）先求出∠BAC=100°，进而得到∠BAE=50°，∠AEC=80°，根据FD⊥BC得到∠FDE=90°，即可求出∠EAD=90°−∠AED=10°；（2）根据题意先画出图形，根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到∠CDK=12∠EDF=45°，∠CAK=12∠CAF=45°−14∠B−14∠C，再由三角形内角和定理得到∠TAC+∠C=∠TDK+∠AKD，则45°−14∠B−14∠C+∠C=45°+∠AKD，据此即可得到答案；（3）根据∠EAD=∠CAD=2α得到∠BAE=∠CAE=4α，得到∠BAD=6α，从而求出∠B=90°−6α，进而求出∠CPE=2α，结合∠CPG=710∠B+∠CPE，得到∠CPG=63°−145α．根据PG⊥BC，得到45°+α+63°−145α=90°，求出α=10°．从而分别求出∠B=90°−6α=30°，∠PEM=35°，∠BEP=145°，再求出∠PHB=90°，根据四边形内角和为360°即可求出∠EPH=95°．【详解】（1）解：∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=100°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=50°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，∵DF⊥BC，∴∠FDE=90°，∴∠EFD=90°−∠AED=10°，故答案为：10°；（2）解：∠AKD=3∠C−∠B4，理由如下：在△ABC中，∠BAC=180°−∠B−∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC=90°−12∠B−12∠C，∵DF⊥BC，∴∠FDE=90°，∵∠CAE和∠EDF的角平分线交于点K，∴∠CDK=12∠EDF=45°，∠CAK=12∠CAF=45°−14∠B−14∠C，∵∠TAC+∠C+∠ATC=180°=∠TDK+∠AKD+∠DTK，∠DTK=∠ATC，∴∠TAC+∠C=∠TDK+∠AKD，∴45°−14∠B−14∠C+∠C=45°+∠AKD，∴∠AKD=34∠C−14∠B=3∠C−∠B4；  （3）解：设∠EAD=∠CAD=2α，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=∠EAD+∠CAD=4α，∴∠BAD=6α，∵AD⊥BC∴∠ADE=90°，∴∠B=90°−∠BAD=90°−6α，∠AED=90°−2α，∴∠ACM=∠B+∠BAC=90°+2α，∵PE、PC分别平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，∴∠PEC=12∠AEC=45°−α，∠PCG=12∠ACM=45°+α，∴∠EPC=∠PCG−∠PEC=2α，∴∠CPG=710∠B+∠CPE=71090°−6α+2α=63°−14α5，∵PG⊥BC，∴∠PCG+∠CPG=90°，即45°+α+63°−145α=90°，∴α=10°．∴∠B=90°−6α=30°，∠PEC=35°，∴∠BEP=180°−∠PEM=145°，∵PH⊥AB，∴∠PHB=90°，∴在四边形BEPH中，∠EPH=360°−∠BEP−∠B−∠BHP=95°（四边形内角和可以看做是两个三角形的内角和）．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，三角形角平分线，综合性较强，第（3）步难度较大．熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键．【类型2 与三角形有关的角的证明】1．（2023春·安徽宿州·八年级统考期末）如图，AB∥CD，点E在AC上，求证：∠A=∠CED+∠D．  【答案】证明见解析【分析】首先根据平行线的性质得到∠A+∠C=180°，然后根据三角形内角和定理得到∠CED+∠D+∠C=180°，进而可证明出∠A=∠CED+∠D．【详解】∵AB∥CD∴∠A+∠C=180°∵在△CED中，∠CED+∠D+∠C=180°∴∠A=∠CED+∠D．【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠B=60°，点G在直线EF上且∠ABG=∠FGB．  (1)求证：∠C=∠CGE．(2)若∠C=∠CGB+20°，求∠C的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)70°．【分析】（1）根据平行线的判定及性质即可证明；（2）先根据平行线的性质求得∠CMG=∠B=60°，再利用三角形的内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：∵∠ABG=∠FGB，∴AB∥EF，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠C=∠CGE；（2）解：如图，  ∵∠C=∠CGB+20°，∴∠CGB=∠C−20°，∵AB∥CD，∠B=60°，∴∠CMG=∠B=60°，∵∠C+∠CMG+∠CGB=180°，∴∠C+∠C−20°+60°=180°，∴∠C=70°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．3．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）已知点D在∠ABC内，E为射线BC上一点，连接DE，CD．  (1)如图1所示，连接AE，若∠AED=∠BAE+∠CDE．①线段AB与CD有何位置关系？