高中数学2.4 点到直线的距离课时练习

这是一份高中数学2.4 点到直线的距离课时练习，共13页。试卷主要包含了已知直线l1，已知直线l过直线l1等内容，欢迎下载使用。

题组一 两点间的距离
1.(2022安徽蚌埠期中)已知△ABC的三个顶点分别为A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则BC边上的中线的长为( )
A.10 B.210 C.112 D.310
2.(2022湖南衡阳八中月考)已知点M(m,-1),N(5,m),且|MN|=25,则实数m等于( )
A.1 B.3 C.1或3 D.-1或3
3.(2020四川成都月考)已知点P(cs α,sin α),Q(cs β,sin β),则|PQ|的最大值为( )
A.2 B.2 C.4 D.22
题组二 点到直线的距离
4.已知直线l1:ax+y-1=0与l2:x-y+5=0互相垂直,则点(1,2)到直线l1的距离为( )
A.1 B.2 C.2 D.22
5.(2022湖南长沙一中期末)若直线l经过点P(1,2),且点A(2,3),B(0,-5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为 .
6.(2020江苏连云港学情调研)若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为2,则点P的坐标为 .
题组三 两条平行直线间的距离
7.(2022湖南永州期末)若直线x-y-m=0与直线mx+y-4=0平行,则它们之间的距离为( )
A.22 B.522 C.322 D.2
8.(2022安徽合肥期末)设P,Q分别是直线3x+4y-10=0与直线6x+8y+5=0上的任意一点,则|PQ|的最小值为( )
A.3 B.6 C.95 D.52
9.(2022湖南师大附中月考)若直线l与其平行直线x-2y+4=0之间的距离和原点到直线l的距离相等,则直线l的方程是 .
题组四 距离公式的综合应用
10.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点Q,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
11.(2022辽宁抚顺期末)已知直线l1:ax+by+a=0,l2:x+ay+b=0,若l1∥l2,且这两条直线间的距离为1,则点P(a,b)到坐标原点的距离为( )
A.23 B.33 C.12 D.27
12.(2022湖北大冶一中月考)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是25,则直线l1关于直线l2对称的直线方程为( )
A.x-2y-13=0 B.x-2y+2=0
C.x-2y+4=0 D.x-2y-6=0
13.已知△ABC的三个顶点分别是A(1,1),B(2,3),C(3,-2).
(1)求BC边所在直线的方程;
(2)求△ABC的面积.
能力提升练
题组 距离公式的综合应用
1.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为( )

A.(0,5] B.(0,5)
C.(0,+∞) D.(0,17]
2.(2021湖南张家界月考)若动点A,B分别在直线l1:x+y-6=0和l2:x+y-2=0上,则AB的中点M与坐标原点之间的距离的最小值为( )
A.2 B.22 C.32 D.42
3.已知点A(3,0),B(0,3),从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上,又经过直线AB反射到P点,则光线所经过的路程为( )
A.210 B.6 C.26 D.26
4.(2022江西景德镇一中期中)已知直线l:(m+1)x+(1-m)y+m-3=0,则原点到直线l的距离的最大值等于 .
5.(2020河北衡水中学月考)已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中,是“切割型直线”的有 .(填序号)
①y=x+1;②y=2;③y=43x;④y=2x+1.
6.(2022山西太原五中月考)著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉,形少数时难入微”,事实上,很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决,如:(x-a)2+(y-b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)之间的距离,结合上述观点,可得x2-4x+20+x2-2x+10的最小值为 .
7.已知△ABC的顶点分别为A(1,1),B(m,m),C(4,2),18.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:4x-2y-1=0和l3:x+y-1=0,且l1与l2之间的距离是7510.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的12;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是2∶5?若能,求出P点的坐标;若不能,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 设BC边的中点为D(x,y),则x=3+52=4,y=-6+22=-2,即D(4,-2),
所以|AD|=(2-4)2+(4+2)2=210,故选B.
