第5章第03讲 二元一次方程组的应用题(11类热点题型讲练)-八年级上册数学（北师大版）讲义

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第03讲 二元一次方程组的应用题(11类热点题型讲练)1.掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤；2.通过小组合作，分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，学生能准确找出等量关系；3.会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题；4.利用二元一次方程解决数字问题和行程问题；5.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程.知识点01 列方程组解应用题步骤1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： = 1 \* GB3 ①方程两边表示的是同类量； = 2 \* GB3 ②同类量的单位要统一； = 3 \* GB3 ③方程两边的数值要相等。2）解应用题的一般步骤为： = 1 \* GB3 ①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式； = 2 \* GB3 ②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数； = 3 \* GB3 ③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程； = 4 \* GB3 ④解答。知识点02 分析数量关系的常用方法1）直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。2）列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。题型01 二元一次方程组的应用——年龄问题例题：10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意，得解得答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．【变式训练】1．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则解得答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．题型02 二元一次方程组的应用——分配问题例题：某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．【答案】(1)1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨(2)共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨，列出方程求解即可；（2）设安排A货车辆，B货车辆，根据目前有190吨货物需要运输，列出方程求解即可．（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨．根据题意得解得．答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨．（2）设安排A货车辆，B货车辆，依题意，得，即，又因为均为正整数，所以或或，所以共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆．方案1所需费用：500×8+400×2=4800（元）；方案2所需费用：500×5+400×6=4900（元）；方案3所需费用：500×2+400×10=5000（元）；因为4800<4900<5000，所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．【变式训练】1．某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？有多少名学生？【答案】有30间学生宿舍，有160名学生【分析】设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，根据“原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，依题意，得：，解得：．答：该校现有30间学生宿舍，有160名学生．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车(3)租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）根据题意可得300a+400b=3100，再用b表示出a，然后根据a、b均为整数进行列举即可解答；（3）将小货车和大货车每次的租金代入300a+400b里计算，然后比较即可．（1）解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，依题意得： 解得：    答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．（2）接：设租用小货车a辆，大货车b辆，依题意得：300a+400b=3100，∴．又∵a，b均为非负整数，∴或 或，∴共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．（3）解：方案1所需租车费为400×9+500×1=4100（元）；方案2所需租车费为400×5+500×4=4000（元）；方案3所需租车费为400×1+500×7=3900（元）．∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，认真审题、明确题意、弄清量与量之间的关系是解答本题的关键．题型03 二元一次方程组的应用——古代问题例题：《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据“走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步”，列出方程组，即可求解．【详解】解：设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据题意得：．故选：A【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【变式训练】1．《九章算术》记载了一个方程的问题，译文为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实“相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每束之实各为多少升？设上、下禾每束之实各为x升和y升，则依题意可列方程组为__________．【答案】【分析】根据题意列出等量关系：上禾6束上禾每束之实十八升下禾10束下禾每束之实；下禾15束下禾每束之实五升上禾5束上禾每束之实，即可解答．【详解】解：根据等量关系：上禾6束上禾每束之实十八升下禾10束下禾每束之实；下禾15束下禾每束之实五升上禾5束上禾每束之实，可列方程：．故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，正确的找到等量关系是解题的关键．2．我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，上面记载有这样一个问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？请你解答这个问题．【答案】合伙人数为21人，羊价为150钱【分析】设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，找出等量关系， 列出方程组，求解即可．【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱，依题意有：，解得，答：合伙人数为21人，羊价为150钱．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程组．题型04 二元一次方程组的应用——行程问题例题：已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；(2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？【答案】(1)a和b的值分别为60，40；(2)【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可；（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．【详解】（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．∴由题意得：，解得：；即a和b的值分别为60，40；（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时∴由题意得：解得：；∴甲车前一半的时间为：，由于，则乙h时行的路程为：，∵，∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，∴相遇时甲车还没行驶到60km，∴相遇时间为：，则离A地的路程为：．即：两车相遇时，离A地．【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．【变式训练】1．列方程组解应用题：(1)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？(2)小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．两人的平均速度各是多少？