景德镇一中2023-2024学年高一上学期1月考试数学试卷(含答案)

这是一份景德镇一中2023-2024学年高一上学期1月考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
2．已知函数的值域为,关于其定义域D,下列说法正确的是( )
A.D只能是实数集
B.任取D中两个元素,乘积一定非负
C.D不可能是无穷多个闭区间的并集
D.D可能所有有理数以及负无理数所成集合
3．张大爷种植了10亩小麦,每亩施肥x千克,小麦总产量为y千克,则( )
A.x,y之间有依赖关系B.x,y之间有函数关系
C.y是x的函数D.x是y的函数
4．世界公认的三大著名数学家为阿基米德､牛顿､高斯,其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数,表示不超过x的最大整数,例如,.已知,,则函数的值域为( )
A.B.C.D.
5．设实数a,b满足,则的最大值为( )
A.2B.C.D.3
6．函数满足下列哪个关系式( )
A.B.
C.D.
7．以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点近似值的是( )
A.B.
C.D.
8．下列结论：①如果,那么A为必然事件：
②若事件A与B是互斥事件,则;
③概率是随机的,试验前不能确定;
④若事件A与B是对立事件,则A与B一定是互斥事件．
其中是正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题
9．对任意两个实数a,b,定义,若,,下列关于函数的说法正确的是( )
A.函数是奇函数B.方程有三个解
C.函数在区间上单调递减D.函数有4个单调区间
10．设,,则下列说法中正确的是( )
A.B.
C.D.的最小值为2
11．已知函数是R上的偶函数,且在上单调递增,,,,则下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称
B.
C.函数在区间上单调递减
D.函数在处取到最大值
12．某商户收集并整理了其在2023年1月到8月线上和线下收入的数据，并绘制如图所示的折线图，则下列结论正确的是( )
A.该商户这8个月中，月收入最高的是7月
B.该商户这8个月的线上总收入低于线下总收入
C.该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月
D.该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是
三、填空题
13．已知命题,,则命题p的否定为_______________.
14．求使等式成立的实数a的取值范围为_____________．
15．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法,从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从甲种型号的产品抽取_____________件.
16．航天（Spaceflight）又称空间飞行,太空飞行,宇宙航行或航天飞行,是指进入、探索、开发和利用太空（即地球大气层以外的宇宙空间,又称外层空间）以及地球以外天体各种活动的总称．航天活动包括航天技术（又称空间技术）,空间应用和空间科学三大部分．为了激发学生对航天的兴趣,某校举行了航天知识竞赛．小张,小胡、小郭三位同学同时回答一道有关航天知识的问题．已知小张同学答对的概率是,小张、小胡两位同学都答错的概率是,小胡、小郭两位同学都答对的概率是．若各同学答题正确与否互不影响,则小张、小胡、小郭三位同学中至少两位同学答对这道题的概率为_____________．
四、解答题
17．已知数集A及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”）,如果对一切,,都有,那么就说,集合A对运算“*”是封闭的．
（1）设,判断A对通常的实数的乘法运算是否封闭？
（2）设,且,问B对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论．
18．已知函数.
（1）若,求a的值;
（2）当时,的解集为M,求M.
19．已知函数,.
（1）用单调性的定义证明在上是单调减函数;
（2）若关于x的不等式对于任意恒成立,求实数a的取值范围.
20．已知函数.
（1）是否存在实数a使函数为奇函数;
（2）判断并用定义法证明的单调性;
（3）在（1）的前提下,若对,不等式恒成立,求m的取值范围.
21．随机抽取100名学生,测得他们的身高（单位：cm）,按照区间,,,,分组,得到样本身高的频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中x的值及身高在及以上的学生人数;
（2）将身高在,,区间内的学生依次记为A,B,C三个组,用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人,求这三个组分别抽取的学生人数.
22．某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若产品的质量指数在内，则该产品为优等品，现采用分层抽样的方法从甲、乙生产线的样本中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,所以,则有,
将不等式的两边同时乘,可得,
所以.
故选：B．
2．答案：D
解析：对于A,当时,满足的值域为,故A错误;
对于B,当时,满足的值域为,
此时取,则,故B错误;
对于C,取,
此时,对于任意,取,表示的整数部分,
则,即,故有,故C错误.
对于D,当时,满足的值域为,
而所有有理数以及负无理数所成集合包含了,满足题意,故D正确.
故选：D.
3．答案：A
解析：小麦的总产量与种子、施肥量、水、日照时间等因素有相关关系,但不一定是函数关系.
故选：A.
4．答案：C
解析：易知在上单调递减,上单调递增.当时,;
当时,;当时,,所以,则函数的值域为.
故选：C.
5．答案：A
解析：令,
则有,
当且仅当时取等号,即当,时取等号,
故选：A.
6．答案：C
解析：令,
可得,,
且,,
故ABD错误,
因为,故C正确;
故选：C.
7．答案：C
解析：由二分法的定义,可知只有当函数在区间上的图象连续不断,且,
即函数的零点是变号零点时,才能将区间一分为二,逐步得到零点的近似值．
对各选项分析可知,选项A,B,D都符合,而选项C不符合,
因为在零点两侧函数值不异号,因此不能用二分法求函数零点的近似值．
故选：C.
