湖北省孝感市2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省孝感市2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．如图所示,菱形中,对角线相交于点O,E为边中点,菱形周长为16,则的长为( )
A.2B.4C.6D.8
2．下列各式正确的是( )
A.B.C.D.
3．在中,已知,BE平分交AD边于点E,点E将AD分为两部分,则AD的长为( )
A.8或24B.8C.24D.9或24
4．如图,沿直角边所在直线向右平移到,则下列结论中,错误的是( )
A.B.C.D.
5．对于任意实数k,关于x的方程的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根D.无法确定
6．使二次根式的有意义的x的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我云南,唱我云南”的歌咏比赛,共有15名同学入围,他们的决赛成绩如下表：
则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是( )
,9.60,9.60,9.70,9.60
8．点关于y轴对称的点的坐标是( )
A.B.C.D.
二、填空题
9．如图,中,,则______.
10．命题“对角线相等的平行四边形是矩形”的逆命题为______.
11．直线经过点,则______.
12．已知：如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,交BC于点E,,,则OE的长为______.
13．在矩形ABCD中,,BG、DH分别平分、,交AD、BC于点G、H.要使四边形BHDG为菱形,则AD的长为______.
14．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为,,,点P在BC(不与点B、C重合)上运动,当是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为______.
15．观察下列勾股数：
观察以上各组勾股数组成特点,第七组勾股数是______(只填数字,不填等式).
16．若一个三角形的三边长为3、4、x,则使此三角形是直角三角形的x的值是______.
三、解答题
17．先化简后求值：,其中.
18．如图,在平面直角坐标系xOy中,点,点,点.
①作出关于y轴的对称图形；
②写出点、、的坐标
(2)已知点,点在直线的图象上,求的函数解析式.
19．已知：四边形ABCD,E,F,G,H是各边的中点.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)假如四边形ABCD是一个矩形,猜想四边形EFGH是什么图形？并证明你的猜想.
20．如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E、F分别为边AB、AD的中点,连接EF、OE、OF.求证：四边形AEOF是菱形.
21．在宁波慈善一日捐活动中,学校团总支为了了解本校学生的捐款情况,随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计,并绘制成统计图.
(1)这50名同学捐款的众数为___元,中位数为___元；
(2)该校共有600名学生参与捐款,请估计该校学生的捐款总数.
22．如图,直线交两坐标轴于点,.
(1)求直线的解析式；
(2)点C的坐标为,连接.证明：,且线段；
(3)在(2)的条件下,点D为平面直角坐标系内一点,当四边形为正方形时,请直接写出点D的坐标.
23．晨光文具店的某种毛笔每支售价30元,书法纸每本售价10元.为促销制定了两种优惠方案：甲方案,买一支毛笔就送一本书法纸；乙方案,按购买的总金额打8折.某校欲为书法小组购买这种毛笔10支,书法纸本.
(1)求甲方案实际付款金额元与x的函数关系式和乙方案实际付款金额元与x的函数关系式；
(2)试通过计算为该校提供一种节约费用的购买方案.
24．如图,矩形OABC中,点A在x轴上,点C在y轴上,点B的坐标是,矩形OABC沿直线BD折叠,使得点C落在对角线OB上的点E处,折痕与OC交于点D.
(1)求直线OB的解析式及线段OE的长；
(2)求直线BD的解析式及点E的坐标；
(3)若点P是平面内任意一点,点M是直线BD上的一个动点,过点M作轴,垂足为点N,在点M的运动过程中是否存在以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在,直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：∵菱形的周长为16,
∴,,
∵E为边中点,
∴是的中位线,
∴.
故选：A.
2．答案：D
解析：对于A选项,只有当时,故A选项错误；
对于B选项,可用特殊值法,令、,则,因此B选项是错误；
同样的方法,可判断选项C错误；
对于D选项,,因此D选项是正确.
故选D
3．答案：A
解析：∵BE平分,
∴,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴,
∴,
∴,
∴.
∵点E将AD分为1:3两部分,
∴或,
∴当时,；
当,；
故选A.
4．答案：D
解析：A、向右平移得到,则成立,故正确,不符合题意；
B、,则,,即,故正确,不符合题意；
C、,则成立,故正确,不符合题意；
D、不能成立,故错误,符合题意,
故选D.
5．答案：C
解析：∵,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选C.
6．答案：C
解析：要使有意义,必须,解得：.
故选C.
7．答案：B
解析：∵共有18名同学,
则中位数为第9名和第10名同学成绩的平均分,即中位数为：,
众数为：9.60.
故选B.
8．答案：A
解析：点点关于y轴对称的点坐标为
故选A.
9．答案：110°
解析：,
,
在平行四边形中,
,
故答案为110°.
10．答案：矩形是对角线相等的平行四边形
解析：命题”两条对角线相等的平行四边形是矩形“的逆命题是矩形是两条对角线相等的平行四边形,
故答案为矩形是两条对角线相等的平行四边形.
11．答案：
解析：将代入直线方程得：
解得,,
故答案.
12．答案：2.5
解析：∵四边形ABCD是菱形,,,
∴,,,
∴,
∵,
∴OE是的中位线,
∴.
故答案为2.5.
