2018-2019学年湖北省孝感市大悟县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

 2.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）

 3.如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ）

4.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元；若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应多植多少株？设每盆多植株，则可以列出的方程是（ ）

5.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）

6.如图，已知二次函数的部分图象，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，

7.已知是一元二次方程较大的根，则下面对的估计正确的是（ ）

8.已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（ ）

9.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论错误的是（ ）

10.已知二次函数，当自变量分别取、、时，对应的函数值分别为、、，则、、的大小关系是（ ）

二、填一填（每小题3分，共18分）

11.把方程变形为的形式后，________，________．

12.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，则点在第________象限．

13.抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
 

则抛物线的对称轴是________．

14.某小区2018年屋顶绿化面积为平方米，计划2020年屋顶绿化面积要达到平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________．

15.如图所示的抛物线的图象，那么的值是________．

16.如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…．若点，，则点的坐标为________．
 

三、用心做一做（本题共8小题，满分72分）

17.解下列方程：

；

（2）．

18.如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度，已知：

作出关于点成中心对称的图形，并写出点对应点的坐标；

作出把绕点逆时针旋转后的图形．写出点对应点的坐标．

19.已知方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．

20.已知关于的一元二次方程有实数根．

求的取值范围；

若中，，，的长是方程的两根，求的长．

21.如图，某小区规划在一个长米，宽为米的矩形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为平方米，求道路的宽度．

22.如图，已知二次函数的图象经过、两点．

求这个二次函数的解析式；

设该二次函数的对称轴与轴交于点，连接、，求的面积．

23.如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．

求抛物线的解析式；

是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

24.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本．

当销售单价为元时，每天的销售利润是多少？

求出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

如果该企业每天的总成本不超过元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本每件的成本每天的销售量）

答案

1. 【答案】C

【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误．
故选：．

2. 【答案】A

【解析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．

【解答】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．

3. 【答案】B

【解析】根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据旋转的性质可得．

【解答】解：∵绕直角顶点顺时针旋转得到，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由旋转的性质得．
故选：．

4. 【答案】A

【解析】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，由题意得即可．

【解答】解：设每盆应该多植株，由题意得
，
故选：．

5. 【答案】B

【解析】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．

【解答】解：根据题意，图象与轴交于负半轴，故为负数，又四个选项中，、的为，符合题意，故
设二次函数的表达式为，
抛物线过，，，
所以，
解得，，，
这个二次函数的表达式为．
故选．

6. 【答案】C

【解析】根据图象知道抛物线的对称轴为，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出．

【解答】解：由抛物线图象可知其对称轴为，
又抛物线是轴对称图象，
∴抛物线与轴的两个交点关于对称，
而关于的一元二次方程的两个根分别是，，
那么两根满足，
而，
∴．
故选．

7. 【答案】C

【解析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．

【解答】解：解方程得：，
∵是方程较大的根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．

8. 【答案】A

【解析】由于关于的一元二次方程有一个非零根，那么代入方程中即可得到，再将方程两边同时除以即可求解．

【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个非零根，
∴，
∵，
∴，
方程两边同时除以，得，
∴．
故选：．

9. 【答案】D

【解析】本题考查二次函数图象的相关知识与函数系数的联系．需要根据图形，逐一判断．

【解答】解：、因为二次函数的图象与轴的交点在轴的上方，所以，正确；
、由已知抛物线对称轴是直线，得，正确；
、由图知二次函数图象与轴有两个交点，故有，正确；
、直线与抛物线交于轴的下方，即当时，，即，错误．
故选：．

10. 【答案】D

【解析】根据二次函数图象开口方向向上，对称轴为直线，然后利用增减性和对称性解答即可．

【解答】解：∵，
∴二次函数图象开口向上，
又∵对称轴为直线，
∴分别取、、时，对应的函数值分别为最小最大，
∴．
故选．

11. 【答案】,

【解析】把常数项移到等号的右边；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

【解答】解：移项，得
，
配方，得
，
所以，．
故答案是：；．

12. 【答案】三

【解析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，求出和的值，继而判断点所在的象限即可．

【解答】解：根据中心对称的性质，得：，，
解得：，，
∴点在第三象限．
故答案为：三．

13. 【答案】

【解析】首先找出纵坐标相等的两个点，可根据这两个点的横坐标判断出抛物线的对称轴．

【解答】解：由抛物线过、两点知：
抛物线的对称轴为．
故答案为：．

14. 【答案】

【解析】一般用增长后的量增长前的量（增长率），如果设这个增长率是，根据题意即可列出方程．

【解答】解：设这个增长率是，根据题意可列出方程为：
，
，
．
所以，（舍去）．
故．
答：这个增长率为．
故答案是：．

15. 【答案】

【解析】把原点坐标代入抛物线解析式计算即可求出的值，再根据抛物线的对称轴在轴的右边判断出的正负情况，然后即可得解．

【解答】解：由图可知，抛物线经过原点，
所以，，
解得，
∵抛物线的对称轴在轴的右边，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

