湘教版高中数学必修第一册期末质量检测题（含答案）

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湘教版高中数学必修第一册期末质量检测题考试时间：120分钟　 满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩(∁UT)＝(　　)A．{1，5} B．{1} C．{1，4，5} D．{1，2，3，4，5}2．sin 330°＝ (　　)A．－ eq \f(\r(3),2)  B． eq \f(\r(3),2)  C．－ eq \f(1,2)  D． eq \f(1,2) 3．已知命题p：∀x>0，2x>log2x，则命题p的否定为(　　)A．∀x>0，2x≤log2x B．∃x>0，2x≤log2x C．∃x>0，2xa2b＋ab2B．若a，b，m为正实数，ab>0”是“ eq \f(1,a) < eq \f(1,b) ”的充分不必要条件D．当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 时，sin x＋ eq \f(2,sin x) 的最小值是2 eq \r(2) 10．若α为第二象限角，则下列结论正确的是(　　)A．sin α>cos α B．sin α>tan α C．sin α＋cos α>0 D．cos α＋tan α>011．下列选项不正确的是(　　)A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)B．函数y＝ eq \f(1,x) 在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f(x)＝eln x和函数g(x)＝ eq \f(1,\r(x)) 有相同的定义域与值域12．已知f(x)＝sin2x＋sin2(x＋α)＋sin2(x＋β)，其中α，β为参数，若对∀x∈R，f(x)恒为定值，则下列结论中正确的是(　　)A．f(x)＝ eq \f(3,2)  B．f(x)＝2C．α＋β＝π D．满足题意的一组α，β可以是α＝ eq \f(π,3) ，β＝ eq \f(2π,3) 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．已知弧长为 eq \f(π,3) cm的弧所对圆心角为 eq \f(π,6) ，则这条弧所在圆的半径为________cm.14．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2，x≤1,loga（x－1），x>1)) ，若f(f(0))＝2，则实数a的值为________．15．若函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4)) 上的最大值为2，最小值为m，函数g(x)＝(3＋2m) eq \r(x) 在[0，＋∞)上是增函数，则a＋m的值是________．16．若函数f(x)＝sin (x＋φ)＋cos x(0<φ<π)的最大值为2，则常数φ的值为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)(1)求值：若xlog32＝1，求2x＋2－x的值；(2)化简： eq \f(cos （α－3π）cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),sin 2α) .18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－3x－4＜0}，B＝{x|x2＋4mx－5m2＜0}，其中m∈R.(1)若B＝{x|－5＜x＜1}，求实数m的值；(2)已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．19．(本小题满分12分)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．①f(x)的最小正周期为π，且f(x)是偶函数；②f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) ＝0；③x＝0与x＝ eq \f(π,2) 是f(x)图象上相邻的两条对称轴，且f(0)＝2；问题：已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，若________．(1)求ω，φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，π]上的单调递减区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20．(本小题满分12分)已知cos α＝－ eq \f(4,5) ，且 eq \f(π,2) <α<π.(1)求5sin (π＋α)－4tan (3π－α)的值；(2)若0<β< eq \f(π,2) ，cos (β－α)＝ eq \f(\r(5),5) ，求sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2β)) 的值．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln  eq \f(2－mx,2＋x) ，m>0，且f(1)＋f(－1)＝0.(1)证明：f(x)在定义域上是减函数；(2)若f(x)＋ln 90，2x>log2x，则命题p的否定为“∃x>0，2x≤log2x”，故选B.答案：B4．解析：根据题意，雨水是冬至后的第四个节气，故从冬至到雨水对应地球在黄道上运行了4×15°＝60°.故选D.答案：D5．