13．答案：
解析：∵在矩形ABCD中,BG平分,
∴,,
∴,
∴.
又∵,
∴.
又∵四边形BHDG为菱形,
∴.
∴.
14．答案：或
解析：∵,
∴B的坐标为
①当P运动到图①所示的位置时
此时
过点P作于点E,
在中,根据勾股定理
∴
此时P点的坐标为；
②当P运动到图②所示的位置时
此时
过点P作于点E,
在中,根据勾股定理
此时P点的坐标为；
③当P运动到图③所示的位置时
此时
过点P作于点E
在中,根据勾股定理4
∴
此时P点的坐标为,此时P点与B点重合,故不符合题意.
综上所述,P的坐标为或
15．答案：15,112,113
解析：观察可以发现：第n组勾股数为,,,
当时,勾股数为：,,.
故答案为：15,112,113.
16．答案：5或
解析：当4是直角三角形的斜边时,,解得；
当4是直角三角形的直角边时,,解得.
故使此三角形是直角三角形的x的值是5或.
故答案为:5或.
17．答案：,
解析：
,
将代入,得：原式.
18．答案：(1)①图见解析
②、、
(2)
解析：(1)①作图如下.
②、、.
(2)由题意,
解得
∴函数解析式为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)四边形EFGH是菱形,理由见解析
解析：(1)∵E,F,G,H是各边的中点,
∴,,
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)四边形ABCD是一个矩形,四边形EFGH是菱形；
∵四边形ABCD是矩形,
∴,
∴,
∵四边形EFGH是平行四边形,
∴四边形EFGH是菱形.
20．答案：证明见解析
解析：∵点E、F分别为AB、AD的中点,
∴,,
又∵四边形ABCD是菱形,
∴,
∴,
又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,
∴O为BD中点,
∴OE、OF是的中位线,
∴四边形AEOF是平行四边形,
∵,
∴四边形AEOF是菱形.
21．答案：(1)15；15
(2)7800元
解析：(1)数据15元出现了20次,出现次数最多,所以众数是15元；数据总数为50,所以中位数是第25、26位数的平均数,即(元).故答案为15,15；
(2)(元)；估计这个中学的捐款总数(元).
答：该校学生的捐款总数7800元.
22．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)直线经过点,,
.解得.
直线的解析式为.
(2)方法一：如图1,过点C作轴于E.
可得与都是,.
,,
,.
,
.
.
.
,即.
方法二：如图2,连接.
,,,
；
.
,.
是等腰直角三角形.
,且.
方法三：由方法一可知：.
设直线的解析式为,可得
解得.
直线的解析式为.
又直线与的解析式的一次项系数的积.
.
(3)方法一：如图3.
四边形为正方形,
,；,.
将点向右平移4个单位,
再向下平移3个单位
可得到点.
将同样平移
可得点.
也可以根据点B平移到点C的平移方式,由点A平移得出点D的坐标.
方法二：如图4.四边形为正方形.
,.
直线的解析式为.
设直线的解析式为.
又直线经过点.
.
直线的解析式为.
同理可得,直线的解析式为.
点D是直线与直线的交点,
有解得点.
也可以用类似的垂直法得出点D的坐标.
方法三：如图5.连接、,两线交于点H
四边形为正方形.
点H是的中点,也是的中点.
,,
点.
即点.
又.点.
方法四：如图6.过点D作轴于点N.
可证得.
得到,.
.
点N在x轴的正半轴.
点D在第四象限.
点.
23．答案：(1)；
(2)见解析
解析：(1)①；
②；
(2)①∵,
解得：；
∴当练习本超过20本时,选择乙方案；
②∵,
解得：；
∴当练习本为20本时,两种方案价钱一样；
③∵,
解得：；
∴当练习本少于20本时,选择甲方案.
答：当练习本超过20本时,选择乙方案；当练习本为20本时,两种方案价钱一样；当练习本少于20本时,选择甲方案.
24．答案：(1),
(2),
(3)存在,点M的坐标为或或或
解析：(1)设直线OB的解析式为,
将点代入中,得,
,
直线OB的解析式为,
四边形OABC是矩形,且,
,,
,,
根据勾股定理得,,
由折叠知,,
；
(2)设,
,
由折叠知,,,
在中,,
根据勾股定理得,,
,
,
,,
设直线BD的解析式为,
,
∴
∴
直线BD的解析式为,
由(1)知,直线OB的解析式为,
设点,
根据的面积得,,
,
；
(3)由(1)知,,
以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形,
当OE是菱形的边时,,
或,
Ⅰ、当时,
轴,
点M的横坐标为4,
点M是直线BD：上,
,
Ⅱ、当时,
轴,
点M的横坐标为,
点M是直线BD：上,
,
当OE是菱形的对角线时,记对角线的交点为,,
由(2)知,,
,
由(1)知,直线OB的解析式为,
点过直线PN,
直线PN的解析式为,
令,
,
,
,
轴,
点M的横坐标为,
点M是直线BD：上,
,
当ON为对角线时,ON与EP互相平分,
点,
；
即：点M的坐标为或或或.
成绩(分)
9.40
9.50
9.60
9.70
9.80
9.90
人数
2
3
5
2
2
1