16. 【答案】

【解析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、…每偶数之间的相差个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标．

【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴的横坐标为：，且，
∴的横坐标为：，
∴点的横坐标为：．
∴点的纵坐标为：．
故答案为：．

17. 【答案】解：，
或，
所以，；; （2），
，
所以，．

【解析】利用因式分解法解方程；; 利用求根公式法解方程．

【解答】解：，
或，
所以，；; （2），
，
所以，．

18. 【答案】

解：所作图形如图所示：
；; 所作图形如图所示：
．

【解析】分别作出点、、关于点成中心对称的点，然后顺次连接，写出点对应点的坐标；; 分别将点、绕点逆时针旋转后的点，然后顺次连接，写出点对应点的坐标．

【解答】

解：所作图形如图所示：
；; 所作图形如图所示：
．

19. 【答案】解：∵方程的一个根是，
∴方程，
即，
解得；
有方程，
解得，
所以另一根为．

【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将代入原方程即可求得及另一根的值．

【解答】解：∵方程的一个根是，
∴方程，
即，
解得；
有方程，
解得，
所以另一根为．

20. 【答案】解：∵方程有实数根，
∴，
解得：，
又因为是二次项系数，所以，
所以的取值范围是且．; 由于是方程，
所以把代入方程，可得，
所以原方程是：，
解得：，，
所以的值是．

【解析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，即可求出的取值范围．; 由于是方程，所以可以确定的值，进而再解方程求出的值．

【解答】解：∵方程有实数根，
∴，
解得：，
又因为是二次项系数，所以，
所以的取值范围是且．; 由于是方程，
所以把代入方程，可得，
所以原方程是：，
解得：，，
所以的值是．

21. 【答案】道路的宽为米．

【解析】本题中草坪的总面积矩形场地的面积-三条道路的面积和+三条道路中重叠的两个小正方形的面积，据此可得出关于道路宽度的方程，求出道路的宽度．

【解答】解：设道路的宽为米，
由题意得：
化简得：
解得：，
当时，道路的宽就超过了矩形场地的长和宽，因此不合题意舍去．
 

22. 【答案】解：把、代入，
得：
解得，
∴这个二次函数的解析式为．; ∵该抛物线对称轴为直线，
∴点的坐标为，
∴，
∴．

【解析】二次函数图象经过、两点，两点代入，算出和，即可得解析式．; 先求出对称轴方程，写出点的坐标，计算出，然后由面积公式计算值．

【解答】解：把、代入，
得：
解得，
∴这个二次函数的解析式为．; ∵该抛物线对称轴为直线，
∴点的坐标为，
∴，
∴．

23. 【答案】解：∵在直线上，
∴，即，
∵和在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式；; 存在．
设动点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴开口向下，有最大值，
∴当时，线段有最大值．

【解析】将点坐标代入直线解析式，求出的值，然后把、坐标代入二次函数解析式，求出、，即可求得解析式；; 设动点的坐标为，点的坐标为，表示出的长度，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时的值．

【解答】解：∵在直线上，
∴，即，
∵和在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式；; 存在．
设动点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴开口向下，有最大值，
∴当时，线段有最大值．

24. 【答案】解：当销售单价为元时，每天的销售利润元；; 由题得．
∵销售单价不得低于成本，
∴．; ∵该企业每天的总成本不超过元
∴
解得．
由可知
∵抛物线的对称轴为且
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，随增大而减小．
∴当时，有最大，最大值，
即 销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元．

【解析】根据题意先求得当单价为元时的销售量，然后根据利润销售量每件的利润求解即可；; 依据销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件列出函数关系式即可；; 每天的总成本每件的成本每天的销售量列出一元一次不等式，从而可求得的范围，然后利用二次函数的性质可求得最大值利润为元．

【解答】解：当销售单价为元时，每天的销售利润元；; 由题得．
∵销售单价不得低于成本，
∴．; ∵该企业每天的总成本不超过元
∴
解得．
由可知
∵抛物线的对称轴为且
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，随增大而减小．
∴当时，有最大，最大值，
即 销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元．