湖北省孝感市2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

这是一份湖北省孝感市2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 如图所示，菱形中，对角线相交于点，为边中点，菱形周长为，则的长为（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线的性质，根据菱形的四条边都相等求出，菱形的对角线互相平分可得，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，可得答案．熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质是解题的关键．
【详解】解：∵菱形的周长为，
∴，，
∵为边中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：A．
2. 下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于选项A，给的分子、分母同时乘以a可得，由此即可作出判断；
对于选项B、C，只需取一对特殊值代入等式两边，再判断两边的值是否相等即可；您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 性价比最高 对于选项D，先对的分子、分母分别因式分解，再约分即可判断.
【详解】对于A选项，只有当a=b时，故A选项错误；
对于B选项，可用特殊值法，令a=2、b=3，则，因此B选项是错误；
同样的方法，可判断选项C错误；
对于D选项，=，因此D选项是正确.
故选D
【点睛】本题可以根据分式的基本性质和因式分解的知识进行求解．
3. 在▱ABCD中，已知AB＝6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1：3两部分，则AD的长为（ ）
A. 8或24B. 8C. 24D. 9或24
【答案】A
【解析】
【分析】因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，可证得AB＝AE=6，点E将AD分为1：3两部分，可得DE＝18或DE＝2两种情况，分别讨论即可求解.
【详解】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠BEA，
∴AB＝AE＝6．
∵点E将AD分为1：3两部分，
∴DE＝18或DE＝2，
∴当DE＝18时，AD＝24；
当DE＝2，AD＝8；
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及等角对等边，熟悉掌握是关键．
4. 如图，沿直角边所在直线向右平移到，则下列结论中，错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．
【详解】A、Rt△ABC向右平移得到△DEF，则△ABC≌△DEF成立，故正确，不符合题意；
B、△ABC≌△DEF，则BC＝EF，BC－EC＝EF－EC，即BE=CF，故正确，不符合题意；
C、△ABC≌△DEF，则AC=DF成立，故正确，不符合题意；
D、BE=EC不能成立，故错误，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.
5. 对于任意实数k，关于x的方程x2﹣kx﹣1=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】先求出△=b2-4ac的值，根据△＞O有两个不相等实数根，△=0有两个相等实数根，△＜0没有实数根作出判断．
【详解】解：∵△=，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选C．
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，△＞O有两个不相等实数根，△=0有两个相等实数根，△＜0没有实数根，属于中考常考题型．
6. 使二次根式的有意义的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：要使有意义，必须，解得：．故选C．
考点：二次根式有意义的条件．
7. 学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我云南，唱我云南”的歌咏比赛，共有 15 名同学入围，他们的决赛成绩如下表：
则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A. 9.70，9.60B. 9.60，9.60C. 9.60，9.70D. 9.65，9.60
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数和众数的概念求解．
【详解】∵共有18名同学，
则中位数为第9名和第10名同学成绩的平均分，即中位数为：=9.60，
众数为：9.60．
故选B．
【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8. 点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】解：点点关于y轴对称的点坐标为
故选A.
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
二、填空题
9. 如图，▱ABCD中，∠DCE=70°，则∠A=__．
【答案】110°
【解析】
【分析】
【详解】解：

在平行四边形中，

故答案为110°．
10. 命题“对角线相等的平行四边形是矩形”的逆命题为________________________
【答案】矩形是对角线相等的平行四边形
【解析】
【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】命题”两条对角线相等的平行四边形是矩形“的逆命题是矩形是两条对角线相等的平行四边形，
故答案为矩形是两条对角线相等的平行四边形．
【点睛】本题考查命题与逆命题，熟练掌握之间的关系是解题关键.
11. 直线y＝2x＋1经过点(a，0)，则a＝________．
【答案】
【解析】
【分析】代入点的坐标，求出a的值即可．
【详解】将（a，0）代入直线方程得：2a+1=0
解得，a=，
故答案．
【点睛】本题考查了直线方程问题，考查函数代入求值，是一道常规题．
12. 已知：如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AC=6,BD=8,则OE的长为_________
【答案】2.5.
【解析】
【分析】根据菱形对角线的性质可求得AB的长，再由OE∥DC可得OE是△ABC的中位线，进一步可求得结果.
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴OA=OC=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，
∴AB==5，
∵OE∥DC∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=2.5．
故答案为2.5．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理和三角形的中位线等知识，属于基础题型，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
13. 在矩形ABCD中，AB＝1，BG、DH分别平分∠ABC、∠ADC，交AD、BC于点G、H.要使四边形BHDG为菱形，则AD的长为__________．
【答案】1＋
【解析】
【分析】根据勾股定理求得BG的长度，结合菱形的邻边相等得到BG＝GD，由此求得AD＝AG＋GD．
【详解】∵在矩形ABCD中，BG平分∠ABC，
∴∠A＝90°，∠ABG＝45°，
∴∠AGB＝∠ABG＝45°，
∴AB＝AG.
又∵AB＝1，
∴BG＝.
又∵四边形BHDG为菱形，
∴BG＝GD＝.
∴AD＝AG＋GD＝1＋.
【点睛】本题考查的是菱形，熟练掌握菱形是解题的关键.
14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为，，，点P在BC（不与点B、C重合）上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______．