2.C 因为|MN|=(m-5)2+(-1-m)2=2m2-8m+26,所以2m2-8m+26=25,即m2-4m+3=0,解得m=1或m=3,故选C.
3.B ∵P(cs α,sin α),Q(cs β,sin β),
∴|PQ|=(csα-csβ)2+(sinα-sinβ)2
=cs 2α+cs 2β-2csαcsβ+sin 2α+sin 2β-2sinαsinβ
=(cs 2α+sin 2α)+(cs 2β+sin 2β)-2(csαcsβ+sinαsinβ)
=2-2cs(α-β).
∵cs(α-β)∈[-1,1],∴|PQ|∈[0,2].
故选B.
4.C ∵l1⊥l2,∴a×1+1×(-1)=0,解得a=1.
此时直线l1的方程为x+y-1=0,
∴点(1,2)到直线l1的距离d=|1+2-1|12+12=2.
5.答案 4x-y-2=0或x=1
解析 当直线l的斜率不存在时,方程为x=1,显然点A(2,3),B(0,-5)到直线l的距离相等,符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,根据题意,得|k-1|1+k2=|7-k|1+k2,即|k-1|=|7-k|,可得k-1=±(7-k),解得k=4,∴直线l的方程为4x-y-2=0.
综上,直线l的方程为4x-y-2=0或x=1.
6.答案 (1,2)或(2,-1)
解析 设点P的坐标为(x,5-3x),
则由点到直线的距离公式,得|x-5+3x-1|12+(-1)2=2,
即|4x-6|=2,∴4x-6=±2,∴x=1或x=2,
∴点P的坐标为(1,2)或(2,-1).
7.C ∵直线x-y-m=0与直线mx+y-4=0平行,
∴m≠0,且m1=1-1≠-4-m,解得m=-1,故直线x-y+1=0与直线x-y+4=0之间的距离为|4-1|12+(-1)2=322,故选C.
8.D 根据题意,知36=48≠-105,所以两直线平行,直线方程6x+8y+5=0可化为3x+4y+52=0,所以两平行直线间的距离即为|PQ|的最小值,即|PQ|min=-10-5232+42=52,故选D.
9.答案 x-2y+2=0
解析 根据题意,设直线l的方程为x-2y+c=0(c≠4),则|c-4|12+(-2)2=|c|12+(-2)2,解得c=2,
故直线l的方程为x-2y+2=0.
10.C 由x-2y+3=0,2x+3y-8=0,解得x=1,y=2,即直线l过点Q(1,2).因为|PQ|=(1-0)2+(2-4)2=5>2,所以满足条件的直线l有2条.故选C.
11.A ∵l1∥l2,∴a2=b,若a=0,则b=0,不符合题意,∴a≠0,∴直线l2的方程可化为ax+by+ab=0,∴l1与l2之间的距离d=|a-ab|a2+b2=1,解得b=3或b=0(舍去),∴P(a,b)到坐标原点的距离为a2+b2=b+b2=23,故选A.
12.A 因为l1与l2平行,所以n=-2×2=-4,所以l2:x-2y-3=0,又因为l1与l2之间的距离是25,所以|m+3|1+4=25,又因为m>0,所以m=7,即直线l1:x-2y+7=0,设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y+c=0(c≠7),则25=|-3-c|5,解得c=-13或c=7(舍去),故所求直线方程为x-2y-13=0,故选A.
13.解析 (1)由题可知,直线BC过点B(2,3),C(3,-2),∴BC边所在直线的方程为y-3-2-3=x-23-2,化简得5x+y-13=0,
∴BC边所在直线的方程为5x+y-13=0.
(2)由题可知|BC|=(3-2)2+(-2-3)2=26,A(1,1)到直线BC的距离d=|5+1-13|25+1=72626,∴S△ABC=12·|BC|·d=12×26×72626=72.
能力提升练
1.A 易知两直线之间的最大距离为P,Q两点间的距离,由两点间的距离公式得|PQ|=(2+1)2+(-1-3)2=5.故l1,l2之间的距离d的取值范围为(0,5].