【答案】(1)篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；(2)小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．【分析】（1）设篮球、排球队各有x支、y支参赛，根据有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛列出方程组求解即可；（2）设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，根据小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程列出方程组求解即可．（1）解：设篮球、排球队各有x支、y支参赛，由题意得： 解得，答：篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；（2）解：设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，由题意得：，解得，答：小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组是解题的关键．2．小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？【答案】5千米【分析】设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，利用小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校和出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校列出方程组即可求解．【详解】解：设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，由题意可得，解得，答：小北需要骑行5千米到达学校．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键．题型05 二元一次方程组的应用——工程问题例题：玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．(1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ．(2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？(3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．【答案】(1)(2)时间上考虑选择甲公司(3)从节约开支上考虑选择乙公司【分析】（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解．（2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可；（3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．【详解】（1）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则，故答案为：．（2）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意得，解得：∵∴甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司．（3）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元，根据题意得：解得：∴公司共需万元，乙公司共需万元，4万元＜6万元，∴从节约开支上考虑选择乙公司．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．【变式训练】1．杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？(2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值．【答案】(1)每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．(2)m的值为12．【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设抽调m名熟练工人，由工作总量=工作效率×工作时间，即可得出关于n，m的二元一次方程，再根据n，m均为正整数且，即可求出m的值．（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意得：解得：．答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．（2）（2）根据题意得：30×（8n+12m）×（1-5%）=5700，整理得：，∵n，m均为正整数，且，∴（舍），（舍），，∴m的值为12．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．2．通道县政府为把双江镇建设成国家级文明县城,现有一段长为180 m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12 m,乙工程队每天整治8 m,共用时20天.问甲、乙两工程队分别整治了多少米？【答案】【分析】设甲、乙两工程队分别整治了米和米， 根据总共整治180米，与甲工程队每天整治12 m,乙工程队每天整治8 m,共用时20天，列出关于和的二元一次方程，解出即可．【详解】解：设甲、乙两工程队分别整治了米和米，根据题意列方程得 ，解得，答：甲工程队整治了60米，乙工程队整治了120米．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．题型06 二元一次方程组的应用——和差倍分问题例题：一玻璃厂熔炼玻璃液，其原料由石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%．经过化验，石英砂中含二氧化硅95%，长石粉中含二氧化硅63%．要配制3.2t原料，需石英砂，长石粉各多少？【答案】需石英砂，长石粉【分析】设需石英砂xt，长石粉yt，根据题意，联立方程组，解出即可得出结论．【详解】解：设需石英砂xt，长石粉yt，根据题意，可得：，解得：，答：需石英砂，长石粉．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解本题的关键在正确找出等量关系．【变式训练】1．用二元一次方程组解应用题：一家超市中，杏的售价为10元/kg，桃的售价为8元/kg，小菲在这家超市买了杏和桃共7kg，共花费61元．求小菲这次买的杏、桃各多少千克？【答案】小菲这次买杏2.5千克，桃4.5千克．【分析】设小菲这次买杏x千克，桃y千克，利用总价＝单价×数量，结合“小菲在这家超市买了杏和桃共7kg，共花费61元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设小菲这次买杏x千克，桃y千克，依题意得：，解得：．答：小菲这次买杏2.5千克，桃4.5千克．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．2021年7月21日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某学校积极响应“双减”政策，为了丰富学生校园生活，经研究决定准备购买一批体育健身器材．已知购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元．求篮球和排球的单价．【答案】篮球的单价是100元，排球的单价是80元．【分析】设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据“购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元”列二元一次方程组，求解即可；【详解】解：设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据题意，得，解得，∴篮球的单价是100元，排球的单价是80元．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理清题中的等量关系，根据题意列方程组是解题的关键．题型07 二元一次方程组的应用——方案问题例题：去年年底，重庆疫情形势严峻，除了医务人员和志愿者们主动请缨走向抗疫前线，众多企业也纷纷伸出援助之手．某公司租用A、B两种货车向重庆运送抗疫物资，已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运物资吨；用1辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运物资吨．(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运送多少吨物资？(2)现有吨抗疫物资需要运往重庆，该公司计划同时租用A型车和B型车（两种型号车均要租用），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金元/次，B型车每辆需租金元/次．那么该公司有哪几种租车方案，并且哪种方案租车费用最少．【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资(2)该公司有三种租车方案，方案一租车费用最少【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资，根据题意，列出方程组，解出即可得出答案；（2）设租辆型车，辆型车，根据题意，得出，且、均为正整数，解出或或，据此得出该公司有三种租车方案，再算出每种租车方案的费用，即可得出答案．