专题5.7 二元一次方程组章末八大题型总结（拔尖篇）-八年级数学上册举一反三系列（北师大版）

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专题5.7 二元一次方程组章末八大题型总结（拔尖篇）【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc11225" 【题型1 二元一次方程的整数解】  PAGEREF _Toc11225 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc19070" 【题型2 由方程组的错解问题求参数的值】  PAGEREF _Toc19070 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc4564" 【题型3 解含参数的二元一次方程组】  PAGEREF _Toc4564 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc19118" 【题型4 根据二元一次方程方程有公共解求解】  PAGEREF _Toc19118 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc18810" 【题型5 整体思想解二元一次方程组】  PAGEREF _Toc18810 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc3898" 【题型6 二元一次方程组的新定义问题】  PAGEREF _Toc3898 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc32002" 【题型7 二元一次方程组的规律探究】  PAGEREF _Toc32002 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc9793" 【题型8 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc9793 \h 6【题型1 二元一次方程的整数解】【例1】方程x+y=7的正整数解的对数是（   ）A．5 B．7 C．6 D．无数对【变式1-1】二元一次方程2x+y=−6的负整数解是 ．【变式1-2】在方程3x+5y＝143的正整数解中，使|x﹣y|的值最小的解是 ．【变式1-3】如果将二元一次方程：y=−2x+7的一组正整数解x=1y=5写成1,5的形式，并称1,5为方程y=−2x+7的一个正整数点，请写出方程y=−2x+7剩下的正整数点 ．【题型2 由方程组的错解问题求参数的值】【例2】（23·24八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人都解方程组ax+y=22x−by=1，甲看错a解得x=1y=2，乙看错b解得x=1y=1，则方程组正确的解是 ．【变式2-1】已知▲x+•y=1□x−7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=−1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．【变式2-2】小朋同学在解方程组y−ax=by=−2x的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为x=−1y=2．又已知方程y−ax=b的一个解是x=−2y=1，则b的值应该是 ．【变式2-3】一个星期天，小明和小文两人同解关于x、y的二元一次方程组ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄错了方程①，得到方程组的解为x=3y=2；小文抄错了方程②，得到方程组的解为x=−1y=2，试求a2+b2−2ab的值．【题型3 解含参数的二元一次方程组】【例3】已知方程组3x−y=5−2kx+3y=k+5，那么x+y= ．【变式3-1】整数a为 时，方程组2x+ay=4x+4y=8有正整数解．【变式3-2】已知x，y是整数，且满足x−y+3=0，ax−y−1=0，则整数a的所有可能值有（    ）个A．4 B．5 C．6 D．8【变式3-3】已知关于x，y的方程组x+my=7mx−y=2+m，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ．【题型4 根据二元一次方程方程有公共解求解】【例4】若2a−b=0，且关于x，y的二元一次方程a−1x+by+5−2a=0，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（    ）A．x=3y=−1 B．x=1y=−12 C．x=5y=−32 D．x=2y=32【变式4-1】关于x，y的二元一次方程y=kx−2k+3（k为常数），当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（    ）A．x=3y=1 B．x=2y=3 C．x=1y=3 D．x=3y=−1【变式4-2】已知关于x、y的二元一次方程m−2x+m−3y+2m−3=0，当m每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是（    ）A．x=3y=−1 B．x=1y=−3 C．x=−1y=3 D．x=−3y=1【变式4-3】定义一种新的运算：a☆b=2a−b，例如：3☆−1=2×3−−1=7．若a☆b=0，且关于x，y的二元一次方程a+1x−by−a+3=0，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 ．【题型5 整体思想解二元一次方程组】【例5】若关于m，n的二元一次方程组3m−an=162m−bn=15的解是m=7n=3,那么关于x，y的二元一次方程组3x+y−ax−y=162x+y−bx−y=15的解 ．【变式5-1】综合与实践问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：4x+3y3+6x−y8=84x+3y6+6x−y2=11．观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x−y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得m=18n=16，所以4x+3y=186x−y=16，解方程组，得 ．探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13．【变式5-2】阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如2x+3y=5①5x−2y=3②，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设1x=m，1y=n，原方程组转化为2m+3n=55m−2n=3，解得m=1n=1，∴1x=1，1y=1，由倒数定义得，原方程组的解为x=1y=1．(1)直接写出满足方程3x+2y=4的一个解______；(2)解方程组3x+2y=4①5x−6y=2②．