解析：因为终边经过点(－2，a)，且α＝120°，所以tan 120°＝ eq \f(a,－2) ＝－ eq \r(3) ，解得a＝2 eq \r(3) ，故选C.答案：C6．解析：因为01，所以b eq \f(3,4) 则智力曲线I不处于最低点，故A错误；B项，情绪曲线E处于最高点，即将开始下降，故B错误；C项，经过n个周期后，因为周期不同，所以智力曲线I与情绪曲线E不一定相交，故C错误；D项，(322, 0)位于体力曲线P和情绪曲线E的交点x轴上，故D正确，故选D.答案：D9．解析：对于A，若a，b为正实数，a≠b，∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)>0，∴a3＋b3>a2b＋ab2，故A正确；对于B，若a，b，m为正实数，a0，则 eq \f(a＋m,b＋m) > eq \f(a,b) ，故B错误；对于C，若 eq \f(1,a) < eq \f(1,b) ，则 eq \f(1,a) － eq \f(1,b) ＝ eq \f(b－a,ab) <0，不能推出a>b>0，而当a>b>0时，有b－a<0，ab>0，所以 eq \f(b－a,ab) <0成立，即 eq \f(1,a) < eq \f(1,b) ，所以“a>b>0”是“ eq \f(1,a) < eq \f(1,b) ”的充分不必要条件，故C正确；对于D，当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 时，00，cos α<0，tan α<0所以A，B正确，D不正确；当α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) 时，sin α＋cos α>0，当α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) 时，sin α＋cos α<0，所以C不一定正确．故选AB.答案：AB11．解析：对于A，若y＝f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故A错误；对于B，函数y＝ eq \f(1,x) 的减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，但函数y＝ eq \f(1,x) 在定义域内不是减函数，故B错误；对于C，若一个函数是周期函数，那么它不一定有最小正周期，例如常数函数f(x)＝1是周期函数，但无最小正周期，故C错误；对于D，函数f(x)＝eln x定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)，函数g(x)＝ eq \f(1,\r(x)) 定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)，故D正确．故选ABC.答案：ABC12．解析：f(x)＝ eq \f(1－cos 2x,2) ＋ eq \f(1－cos （2x＋2α）,2) ＋ eq \f(1－cos （2x＋2β）,2) ＝ eq \f(3,2) － eq \f(1,2) cos 2x·(1＋cos 2α＋cos 2β)－sin 2x·(sin 2β＋sin 2α)，由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos 2α＋cos 2β＝－1,sin 2β＋sin 2α＝0)) ，两式平方相加可得cos (2α－2β)＝－ eq \f(1,2) ，所以f(x)＝ eq \f(3,2) ，2α－2β＝ eq \f(2π,3) ＋2kπ或－ eq \f(2π,3) ＋2kπ，k∈Z.当α＝ eq \f(π,3) ，β＝ eq \f(2π,3) 时，2α－2β＝－ eq \f(2π,3) 符合题意，故选项A，D正确，B，C错误．故选AD.答案：AD13．解析：已知弧长为 eq \f(π,3)  cm的弧所对圆心角为 eq \f(π,6) ，因为α＝ eq \f(l,r) ， 所以r＝ eq \f(l,α) ＝ eq \f(\f(π,3),\f(π,6)) ＝2.答案：214．解析：f(0)＝20＋2＝3，f(f(0))＝f(3)＝loga2＝2，即a2＝2，又a>0，且a≠1，所以a＝ eq \r(2) .答案： eq \r(2) 15．解析：当a>1时，函数f(x)＝logax是正实数集上的增函数，而函数f(x)＝logax在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4)) 上的最大值为2，因此有f(4)＝loga4＝2⇒a＝2，所以m＝log2 eq \f(1,2) ＝－1，此时g(x)＝ eq \r(x) 在[0，＋∞)上是增函数，符合题意，因此a＋m＝2－1＝1；当00，∴m＝1，∴f(x)＝ln  eq \f(2－x,2＋x) .由 eq \f(2－x,2＋x) >0，解得－20，2＋x1>0，2＋x2>0，∴g(x1)－g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)，又y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，由复合函数的单调性知：f(x)在(－2，2)上是减函数．(2)∵f(－x)＝ln  eq \f(2＋x,2－x) ＝－ln  eq \f(2－x,2＋x) ＝－f(x)，∴原不等式可化为2f(x)<－ln 9，即f(x)1.又f(x)的定义域为(－2，2)，∴x的取值集合为{x|127.9>27＝128>100，∴7.9＝ln e7.9>ln 100＝2ln 10，∴v<7.9.∴该单级火箭的最大速度不能超过7.9千米/秒．