【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资，根据题意，可得：，解得：，∴1辆A型车装满货物一次可运送吨物资，1辆B型车装满货物一次可运送吨物资；（2）解：设租辆型车，辆型车，根据题意，可得：，∵、均为正整数，∴或或，∴该公司有三种租车方案：方案一：租辆型车，辆型车；方案二：租辆型车，辆型车；方案三：租辆型车，辆型车，∴方案一所需费用为（元），方案二所需费用为（元），方案三所需费用为（元），∵，∴方案一租车费用最少．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解本题的关键在找准等量关系，正确列出方程．【变式训练】1．某校在2022年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表：若租用 A型客车5辆和 B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用 A型客车1辆和 B型客车5辆，则需要租金 2800 元.(1)求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？(2)现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用 A型客车和 B型客车各多少辆，需要花费多少钱？【答案】(1)A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元(2)租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元【分析】（1）设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，根据已知租用方案，列出方程组，解之即可；（2）设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，得到关于a，b的二元一次方程，求出正整数解，可得方案．（1）解：设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，由题意可得：，解得：，∴A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元；（2）设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，28a+49b=588，化简得：4a+7b=84，∴，∴当b=4，a=14，需要花费14×300+4×500=6200元；当b=8，a=7，需要花费7×300+8×500=6100元，∴租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元．【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，注意题中有干扰数据．2．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来；(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨(2)方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．(3)最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程；（3）根据总租金=每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，依题意，得：，解得：．答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．（2）解：依题意，得：3a+4b=31，∴．又∵a，b均为正整数，∴或或，∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．（3）解：方案1所需租金为100×9+120×1=1020（元）；方案2所需租金为100×5+120×4=980（元）；方案3所需租金为100×1+120×7=940（元）．∵1020＞980＞940，∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用．题型08 二元一次方程组的应用——销售、利润问题例题：某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进A种纪念品件，B种纪念品5件，则需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品件，则需要元．(1)求A、B两种纪念品的购进单价；(2)已知商店购进两种纪念品件，共花费元，两种纪念品均标每件元出售，其中有5件B种纪念品以七五折售出，求这件纪念品的销售利润．【答案】(1)A种纪念品的购进单价为元，B种纪念品的购进单价为元；(2)元．【分析】（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，根据“购进A种纪念品件，B种纪念品5件，则需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品件，则需要元”列出方程求解即可；（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，根据“购进两种纪念品件，共花费元” 列出方程求解即可得到A种纪念品和B种纪念品的件数，再根据“利润=总销售额－成本”即可得出答案．【详解】（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，根据题意，得解得答：A种纪念品的购进单价为15元，B种纪念品的购进单价为13元．（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，依题意，得所以售完利润为：（元）答：这32件纪念品的销售利润为元．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．【变式训练】1．某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？(2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？【答案】(1)20个，30个(2)再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个【分析】（1）设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）先计算出所得利润，然后列出二元一次方程求出整数解即可．（1）解：设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，有题意得解得答：冰墩墩和雪容融分别进了20和30个；（2）由表格得，设再次购进冰墩墩和雪容融分别为a个和b个，∴35a+30b=600∴∵a，b为正整数 ∴可得，∴再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个．【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程（组）是解题关键．2．临近年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元．(1)求甲、乙两种消毒液的单价；(2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中每瓶均装满，若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量．【答案】(1)甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元(2)分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个【分析】（1）设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，根据“购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元”，列出二元一次方程组，解之即可；（2）设分装的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，根据需将的消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗，列出二元一次方程，结合，均为非负整数得出各分装方案，选择最小的方案即可．（1）解：设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，依题意得：，解得：，答：甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元；（2）设需要的空瓶个，的空瓶个，依题意得：，，，均为非负整数，或或，当，时，总损耗为；当，时，总损耗为；当，时，总损耗为；，分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．题型09 二元一次方程组的应用——数字问题例题：一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共有（  ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】设原两位数的个位为x， 十位为y，则这个两位数为10y+x， 所以交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y，再列方程10x+y−10y−x=63， 找出符合条件的正整数解即可．【详解】解：设原两位数的个位为x， 十位为y， 则这个两位数为10y+x，交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y， 则10x+y−10y−x=63，整理得：x−y=7，又∵x，y为正整数，且0