请说明理由；②过点D作DM∥AE交直线BC于点M，求证：∠CDM=∠BAE；(2)如图2所示，∠AED=∠A−∠D，若M为平面内一动点，MA∥ED，请直接写出∠MAB与∠CDE的数量关系．【答案】(1)①AB∥CD，理由见解析；②证明见解析(2)∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°【分析】（1）①过点E作EF∥AB，则∠AEF=∠BAE，由∠AED=∠BAE+∠CDE，∠AED=∠AEF+∠FED得到∠CDE=∠FED，则FE∥CD，即可得到结论．②由DM∥AE得到∠AED=∠MDE．∠CDE=∠FED，则∠MDC=∠AEF．由∠AEF=∠BAE即可得到∠CDM=∠BAE；（2）分点M在直线AB的右侧和点M在直线AB的左侧两种情况，分别求出∠MAB与∠CDE的数量关系为：∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°．【详解】（1）解：①AB∥CD.理由：过点E作EF∥AB，如图，   则∠AEF=∠BAE，∵∠AED=∠BAE+∠CDE，∠AED=∠AEF+∠FED，∴∠CDE=∠FED，∴FE∥CD，∵AB∥EF，∴AB∥CD．②∵DM∥AE，∴∠AED=∠MDE．∵∠CDE=∠FED，∴∠MDC=∠AEF．∵∠AEF=∠BAE，∴∠CDM=∠BAE．（2）当点M在直线AB的右侧时，如下图，∠MAB=∠CDE，理由：   设AE与CD交于点F，∵∠CFE=∠D+∠AED，∴∠AED=∠CFE−∠D．∵∠AED=∠BAE−∠D，∴∠BAE=∠CFE．∴AB∥CD．∴∠ABC=∠DCE．∵AM∥DE，∴∠AMB=∠DEC．∵∠MAB=180°−∠ABC−∠AMB，∠CDE=180°−∠DCE−∠DEC，∴∠MAB=∠CDE，②当点M在直线AB的左侧时，如图，∠MAB+∠CDE=180°，理由：   由（2）①可知：∠BAN=∠CDE．∵∠BAN+∠BAM=180°，∴∠MAB+∠CDE=180°．综上，∠MAB与∠CDE的数量关系为：∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°．【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理灵活进行角的关系转换是解题的关键．4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）射线OM、ON交于O点，OC平分∠MON，∠MON=60°，  (1)如图1，PA、PB分别平分∠OAB、∠OBA时，直接写出∠APB=__________；(2)如图2，PA、PB分别平分∠MAB、∠NBA时，求出∠APB的度数；(3)在（2）条件下，如图2中，求证∠PAB+∠OPB=90°．【答案】(1)120°(2)60°(3)证明见解析【分析】（1）由三角形内角和定理得∠OAB+∠OBA=120°，由角平分线的定义得∠PAB+∠PBA=12∠OAB+12∠OBA=60°，再利用三角形内角和定理进行计算即可；（2）由三角形内角和定理得∠OAB+∠OBA=120°，由平角的定义得∠MAB+∠MBA=240°，由角平分线的定义得∠PAB+∠PBA=120°，再利用三角形内角和定理进行计算即可；（3）由（2）可得∠PAB=∠MAP=30°+∠APO，∠OPB=60°−∠APO，代入∠PAB+∠OPB化简即可.【详解】（1）解：∵∠MON=60°，∴∠OAB+∠OBA=120°∵PA、PB分别平分∠OAB、∠OBA，∴∠PAB=12∠OAB，∠PBA=12∠OBA，∴∠PAB+∠PBA=12∠OAB+12∠OBA=60°∴∠APB=180°−∠PAB+∠PBA=120°，故答案为：120°；（2）解：∵∠MON=60°，∴∠OAB+∠OBA=120°，∴∠MAB+∠MBA=240°，∵PA、PB分别平分∠MAB、∠NBA，∴∠PAB=12∠MAB，∠PBA=12∠MBA，∴∠PAB+∠PBA=12∠MAB+12∠MBA=120°，∴∠APB=180°−∠PAB+∠PBA=60°；（3）证明：∵OC平分∠MON，∠MON=60°，∴∠MOC=12∠MON=30°，∵PA平分∠MAB，∴∠PAB=∠MAP=∠MOP+∠APO=30°+∠APO，∵∠APB=60°∴∠OPB=60°−∠APO∴∠PAB+∠OPB=30°+∠APO+60°−∠APO=90°【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．5．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角∠BAC内部有一点D，在其两边AB和AC上各取任意一点E，F，连接DE，DF．求证：∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；(2)下列说法正确的是____________．A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理B．小丽的证法还需要改变∠BAC的大小，再进行证明，该定理的证明才完整C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理D．小红的证法只要将点D在∠BAC的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理(3)如图，若点D在锐角∠BAC外部，ED与AC相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索∠BED，∠DFC，∠BAC，∠EDF之间的关系．