【变式5-3】问题：已知关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8的解满足方程x+2y=5，求m的值．同学们正在讨论着不同的解题思路：甲同学说：可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8，再求m的值．乙同学说：可以先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m的值；丙同学说：可以先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m的值．…请用2种不同的方法解决上面的问题．【题型6 二元一次方程组的新定义问题】【例6】定义：数对x，y经过一种运算可以得到数对x′，y′，将该运算记作：dx，y=x，y′，其中x′=ax+byy′=ax−by（a，b为常数）.例如，当a=1，b=1时，d−2，3=1，−5.（1）当a=2，b=1时，d3，1= ；（2）如果组成数对x，y的两个数x，y满足二元一次方程x−3y=0时，总有dx，y=−x，−y，则a= ，b= .【变式6-1】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程2x=4和3x+6=0为“关联方程”．(1)若关于x的方程5x+a=0与方程2x−4=x+1是“关联方程”，求a的值；(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值；(3)若关于x的方程2x+3b−2=0和3x−5b+4=0是“关联方程”，求b的值．【变式6-2】定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为mn，即mn=10m+n．(1)若2x−x3=−1，求x的值；(2)若x2+y3=45x−y=2，求xy的值．【变式6-3】对于有理数x，y，定义新运算：x∗y=ax+by，x⊗y=ax−by，其中a，b是常数．已知1∗1=1，3⊗2=8．(1)求a，b的值；(2)若关于x，y的方程组x∗y=4−mx⊗y=5m 的解也满足方程x+y=5，求m的值；(3)若关于x，y的方程组2a1x−b1y=c12a2x+b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组2a1x+yx−b1x−y=c12a2x+yx+b2x−y=c2的解．【题型7 二元一次方程组的规律探究】【例7】下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.【变式7-1】对下列问题，有三位同学提出了各自的想法：若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=4，求方程组3a1(x−1)+b1(y+3)=4c13a2(x−1)+b2(y+3)=4c2的解．甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．答： ．【变式7-2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：②-①得：6x+6y=6，即x+y=1．③③×17得：17x+17y=17．④①-④得：y=2，代入③得x=−1．所以这个方程组的解是x=−1y=2．(1)请你运用小明的方法解方程组1997x+1999y=20012017x+2019y=2021．(2)规律探究：猜想关于x、y的方程组ax+a+2y=a+4bx+b+2y=b+4a≠b的解是______．【变式7-3】下面是按一定规律呈现的一组二元一次方程组和它的解（如下表）．根据上面表格中方程组及其解所呈现的规律，完成下面的问题：（1）方程组①的解为　 　；（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出第n个方程组和它的解．第n个方程组为　 　，这个方程组的解为　 　．（3）若方程组x+y=1x−ay=25的解是x=5y=−4，求a的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律．【题型8 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】【例8】阅读下列材料解决问题：两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7=8+2=10故37和82互为“调和数”．(1)下列说法错误的是________A．123和51互为“调和数” B．345和513互为“调和数”C．2018和8120互为“调和数” D．两位数xy和yx互为“调和数”(2)若A、B是两个不等的两位数，A=xy， B=mn，A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，求证：y=−x+9．【变式8-1】阅读下列材料，解决问题．(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）；② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________；(2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数；(3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数．【变式8-2】阅读材料： 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2可以写成矩阵a1b1c1a2b2c2的形式．例如：3x+4y=165x−6y=33可以写成矩阵34165−633的形式．根据以上信息解决下列问题：(1)请求出矩阵4153−23对应的方程组的解；(2)若矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，求a+b+c的值．【变式8-3】阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解，例：由2x+3y=12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数），要使y=4−23x为正整数，则23x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入y=4−23x=2所以2x+3y=12的正整数解为x=3y=2．问题：(1)求方程3x+2y=8的正整数解．(2)已知一根木条长7m，现将木条截成2m长和1m长这两种规格，为了不造成浪费，结合上述材料，试说明有几种不同的截法（两种规格均有），并一一列出．序号123……n方程组{2x+y=3x−2y=4{2x+y=5x−4y=16{2x+y=7x−6y=36方程组解{x=2y=−1{x=4y=−3{x=6y=−5序号二元一次方程组二元一次方程组的解①x+y=1x−y=1x=y=②x+y=1x−2y=4x=2y=−1③x+y=1x−3y=9x=3y=−2………………《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？