景德镇一中2024届高三上学期1月考试数学试卷(含答案)

这是一份景德镇一中2024届高三上学期1月考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设函数，若有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．为了庆祝中国共产党成立100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，将本单位全体党员党史知识竞赛的成绩（均位于之内）整理，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分图，下列结论中不正确的是( )
A.本次成绩不低于80分的人数的占比为
B.本次成绩低于70分的人数的占比为
C.估计本次成绩的平均分不高于85分
D.本次成绩位于的人数是其他人数的3倍
3．已知直四棱柱的底面为矩形，，且该棱柱外接球O的表面积为，E为线段上一点.则当该四棱柱的体积取最大值时，的最小值为( )
A.B.C.D.
4．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，若在上有两个不同的根，（），则的值为( )
A.B.C.D.
5．已知双曲线的左顶点为A，点P，Q均在双曲线上且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.5
6．若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为( )
A.B.945C.2835D.
7．设是等差数列的前n项和，若，，则( )
A.2B.C.3D.
8．若函数的图象的顶点在第三象限，则函数的图象大致是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知函数，.记，则下列关于函数的说法正确的是( )
A.当时，
B.函数的最小值为-1
C.函数在上单调递减
D.若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则或
10．正方体中，，M是的中点，下列说法中错误的是( )
A.平面
B.异面直线与所成角的余弦值为
C.若P为正方体对角线上的一个动点，最小值为
D.过A、B、M三点的正方体的截面面积为
11．设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是( )
A.为定值B.的周长的取值范围是
C.当时，为直角三角形D.当时，的面积为
12．已知函数的定义域为R且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是( )
A.函数的减区间是，B.函数的减区间是，
C.是函数的极小值点D.是函数的极小值点
三、填空题
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，，且，，则实数a的取值范围为________.
14．已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则__________.
15．在等比数列中，，，若，且的前n项和为，则满足的最小正整数n的值为______.
四、双空题
16．已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则____________，____________.
五、解答题
17．已知函数为R上的偶函数，为R上的奇函数，且.
（1）求，的解析式；
（2）若函数在R上只有一个零点，求实数a的取值范围.
18．某沙漠地区每年有2个月属于雨季，10个月属于旱季.经过初步治理该沙漠地区某年旱季的月降水量（单位：）依次达到12.1，12.0，10.4，10.5，12.5，14.1，14.3，14.3，16.7，18.1.记这组数据的第40百分位数与平均数分别为m，.
（1）求m，；
（2）已知雨季的月降水量均大于旱季的月降水量，该沙漠地区人工种植了甲､乙两种植物，当月降水量低于时甲种植物需要浇水，当月降水量低于时乙种植物需要浇水，求这一年的某月甲､乙两种植物都需要浇水的概率及二者中有植物需要浇水的概率.
19．已知函数
（1）求函数的最小正周期及在上的最大值和最小值；
（2）求函数的单调递增区间和单调递减区间.
20．如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点.
（1）求证：平面；
（2）已知与平面所成角为，求点A到平面CEF的距离.
21．设点M是直线上的一个动点，O为坐标原点，过点M作x轴的垂线l.过点O作直线的垂线交直线l于P.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过曲线C上的一点P（异于原点O）作曲线C的切线交椭圆于A，B两点，求面积的最大值.
22．已知数列满足：，.
（1）求的通项公式；
（2）设表示不超过x的最大整数，如，.设，为前n项和，求数列的前1000项和.
参考答案
1．答案：C
解析：当时，函数单调递增，函数值集合为，
当时，函数单调递减，函数值集合为，
当时，函数单调递增，函数值集合为，
作出函数的图象与直线，如图，
观察图象知，当时，函数的图象与直线有3个交点，
所以有三个不同的实数根，实数k的取值范围是.
故选：C.
2．答案：D
解析：对于A中，由频率分布直方图的数据，可得本次考试成绩不低于80分的人数的频率为，
所以本次成绩不低于80分的人数占比为，所以A正确；
对于B中，本次成绩低于70分的人数的频率为，
所以本次成绩低于70分的人数的占比为，所以B正确；
对于C中，估计本次成绩的平均分为：
，
所以C正确；
对于D中，本次成绩位于的频率为，
所以本次成绩位于的人数小于其他人数的3倍，所以D错误.
故选：D.
3．答案：D
解析：设外接球O的半径为R，则球O的表面积，所以，
设矩形的长和宽分别为x和y，则，所以，
，当且仅当时取等号，
即底面为边长为2的正方形时，四棱柱的体积最大.
则有，
将平面沿展开，与处于同一平面，
则，
即平面图形中，E，C三点共线时，有最小值.
故选：D.
4．答案：D
解析：设的最小正周期为T，由图象可知，，所以，
则，于是，又的图象过点，
所以，，所以，
又，则，，则，由，
得，则，
又当时，，所以，得，
则，，
结合知，所以，所以.
故选：D.
5．答案：A
解析：设，则，，
则，
由在双曲线上，故，
即有，故，
即有，即，
故.
故选：A.
6．答案：D
解析：令，得，得，
则的展开式的通项，
令，得，则，故展开式中的系数为，
故选：D.