8．答案：A
解析：必然事件的概率是1,所以①错误.
若事件A与B是互斥事件,则,所以②错误.
概率是理论值,是固定值,与实验前后无关,所以③错误.
若事件A与B是对立事件,则A与B一定是互斥事件,所以④正确.
所以正确的有1个.
故选：A
9．答案：BD
解析：令,解得,
所以当时,;当或时,;
所以,
作出函数的图象,如图所示,
对于A,由图象可得关于y轴对称,所以为偶函数,故A错误;
对于B,因为的图象与x轴有3个交点,
所以方程有三个解,故B正确;
对于C,由图象可知函数在上不单调递减,故C错误;
对于D,由图象可知函数在和上单调递增,
在和上单调递减,所以函数有4个单调区间,故D正确,
故选：BD.
10．答案：AC
解析：由题构造函数,则,
因为函数在R上恒正且单调递增,则在R上恒正且单调递减,所以在R上单调递减.
对于A选项,因,故,即,故选项A正确;
对于B选项,因,且在R上单调递增,故,故选项B错误;
对于C选项,因,,故,,两式相加即得：,故选项C正确;
对于D选项,因为,当且仅当时取等号,由题意可知,即,故选项D错误.
故选：AC.
11．答案：ABC
解析：由函数是R上的偶函数,所以函数的图象关于y轴对称,
因为在上单调递增,所以函数在上单调递减,所以C正确;
又由的图象是由的图象向左平移1个单位得到的,
所以的图象关于对称,所以A正确;
因为,,,
因为且函数在上单调递增,所以,
即,所以B正确;
因为在上单调递增,所以函数在上单调递减,
所以函数在处取到最小值,所以D不正确.
故选：ABC.
12．答案：ACD
解析：对于A：该商户这8个月中，月收入分别为16万元，13.5万元，16万元，17万元，17万元，16万元，20万元，17.5万元，月收入最高的是7月，A正确；
对于B：该商户这8个月的线上总收入为72万元，线下总收入为61万元，B错误；
对于C：根据折线图可看出该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月，C正确；
对于D：该商户这8个月中，月收入不少于17万元的有4个月，故所求频率为，D正确.
13．答案：,
解析：命题,,则命题p的否定为“,”.
故答案为：,.
14．答案：
解析：,
要使成立,
需解得,
即实数a的取值范围是,
故答案为：.
15．答案：12
解析：由题意知分层比为,且总抽量为60件
故甲产品应抽件
故答案为：12.
16．答案：
解析：设小张同学答对的事件为A,答错的事件为,
小胡同学答对的事件为B,答错的事件为,
小郭同学答对的事件为C,答错的事件为,
因为小张同学答对的概率是,小张、小胡两位同学都答错的概率是,小胡、小郭两位同学都答对的概率是,
所以,则,
而,即,则,即,
而,即,则,即
所以小张、小胡、小郭三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为:
,
故答案为：.
17．答案：（1）数集A对通常的实数乘法运算封闭．
（2）数集B对通常的实数乘法运算不封闭,证明见解析．
解析：（1）设是A中任意两个元素,其中,
那么．
因为,,所以,
故数集A对通常的乘法运算封闭．
（2）数集B对通常乘法运算不封闭,证明如下：
取,,则,但,
故数集B对通常的乘法运算不封闭.
18．答案：（1）或
（2）
解析：（1）,则,即,
解得：或.
（2）当时,,
等价于,
解得：,
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）任取,,且,
则,
又,,,
,,
,即,
在上是单调减函数．
（2）在上单调递减且恒有,
不等式对于任意恒成立,
即为,对于任意恒成立,
令,
当时取得最小值,,
所以a的取值范围是．
20．答案：（1）存在,时是奇函数;
（2）是R上的增函数,证明见解析;
（3）
解析：（1）若是R上奇函数,
则,
当时,满足,则是奇函数.
（2）是R上的增函数,
证明如下：
设,且
则
由,可得,,则,
则,即
则是R上的增函数.
（3）对,不等式恒成立,
即恒成立,
又是奇函数,则不等式可化为.
又是R上的增函数,则恒成立,
即恒成立,则恒成立,
又,,,则
,
则m的取值范围为.
21．答案：（1）,60
（2）A组3人;B组2人;C组1人
解析：（1）由频率分布直方图可知,
解得,
身高在及以上的学生人数为.
（2）A组人数为,B组人数为,C组人数为,
由题意可知A组抽取人数为,B组抽取人数为,C组抽取人数为,
故A,B,C三个组分别抽取的学生人数为3,2,1.
22．答案：（1）6.4
（2）
解析：（1）甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为
.
（2）由题意可知甲生产线的样本中优等品有件；
乙生产线的样本中优等品有件.
则从甲生产线的样本中抽取的优等品有件，记为a，b，c，d；
从乙生产线的样本中抽取的优等品有件，记为E，F.
从这6件产品中随机抽取2件的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中符合条件的情况有，，，，，，，，共8种.
故所求概率.