景德镇一中2023-2024学年高二上学期1月考试数学试卷(含答案)

这是一份景德镇一中2023-2024学年高二上学期1月考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设直线l的方程为,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．已知椭圆:的左、右焦点分别为,,点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点,设I,G分别为的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时,椭圆C的离心率为( )
A.B.C.或D.或
3．设O为坐标原点,直线l过抛物线的焦点,且与C交于M,N两点,其中M在第一象限,则下列正确的是( )
A.C的准线为
B.的最小值为
C.以MN为直径圆与x轴相切
D.若且,则
4．如图正方体的棱长为1,A,B分别为所在棱的中点,则四棱锥的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
5．已知G是的重心，O是空间中的一点，满足，，则( ).
A.B.C.D.
6．某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动,要求每名同学只能去1个社区,每个社区至少安排1名同学,则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为( )
A.B.C.D.
7．在排查新冠肺炎患者期间,一户4口之家被确认为“与确诊患者密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立,该家庭至少检测了3个人才能确定为“感染高危户”的概率为,当时,最大,则( )
A.B.C.D.
8．为了预测某地的经济增长情况,某经济学专家根据该地2023年1月至6月的GDP数据（单位:百亿元）建立了线性回归模型,得到的线性回归方程为,其中自变量指的是从2023年1月起每个月的编号,如2023年1月编号为1,2023年6月编号为6,部分数据如表所示:
参考数据:,.
则下列说法错误的是( )
A.回归直线经过点
B.
C.根据该模型,该地2023年7月的GDP的预测值为12.47百亿元
D.2023年4月,该模型预测的GDP的数据比实际值低了0.103
二、多项选择题
9．已知圆,直线（m,且m,n不同时为0）,下列说法正确的是( )
A.当直线l经过时,直线l与圆G相交所得弦长为
B.当时,直线与l关于点G对称,则的方程为:
C.当时,圆G上存在4个点到直线l的距离为
D.过点G与l平行直线方程为:
10．已知双曲线C:的一条渐近线与直线垂直,焦距为,P是双曲线右支上任意一点,过点P分别作两条渐近线的平行线,与另外一条渐近线分别相交于点A,B,O是坐标原点,则下列结论中正确的是( )
A.双曲线的方程为B.双曲线的离心率为
C.的面积为定值D.的最小值为
11．已知向量,,则下列结论正确的是( )
A.若,则,B.若,则,
C.若,则D.若,则
12．下列排列组合数中，正确的是( )
A.
B.
C.（m，，）
D.（m，，，）
三、填空题
13．已知抛物线准线为l，焦点为F，点A，B在抛物线上，点C在l上，满足：，，若，则实数____________.
14．如图,在矩形ABCD中,,将沿BD折起到的位置,使得平面PBD与平面BCD的夹角为,则P,C之间的距离为______.
15．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行.在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化.这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”.假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为___________.
16．在某次大型人才招聘活动中,共有2000人参加笔试,笔试成绩位于区间,,的人数分别为683,272,45,已知此次笔试满分为100分,且成绩近似服从正态分布,则笔试成绩的标准差约为______（参考数据:若,则）
四、解答题
17．已知圆内有一点,过P的直线交圆O于A、B两点.
（1）当P为弦AB的中点时,求直线AB的方程;
（2）若圆O与圆相交于E、F两点,求直线EF的方程及.
18．已知椭圆的离心率为,且左顶点A与上顶点B的距离.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）不经过坐标原点O的直线l交椭圆C于P,Q两点(P,Q两点不与椭圆上、下顶点重合）,当的面积最大时,求的值.
19．已知焦点为F的抛物线:（）上一点到F的距离是4.
（1）求抛物线C的方程.
（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A,B两点（A,B位于x轴两侧）,C的准线与x轴交于点E,直线OA,OB与分别交于点M,N,若,证明:直线l过定点.
20．如图,在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长度都为2,且两两夹角为.求:
（1）的长;
（2）与夹角余弦值.