7．答案：A
解析：记等差数列的公差为d，
由可得，整理得；
因为，，即；
整理可得，联立可得，，
故；
故选：A.
8．答案：C
解析：因为函数的图象的顶点在第三象限，
则，所以，又，则的图象单调递增，且与y轴交于正半轴.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：在同一直角坐标系下作出函数和的图像，
由函数的定义，得的图像如图所示，
结合图像可知，当时，，，A选项正确；
函数的最小值为-1，B选项正确；
函数在上单调递增，C选项错误；
若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则或，D选项正确.
故选：ABD.
10．答案：BCD
解析：如下图所示：
对于A选项，连接交于点O，连接，
因为四边形为正方形，，则O为的中点，
又因为M为的中点，所以，，
又因为平面，平面，所以，平面，A对；
对于B选项，因为，则异面直线与所成角为或其补角，
因为，且，，则，
所以，，故异面直线与所成角的余弦值为，B错；
对于C选项，将、延展至同一个平面，如下图所示：
且，，
结合图形可知，当D、P、M三点共线时，取最小值，
即，
故最小值不是，C错；
对于D选项，设平面交棱于点N，如下图所示：
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
又因为，则，因为，故四边形为平行四边形，
所以，，故N为的中点，所以，，
又因为，则，所以，四边形为平行四边形，
因为平面，平面，所以，，
所以，四边形为矩形，且其面积为，D错.
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：设椭圆的左焦点为，则，
为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
的范围是，
的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，，
又，，
不是直角三角形，C不正确；
将与椭圆方程联立，解得，，
，D正确.
故选：AD.
12．答案：BC
解析：观察图象，由，得或，显然当时，，当，，
由，得或，显然当时，，当时，，
因此函数在，上单调递减，在上单调递增，A错误，B正确；
函数在处取得极小值，在处取得极大值，C正确，D错误.
故选：BC.
13．答案：
解析：令函数，依题意，的两个不等实根，满足，，
而函数图象开口向上，因此，则，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由，得，
所以圆C的圆心为，半径为3.
因为直线是圆的对称轴，
所以l经过点.
由，得，
所以P的坐标为.
因为圆C的半径为3，
所以.
故答案为：.
15．答案：6
解析：因为是等比数列，设公比为q，
由可得，
故，则，即，
故，
所以.
由于时，，故随着n的增大而增大，
而，，
故满足的最小正整数n的值为6.
故答案为：6.
16．答案：；
解析：设，，由可得，
由可知，或，，由图可知，
当时，，即，；
当时，，即，；
综上：；
因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设，则，
因为，所以，即，.
所以，
所以或，
又因为，所以，
.
故答案为：；.
17．答案：（1），
（2）或
解析：（1）因为，①
所以，
又因为函数为R上的偶函数，为R上的奇函数，
所以，②
由①②得，.
（2）若函数在R上只有一个零点，
则在R上只有一个根，
则在R上只有一个根，
令，
则方程正根有且只有一个，
当，即或（舍）时，方程的根为，符合正根有且只有一个；
当且，即且，若正根有且只有一个，
则，解得：；
当时，方程的根为，符合正根有且只有一个；
综上所述：或.
18．答案：（1），
（2）甲､乙两种植物都需要浇水的概率为，二者中有植物需要浇水的概率为
解析：（1）由数据从小到大为10.4，10.5，12.0，12.1，12.5，14.1，14.3，14.3，16.7，18.1，
又，则第40百分位数为，
平均数.
（2）由数据及题设知：12个月中降水量低于有2个月，降水量低于有8个月，
所以甲､乙两种植物都需要浇水的概率为，二者中有植物需要浇水的概率为.
19．答案：（1）π，最大值为1，最小值
（2）单调递增区间是，，单调递减区间是，
解析：（1），
，，
当，即时，，
当，即时，，
所以，的最大值为1，最小值.
（2）由余弦函数性质可得：
当时，单调递增，解得，
所以，的单调递增区间是，，
当时，单调递减，解得，
所以，的单调递减区间是，.
20、
（1）答案：证明见解析
解析：连接，，在长方体中，，，
故四边形为平行四边形，则E为的中点，
又F为AB的中点，故，而平面，平面，
故平面；
（2）答案：
解析：在长方体中，，则四边形ABCD为正方形，
则，又平面，则为与平面所成角，
即，故，
连接、，设、相交于点O，所以点O为中点，
因为，，可得底面，连接，
，所以，
，，
，，
，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
所以，，
设点A到平面CEF的距离为h，
因为，所以，
解得，
所以点A到平面CEF的距离为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）设，则，所以，，
因为，所以，所以，
所以点P的轨迹C的方程为.
（2）设，,，
因为为曲线C的切线,
联立可得，所以，
联立可得，
所以，,且，即，
所以，
又因为原点到直线的距离，
所以
，
当且仅当即（此时满足）时取等号，
综上可知，面积的最大值为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，，
当时，，得；
又由，得，两式相减得，，
所以数列的奇数项和偶数项分别构成以1为公差的等差数列.
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
综上，.
（2）由（1）知，
当时，，
当时，，
.