【答案】（1,3）或（4,3）
【解析】
【分析】根据△ODP是腰长为5的等腰三角形，因此要分类讨论到底是哪两条腰相等：①PD=OD为锐角三角形；②OP=OD；③OD=PD为钝角三角形，注意不重不漏.
【详解】∵C（0,3），A（9,0）
∴B的坐标为（9,3）
①当P运动到图①所示的位置时

此时DO=PD=5
过点P作PE⊥OA于点E，
在RT△OPE中，根据勾股定理4
∴OE=OD-DE=1
此时P点的坐标为（1,3）；
②当P运动到图②所示的位置时
此时DO=PO=5
过点P作PE⊥OA于点E，
在RT△OPE中，根据勾股定理4
此时P点的坐标为（4,3）；
③当P运动到图③所示的位置时
此时OD=PD=5
过点P作PE⊥OA于点E
在RT△OPE中，根据勾股定理4
∴OE=OD+DE=9
此时P点的坐标为（9,3），此时P点与B点重合，故不符合题意.
综上所述，P的坐标为（1,3）或（4,3）
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定以及勾股定理的应用.
15. 观察下列勾股数：
观察以上各组勾股数组成特点，第七组勾股数是____________（只填数字，不填等式）.
【答案】15，112，113
【解析】
【分析】本题主要考查了数字规律、勾股数等知识点，通过观察发现规律是解题的关键.
通过观察可发现，第n 组勾股数为，然后根据该规律即可解答．
【详解】解：观察可以发现：第n 组勾股数为，
当时，勾股数为：.
故答案为：15，112，113.
16. 若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是__________.
【答案】5或 ．
【解析】
【详解】分析: 由于直角三角形的斜边不能确定，故应分4是斜边或直角边两种情况进行讨论．
详解：当4是直角三角形的斜边时，32+x2=42，解得x=；
当4是直角三角形的直角边时，32+42=x2，解得x=5．
故使此三角形是直角三角形的x的值是5或．
故答案为: 5或．
点睛:本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
三、解答题
17. 先化简后求值：，其中
【答案】
，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，然后再将x的值代入计算即可．
【详解】解：
，
将代入，得：原式．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算和化简求值以及分母有理化，掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解答本题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点，点.
①作出关于y轴的对称图形；
②写出点、、的坐标
（2）已知点，点在直线的图象上，求的函数解析式.
【答案】(1)①详见解析;②、、；(2)
【解析】
【分析】①依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；②依据△A1B1C1的位置，即可得到点A1、B1、C1的坐标；
【详解】解：（1）①作图如下.
②、、.
（2）由题意，
解得
∴函数解析式为．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及待定系数法的运用，掌握轴对称的性质是解决问题的关键．
19. 已知：四边形ABCD，E，F，G，H是各边中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）假如四边形ABCD是一个矩形，猜想四边形EFGH是什么图形？并证明你的猜想．
【答案】（1）见解析；（2）四边形EFGH是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理可EF∥AC∥HG，HE∥BD∥GF，即可解答.
（2）根据菱形是邻边相等的平行四边形，证明EF＝AC＝BD＝EH，即可解答.
【详解】（1）∵E，F，G，H是各边的中点，
∴EF∥AC∥HG，HE∥BD∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）四边形ABCD是一个矩形，四边形EFGH是菱形；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴EF＝AC＝BD＝EH，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
【点睛】此题考查平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键在于利用三角形中位线定理进行求证，掌握各判定定理.
20. 如图，菱形ABCD对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为边AB、AD的中点，连接EF、OE、OF．求证：四边形AEOF是菱形．
【答案】略
【解析】
【详解】∵点E、F分别为AB、AD的中点，
∴AE=AB，AF=AD，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴AE=AF，
又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴O为BD中点，
∴OE、OF是△ABD的中位线，
∴四边形AEOF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴四边形AEOF是菱形．
21. 在宁波慈善一日捐活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成统计图．
(1)这50名同学捐款的众数为___元，中位数为___元；
(2)该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数．
【答案】（1）15；15；（2）7800元
【解析】
【分析】（1）根据众数的定义即出现次数最多的数据进而得出即可，再利用中位数的定义得出即可；
（2）利用条形统计图得出各组频数，再根据加权平均数的公式计算平均数，利用样本估计总体的思想，用总数乘以捐款平均数即可得到捐款总数．
【详解】(1)数据15元出现了20次，出现次数最多，所以众数是15元；数据总数为50,所以中位数是第25、26位数的平均数,即(15+15)÷2=15(元).故答案为15，15；
(2)(5×8+10×14+15×20+20×6+25×2)÷50=13(元)；估计这个中学的捐款总数=600×13=7800(元).
答：该校学生的捐款总数7800元.
【点睛】本题考查中位数和众数，解题的关键是掌握中位数和众数的求法.
22. 如图，直线交两坐标轴于点．

