湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步２-５-1圆的标准方程练习含答案

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2.5　圆的方程2.5.1　圆的标准方程基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　题组一　对圆的标准方程的理解1.方程x=1-y2表示的图形是(　　)A.两个半圆　　　　B.两个圆C.圆　　　　D.半圆2.(2022湖南长沙月考)圆(2x-1)2+(2y+4)2=9的周长等于(　　)A.6π　　　　B.3πC.3π2　　　　D.9π3.方程(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)表示的圆(　　)A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线x-y=0对称D.关于直线x+y=0对称4.(2022河北石家庄二中月考)方程|y|-1=3-(x-2)2所表示的曲线的长度是(　　)A.6π　　　　B.23πC.23π+43　　　　D.6π+12题组二　求解圆的标准方程5.已知点A(3,-2),B(-5,4),以线段AB为直径的圆的标准方程是(　　)A.(x-1)2+(y+1)2=25B.(x+1)2+(y-1)2=25C.(x-1)2+(y+1)2=100D.(x+1)2+(y-1)2=1006.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　)A.x2+(y-2)2=1　　　　B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1　　　　D.x2+(y-3)2=17.若圆心在x轴上,半径为5的圆C位于y轴左侧,且圆心到直线x+2y=0的距离等于半径,则圆C的方程是　　　　　　　　. 8.(2022湖南雅礼中学期中)圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是　　　　　　　　. 9.已知点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.题组三　点与圆的位置关系10.点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　)A.点P在圆内　　　　　B.点P在圆外C.点P在圆上　　　　　D.不确定11.若点(1,1)在圆(x+2)2+y2=m(m>0)上,则圆的标准方程是　　　　　　　　. 12.已知点M(5a+1,a)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围为　　　　　. 13.(2022湖南益阳箴言中学月考)已知点A(2,1)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的外部,则实数a的取值范围为　　　　　. 14.已知圆C的圆心为C(-3,-4)且过原点O,求圆C的标准方程,并判断点M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆C的位置关系.题组四　圆的标准方程的应用15.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是　　　　. 16.(2022湖南郴州期末)已知半径为1的圆经过点M(3,4),则其圆心到原点O的距离的最小值为　　　　. 17.已知点P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上任意一点,且点A(-1,0),B(1,0),试求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.18.如图所示,河道上有一座圆拱桥,正常水位时,拱圈的最高点距水面9 m,拱圈内水面宽22 m,船体在水面以上的部分高6.5 m,船顶部宽4 m,此时船可以通行无阻.近日水位暴涨了2.7 m,船已经不能通过桥洞,船员必须加重船载,降低船身在水面以上的高度,则船身至少降低多少米才能顺利通过桥洞?(精确到0.01 m,参考数据9 877≈99.38)答案与分层梯度式解析基础过关练1.D　根据题意得x≥0,方程两边同时平方并整理得x2+y2=1(x≥0),由此确定其表示的图形为半圆,故选D.2.B　圆的方程可化为x-122+(y+2)2=94,所以圆的半径为32,因此圆的周长为2π×32=3π.3.D　易得圆心坐标为(-a,a),圆心在直线y=-x上,所以该圆关于直线x+y=0对称.4.B　由|y|-1=3-(x-2)2,得|y|-1≥0,所以y≥1或y≤-1.将原式变形可得(x-2)2+(|y|-1)2=3(y≥1或y≤-1),所以曲线为两个半径均为3的半圆,所以曲线的长度为2π×3=23π.故选B.5.B　由题意得圆心坐标为(-1,1),半径r=12|AB|=12×(3+5)2+(-2-4)2=5,所以圆的标准方程是(x+1)2+(y-1)2=25.故选B.6.A　设圆心坐标为(0,b),则(0-1)2+(b-2)2=1,∴b=2,∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.7.答案　(x+5)2+y2=5解析　设圆心坐标为(a,0)(a<0),则|a|12+22=5,所以a=-5,故圆C的方程为(x+5)2+y2=5.8.答案　(x-4)2+y2=1解析　圆(x-3)2+(y+1)2=1的圆心坐标为(3,-1),设其关于直线x+y-3=0对称的点的坐标为(a,b),则b+1a-3·(-1)=-1,a+32+b-12-3=0,解得a=4,b=0,故所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=1.9.解析　(1)当AB为直径时,过A,B的圆的半径最小,从而周长最小.即AB的中点(0,1)为圆心,半径r=12|AB|=10.则圆的方程为x2+(y-1)2=10.(2)解法一:易知直线AB的斜率为-3,则AB的垂直平分线的方程是y-1=13x,即x-3y+3=0.由圆心在直线2x-y-4=0上,得两直线的交点为圆心,联立两直线方程得圆心的坐标是(3,2).则圆的半径r=(1-3)2+(-2-2)2=25.故所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.解法二(待定系数法):设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.则(1-a)2+(-2-b)2=r2,(-1-a)2+(4-b)2=r2,2a-b-4=0,可得a=3,b=2,r2=20,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20.10.B　由(m2)2+52=m4+25>24,得点P在圆外.11.答案　(x+2)2+y2=10解析　∵点(1,1)在圆(x+2)2+y2=m(m>0)上,∴(1+2)2+1=m,∴m=10,故圆的标准方程为(x+2)2+y2=10.12.答案　[0,1)解析　由题意知a≥0,(5a+1-1)2+(a)2<26,解得0≤a<1.13.答案　(-∞,0)∪0,52解析　由于(x-a)2+(y+a)2=2a2表示圆,故a≠0,因为点A(2,1)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的外部,所以(2-a)2+(1+a)2>2a2,即-2a+5>0,解得a<52,因此实数a的取值范围为(-∞,0)∪0,52.14.解析　因为圆C过原点O,圆心为C(-3,-4),所以圆C的半径r=|OC|=(-3-0)2+(-4-0)2=5,因此圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.因为(-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以点M1(-1,0)在圆C内;因为(1+3)2+(-1+4)2=25,所以点M2(1,-1)在圆C上;因为(3+3)2+(-4+4)2=36>25,所以点M3(3,-4)在圆C外.15.答案　2+1解析　圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d=|1-1-2|12+(-1)2=2,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为2+1.16.答案　4解析　设圆心为C(x,y),则(x-3)2+(y-4)2=1,即(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以|OC|+1≥|OM|=32+42=5,所以|OC|≥4,即圆心到原点的距离的最小值为4.17.解析　根据题意,得圆C的圆心C(3,4),半径r=1.设P(x,y),坐标原点为O,则有|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2x2+2y2+2=2(x2+y2)2+2=2[(x-0)2+(y-0)2]2+2=2|OP|2+2,又因为|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4,所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42+2=34.18.解析　在正常水位时,设拱圈所在圆的圆心为C,以水面与桥横截面的交线所在直线为x轴,过拱圈的最高点且与水面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示:则A,B,D三点的坐标分别为(-11,0),(11,0),(0,9),又因为圆心C在y轴上,故可设C(0,b),b<0.因为|CD|=|CB|,所以(9-b)2=112+b2,所以b=-209,所以拱圈所在圆的方程为x2+y+2092=10192.当x=2时,y≈8.82,8.82-2.7=6.12(m),即水位暴涨后,要想船身能顺利通过桥洞,其在水面以上的高度最高为6.12 m,6.5-6.12=0.38(m),所以船身至少降低0.38 m才能顺利通过桥洞.