21．从①第4项的系数与第2项的系数之比是;②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36;这两个条件中任选一个,再解决补充完整的题目.
已知（）,且的二项展开式中,____.
（1）求n的值;
（2）①求二项展开式的中间项;
②求的值.
22．第三次人工智能浪潮滚滚而来,以ChatGPT发布为里程碑,开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论,概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究:甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球,其中甲箱中有3个红球、2个白球,乙箱中有4个红球、1个白球.
（1）从甲箱中随机抽出2个球,在已知抽到红球的条件下,求2个球都是红球的概率;
（2）掷一枚质地均匀的骰子,如果点数小于等于4,从甲箱子随机抽出1个球;如果点数大于等于5,从乙箱子中随机抽出1个球.若抽到的是红球,求它是来自乙箱的概率.
参考答案
1．答案：C
解析：当时,方程变为,其倾斜角为,
当时,由直线方程可得斜率,且,
,即,又,,
综上所述,倾斜角的范围是.
故选:C.
2．答案：B
解析：如图所示:当P在上顶点时,I和G均在y轴上,此时直线IG的倾斜角为,
直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化,故直线IG的倾斜角恒为,
设,不妨取,则,,,
故,设内切圆半径为r,
根据面积法,即,,
故,
设和与内切圆相切于D和E,则,
中:,即,
整理得到:,故,,故.
故选:B
3．答案：B
解析：对于选项A,由抛物线的焦点可得,
所以,即C的准线为,故A错误;
对于B,如下图所示:
设直线l的方程为,,;
联立直线与抛物线方程可得,
可得,;
由抛物线定义可得,;
所以
,
当且仅当,即,时,等号成立;即B正确;
对于C,以MN为直径的圆的圆心为,
此时圆心到x轴的距离为,
而,
所以以MN为直径的圆与x轴相交,即C错误;
对于D,易知,由可知M点在QF的垂直平分线上,所以;
由即可得,如下图所示:
,所以,
同理可得,可得,
所以,即D错误;
故选:B
4．答案：C
解析：以C为坐标原点,以CD,CS所在直线为x,z轴,以与CD,CS垂直的棱为y轴,
建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,
设四棱锥的外接球球心为,半径为R,
则,
解得,即外接球球心为,,
验证,符合题意,
即四棱锥的外接球,其表面积为,
故选:C
5．答案：C
解析：，
，
所以.
6．答案：B
解析：先在5名同学中选出2名同学分配到一个社区,有种分配方法,
再将另外3人分配到3个社区且每个社区各1人,则共有（种）分配方法,
其中甲、乙2人被分配到同一个社区分法有（种）,
则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为.
故选:B.
7．答案：A
解析：设事件A为:检测了3个人确定为感染高危户,
设事件B为:检测了4个人确定为感染高危户,
事件A为第一个人不是阳性,第二个人不是阳性,第三个人是阳性,所以,同理
即,
设,则,
因为,当且仅当,即时取等号,即.
故选:A
8．答案：D
解析：选项A:由题意得,
因为,所以,
因此该回归直线经过样本点的中心,故A正确;
选项B:由A知,,得,故B正确;
选项C:易知2023年7月的编号为7,当时,,
故该地2023年7月的GDP的预测值为12.47百亿元,故C正确;
选项D:当时,,
所以该模型预测的GDP的数据比实际值高了0.103,故D错误.
故选:D
9．答案：AB
解析：因为圆,所以圆心为,半径,
对于A选项:因为直线经过,所以,,
所以圆心到直线的距离为,
直线l与圆G相交所得弦长为,故A选项正确;
对于B选项:当时,直线,因为直线与l关于点G对称,所以直线与l平行,由于到的距离为2,所以到的距离也为2,
所以的方程为:,故B选项正确;
对于C选项:当时,直线,此时圆心到直线的距离为,
由于半径,
所以在直线的右侧:,所以在直线的右侧不存在满足条件的点;
在直线的左侧:,所以在直线的左侧存在满足条件的点有2个;
所以圆G上只存在2个点到直线l的距离为,故C选项错误;
对于D选项:过点与l平行的直线方程可设为:,
将点代入,所以,即,
所以过点与l平行的直线方程为:,故D选项错误.