【答案】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和(2)A(3)不成立，∠BED=∠BAC+∠DFC+∠EDF【分析】（1）连接AD并延长至点M，根据三角形外角的性质解答即可；（2）按照定理的证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，即可得答案；（3）根据三角形外角的性质得∠AGE=∠DFC+∠EDF，∠BED=∠BAC+∠AGE，整理可得答案【详解】（1）解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（2）根据定理证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，故A正确；（3）不成立，∵∠AGE是△GDF的一个外角，∴∠AGE=∠DFC+∠EDF，∵∠BED为△AEG的一个外角，∴∠BED=∠BAC+∠AGE，∴∠BED=∠BAC+∠DFC+∠EDF（或∠BED−∠DFC=∠BAC+∠EDF）．【点睛】本题考查了三角形的外角，解题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．6．（2023春·北京大兴·八年级统考期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°．  (1)如图1，点M在线段CB上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作BD⊥AM，交AM延长线于点D，过点N作NE∥BD，交AB于点E，交AM于点F．判断∠ENB与∠NAC之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明；(2)如图2，点M在线段CB的延长线上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作BD⊥AM于点D，过点N作NE∥BD，交BA延长线于点E，交MA延长线于点F．①依题意补全图形；②若∠CAB=45°，求证：∠NEA=∠NAE．【答案】(1)∠ENB=∠NAC，理由见解析(2)①见解析；②见解析【分析】（1）依据∠NFD=∠ADB=90°，∠ACB=90°，即可得到∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，进而得出∠MAC=∠ENB，再根据∠NAC=∠MAC，即可得到∠ENB=∠NAC；（2）①过点B作BD⊥AM于点D，过点N作NE∥BD，交BA延长线于点E，交MA延长线于点F；②依据∠ENB=∠NAC，∠NEA=135°−∠ENB，∠EAN=135°−∠NAC，即可得到∠NEA=∠NAE．【详解】（1）解：∠ENB=∠NAC，理由：∵BD⊥AM，∴∠ADB=90°，∵NE∥BD，∴∠NFD=∠ADB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠FAC+∠AMC=∠FNC+∠AMC=90°，∴∠MAC=∠ENB，又∵∠NAC=∠MAC，∴∠ENB=∠NAC；（2）解：①补全图形如图：  ②同理可证∠ENB=∠NAC，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=45°，∴∠ABC=45°，∴∠ABM=135°，∴∠NEA=∠ABM−∠NEB=135°−∠ENB，∵∠EAN=∠EAB−∠NAC−∠CAB=135°−∠NAC，∴∠NEA=∠NAE．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质的综合运用，解决问题的关键是利用三角形内角和是180°进行推算．7．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）【探究结论】（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是______（直接写出结论，不需要证明）：【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2=180°．（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=3∠CEF，若8°<∠BAE<20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为______．  【答案】（1）∠AEC=∠A+∠C；（2）见解析；（3）42°或41°【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠A=∠1，∠2=∠C，由此即可得到结论；（2）由（1）可知：∠EG2F=∠1+∠DFG2，由角平分线的定义结合∠1=∠2可得∠EG2F=∠2+∠EFG2，再根据三角形的内角和定理可证明结论；（3）由（1）知：∠AEF=∠BAE+∠DFE，设∠CEF=x，则∠AEC=3x，可求得∠BAE=4x−60°，结合∠BAE度数的取值范围可求解x的取值范围，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：（1）如图所示，过点E作EF∥AB， ∴∠A=∠1，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠2=∠C．∵∠AEC=∠1+∠2，∴∠AEC=∠A+∠C，故答案为：∠AEC=∠A+∠C；  （2）由（1）可知：∠EG2F=∠1+∠DFG2，∵FG2平分∠MFD，∴∠EFG2=∠DFG2，∵∠1=∠2，∴∠EG2F=∠2+∠EFG2，∵∠EG1F+∠2+∠EFG2=180°，∴∠FG1E+∠G2=180°；（3）由（1）知：∠AEF=∠BAE+∠DFE，设∠CEF=x，则∠AEC=3x，∵∠EFD=60°，∴x+3x=∠BAE+60°，∴∠BAE=4x−60°，又∵8°<∠BAE<20°，∴8°<4x−60°<20°，解得17°