莆田第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份莆田第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．经过两点的直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．已知等差数列的前n项和为,若,则( )
A.380B.200C.190D.100
3．已知双曲线的一条渐近线为,则C的焦距为( )
A.B.C.D.
4．已知数列的前n项和为,则( )
A.64B.62C.32D.30
5．已知函数,若在单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．如图,直线l和圆C,当l从开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,这个函数的图象大致是( )
A.B.C.D.
7．已知P为椭圆上任一点,过P作圆的两条切线,切点分别为M,N,则四边形面积的最大值为( )
A.B.C.D.
8．我国在2022年完成了天宫空间站的建设,根据开普勒第一定律,天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆,地球处于该椭圆的一个焦点上（天宫空间站和地球均视为质点）.已知某次变轨任务前后,天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变,远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍,椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍,则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．直线,圆,则( )
A.直线l恒过定点
B.存在实数m使得直线l的倾斜角为
C.直线l与圆C的相交弦长的最大值为
D.当时,圆C上存在3个点到直线l距离等于1
10．已知数列的前n项和为,且,则( )
A.B.数列是等比数列C.数列中的最大项为D.数列是等差数列
11．已知函数,导函数的极值点是函数的零点,则( )
A.有且只有一个极值点
B.有且只有一个零点
C.若,则
D.过坐标原点仅有一条直线与曲线相切
12．已知曲线,为C上一点,则( )
A.,与曲线C有四个交点
B.曲线C的图像不经过第二象限
C.的取值范围为
D.过点的直线与曲线C有三个交点,则直线的斜率
三、填空题
13．曲线在点处的切线方程为,则_________.
14．已知直线,,若直线,,不能围成三角形,写出一个符合要求的实数a的值_________.
15．椭圆与抛物线有共同的焦点F,点P是椭圆与抛物线其中的一个交点,轴,则椭圆的离心率为_____________.
16．若存在正数x,使得不等式有解,则实数a的取值范围是_________.
四、解答题
17．已知数列的前n项和为,其中,.
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
18．已知函数,.
（1）讨论的单调性;
（2）若,证明：
19．在平面直角坐标系中,动圆P过点且与直线相切.记圆心P的轨迹为曲线C
（1）求曲线C的方程;
（2）过点F的直线l与曲线C交于A,B两点,.证明：
20．已知数列的前n项和为,且,数列是首项为1,公差为2的等差数列.
（1）求数列,的通项公式;
（2）设数列的前n项和为,且不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.
21．已知椭圆的离心率为,且过点,A,B分别为椭圆C的左右顶点,点S是椭圆C上异于A,B的动点,,直线,与直线分别交于M,N两点.
（1）求椭圆的方程
（2）求线段的长度的最小值
22．已知函数有两个不同极值点,分别记为m,n,且.
（1）求实数a的取值范围;
（2）若不等式恒成立（e为自然对数的底数）,求正数k的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：A
解析：
3．答案：D
解析：
4．答案：B
解析：
5．答案：B
解析：
6．答案：D
解析：
7．答案：C
解析：
8．答案：C
解析：
9．答案：AD
解析：
10．答案：ABD
解析：
11．答案：BC
解析：
12．答案：BCD
13．答案：-3
解析：
14．答案：-1,,
解析：
15．答案：
解析：
16．答案：
解析：
17．答案：（1）,
（2）见解析
解析：（1）因为当,时,有,
所以当,时,有,两式相减,得,
当时,由,适合,所以,;
（2）因为,;
所以,
因此.
18．答案：（1）,在单调递增;,在单调递减,在单调递增
（2）
解析：（1）的定义域
若,,在单调递增;
若,,,单调递减,,,单调递增
综上：,在单调递增;,在单调递减,在单调递增
（2）,,设,
在单调递减,,
19．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因动点P到点的距离等于点P到直线的距离,
故可知动点P的轨迹是抛物线,设其方程为,由题意得,
故动点P的轨迹方程为：.
（2）如图,因直线l的斜率不能为零（否则直线l与抛物线只有一个公共点）,又过点,
可设,由消去x并整理得：
显然,设,,则由韦达定理,
则,
将代入得：,故
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,解得.
当时,,两式相减得,
即,所以是首项、公比均为2的等比数列,故.
又,故.
（2）因为,所以①,②,
①-②得.
所以.
不等式对一切恒成立,转化为对一切恒成立.
令,,
,单调递减,
所以实数的取值范围为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）椭圆C的方程为.
（2）设点,则,
则,所以,,
不妨设直线的方程为,其中,则直线的方程为,
设点,
由可得,联立可得,
所以,,
当且仅当时,即当时,等号成立,
因此,的最小值为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得：定义域为,得
因两个不同极值点,故方程有两个不同的根m,,
法一：,
,若,,单调递增,不符合题意
,在单调递增,单调递减
,
,,,有且只有一个零点,,,
有且只有一个零点
有两个零点,
法二：即方程有两个不同的根m,n记函数,则
当时,,此时,在上单调递增;
当时,,此时在上单调递减;
所以
又当时,,当时,,
且当x趋近于正无穷时,趋近于0,
所以,方程有两个不同的实数根,当且仅当.
（2）由（1）知得,
所以,即,
由不等式恒成立,即恒成立,
由得即恒成立,
亦即恒成立,设,时,得恒成立,
进而得恒成立,
记函数
则,
当时,在上单调递增,
所以恒成立,故满足题意
当时,若时有,则在上单调递减,
所以,当时有,与题意不符,
综上得正数k的取值范围是.