故选:AB.
10．答案：AC
解析：选项A,B:由题意得双曲线的一条渐近线的斜率为,又焦距为,所以得,
因此双曲线的方程为,离心率,故选项A正确,选项B错误;
选项C:设,易知双曲线的渐近线的方程为,
则由,解得,不妨取,
同理可得,
则,,
（另,）
于是,
由于点P在双曲线上,所以,因此,
所以的面积,
由于是定值,所以也为定值,故选项C正确;
选项D:易知,当且仅当时取等号,
所以的最小值为,故选项D错误.
故选:AC
11．答案：AC
解析：若,则,得,,故A正确,B错误;
若,则,即,故C正确,D错误;
故选:AC.
12．答案：BCD
解析：A选项，，故A错误；
B选项，，故B正确；
C选项，由于，故C正确；
D选项，左边，
右边，
即左边＝右边，所以（m，，），故D正确.
故选：BCD.
13．答案：2
解析：由题设知：A，B，C，F共线，且，如下图，
作，，垂足分别为D，E，则，，
所以，又，则，
所以，即，故.
故答案为：2.
14．答案：或
解析：作,,垂足分别为E,F,因为,则,
所以,所以,同理,
则,所以,
因为平面PBD与平面BCD的夹角为,所以与的夹角为或,
因为,,,
所以
.
若与的夹角为,则,所以,
所以;
若与的夹角为,则,
所以,所以.
故P,C之间的距离为或.
故答案为:或.
15．答案：
解析：所求概率.
16．答案：10
解析：由题意知,设笔试成绩,
由70分及以上的人数为,得,
故的值可估计为70,
由参考数据知,
而,故的值可估计为90,
故约为,
故答案为:10
17．答案：（1）
（2）直线EF的方程为,
解析：（1）因P为弦AB中点,由垂径定理得,
因为直线OP的斜率为,故直线的斜率为,
故直线AB的方程为,即.
（2）将圆O的方程与圆C的方程作差,可得,
即直线EF的方程为,
圆心O到直线的距离,
由垂径定理得.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设椭圆C的半焦距为c,由题意,得,可得,.
又,,解得,.
所以椭圆C的标准方程为.
（2）设点O到直线l的距离为,.
①直线l的斜率不存在时.
设直线l的方程为,且,则,
所以,当时等号成立.即当时,的面积最大,
此时,,.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为(,且),
由消去y并整理可得.
由题意知.
由韦达定理,,,
则.
又,所以
,
当且仅当时,等号成立.
所以当(,且)时,的面积最大.
此时
.
综上所述,当的面积最大时,.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由抛物线的定义可知,
,
抛物线C的方程为.
（2）证明:由题意可知直线的斜率不为0,设直线l的方程为,,,,,
联立方程,消去x得,
,,
抛物线的准线方程为,,
直线OA的斜率为,直线OA的方程为,
令得,,
同理可得,
,
,
直线l的方程为,
故直线l恒过定点.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,,,由题意知:,,
,
又,
,
,即的长为,
（2）,
,
,
,
,
即与夹角的余弦值为.
21．答案：（1）条件选择见解析,
（2）①;②.
解析：（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是,
则有,
化简可得,求得或（舍去）.
若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36,
则有,
化简可得,求得或（舍去）.
（2）由（1）可得,
①的二项展开式的中间项为.
②二项式展开式的通项公式为,
所以、、、、为正数,、、、为负数.
在中,令.
再令,可得,
.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”,事件B表示“两个球都是红球”,
则,,
故
（2）设事件C表示“从乙箱中抽球”,则事件表示“从甲箱中抽球”,事件D表示“抽到红球”,
,,
,
,
故.
时间
2023年1月
2023年2月
2023年3月
2023年4月
2023年5月
2023年6月
编号x
1
2
3
4
5
6
y/百亿元
11.107