（1）求直线的解析式；
（2）点的坐标为，连接．证明：，且线段；
（3）在（2）的条件下，点为平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求直线解析式即可求解；
（2）如图，过点，作轴于，
（3）根据一次函数的平移可得的解析式为，即可求解．
【小问1详解】
直线经过点，
．解得．
直线的解析式为．
【小问2详解】
方法一：如图1，过点作轴于．
可得与都是Rt．
，
．
．
．
，即．

方法二：如图2，连接．
，
；
．
．
是等腰直角三角形．
，且．

方法三：由方法一可知：．
设直线的解析式为，可得
直线的解析式为．
又直线与的解析式的一次项系数的积．
．
【小问3详解】
方法一：如图3．
四边形为正方形，
．
将点向右平移4个单位，
再向下平移3个单位
可得到点．
将同样平移
可得点．
也可以根据点平移到点的平移方式，由点平移得出点的坐标．
方法二：如图4．四边形为正方形．
．
直线的解析式为．
设直线的解析式为．
又直线经过点．
．
直线的解析式为．
同理可得，直线的解析式为．
点是直线与直线的交点，
有解得点．
也可以用类似的垂直法得出点的坐标．

方法三：如图5．连接，两线交于点
四边形为正方形．
点是的中点，也是的中点．
，
点．
即点．
又点．

方法四：如图6．过点作轴于点．
可证得Rt．
得到．
．
点在轴的正半轴．
点在第四象限．
点．
【点睛】本题考查一次函数的综合运用．待定系数法求解析式，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，两直线平行、垂直、交点坐标等知识．
23. 晨光文具店的某种毛笔每支售价30元，书法纸每本售价10元．为促销制定了两种优惠方案：甲方案，买一支毛笔就送一本书法纸；乙方案，按购买的总金额打8折．某校欲为书法小组购买这种毛笔10支，书法纸x（x≥10）本．
（1）求甲方案实际付款金额元与x的函数关系式和乙方案实际付款金额元与x的函数关系式；
（2）试通过计算为该校提供一种节约费用的购买方案．
【答案】（1）y甲=10x+200（x≥10）；；（2）见解析.
【解析】
【分析】(1)甲方案实际付款=10支毛笔的价钱+10本以外练习本的总价钱，把相关数值代入即可求解；乙方案实际付款=（10支毛笔的总价钱+练习本的总价钱）×0.8，把相关数值代入即可求解；
(2)把①②得到的式子比较大小列出式子计算即可．
【详解】解：(1)①=30×10+10（x-10）=10x+200（x≥10）；
②=（30×10+10x）×0.8=8x+240；
(2)①∵10x+200＞8x+240，
解得：x＞20；
∴当练习本超过20本时，选择乙方案；
②∵10x+200=8x+240，
解得：x=20；
∴当练习本为20本时，两种方案价钱一样；
③∵10x+200