2.B 根据题意,可得M的集合为与直线l1和l2距离都相等的直线,则中点M与坐标原点之间的距离的最小值为原点到该直线的距离,设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0(m≠-2,m≠-6),由|m+6|2=|m+2|2,可得|m+6|=|m+2|,解得m=-4,故l:x+y-4=0,所以中点M与坐标原点之间的距离的最小值为|-4|2=22.故选B.
3.C 直线AB的方程为x+y=3,点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0,-2),
设点P1(0,-2)关于直线AB的对称点为P2(a,b),在x轴上的反射点为点Q,在直线AB上的反射点为点M,如图,
则kAB·kP1P2=-1·b+2a=-1①,且线段P1P2的中点a2,b-22在直线x+y=3上,
所以a2+b-22=3②,联立①②,解得a=5,b=3,
即P2(5,3),
根据反射原理,知光线所经过的路程为
|PQ|+|QM|+|MP|=|P1Q|+|QM|+|MP|=|P1M|+|MP|=|MP2|+|MP|=|P2P|=(5-0)2+(3-2)2=26.故选C.
4.答案 5
解析 根据题意,设原点到直线l的距离为d.直线l:(m+1)x+(1-m)y+m-3=0,即m(x-y+1)+x+y-3=0,则有x-y+1=0,x+y-3=0,解得x=1,y=2,即直线l恒过定点(1,2),记为M.
则d≤|OM|=1+4=5,故原点到直线l的距离的最大值等于5.
5.答案 ②③
解析 可通过求点M到直线的距离d来分析.①d=|5+1|2=32>4,④d=115=1155>4,故①④中直线上不存在点P使|PM|=4,故①④不是“切割型直线”;②d=2<4,所以在该直线上可以找到两个不同的点,使其与点M之间的距离等于4,故②是“切割型直线”;③d=205=4,所以该直线上存在一点,使其与点M之间的距离等于4,故③是“切割型直线”.
6.答案 52
解析 设f(x)=x2-4x+20+x2-2x+10,
则f(x)=(x-2)2+(0-4)2+(x-1)2+(0-3)2,∴f(x)的几何意义为点M(x,0)与两定点A(2,4),B(1,3)之间的距离之和.如图所示:
设点A(2,4)关于x轴的对称点为A',则A'的坐标为(2,-4).要求f(x)的最小值,可转化为求|MA|+|MB|的最小值,利用对称思想可知|MA|+|MB|=|MA'|+|MB|≥|A'B|=(2-1)2+(-4-3)2=52,即f(x)=x2-4x+20+x2-2x+10的最小值为52.
7.解析 根据题意,得|AC|=(4-1)2+(2-1)2=10,直线AC的方程为y-12-1=x-14-1,即x-3y+2=0.
因为点B(m,m)到直线AC的距离d=|m-3m+2|12+(-3)2,所以△ABC的面积S=12|AC|·d=12|m-3m+2|=12m-322-14.
因为1所以0所以当m=32,即m=94时,△ABC的面积S最大.
8.解析 (1)l2的方程即为2x-y-12=0,
∴l1与l2之间的距离d=a--1222+(-1)2=7510,
∴a+12=72.∵a>0,∴a=3.
(2)设点P(x0,y0),若点P满足条件②,则点P在与l1和l2平行的直线l':2x-y+c=0c≠3,c≠-12上,
且|c-3|5=12×c+125,解得c=132或c=116.
∴l':2x-y+132=0或2x-y+116=0.
若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,得
|2x0-y0+3|5=25·|x0+y0-1|2,
∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
∵点P在第一象限,∴3x0+2=0不符合题意.
联立方程2x0-y0+132=0,x0-2y0+4=0,
解得x0=-3,y0=12,应舍去.
联立2x0-y0+116=0,x0-2y0+4=0,解得x0=19,y0=3718.
∴P19,3718即为同时满足三个条件的点.