数学选择性必修 第一册第1章 数列*1.4 数学归纳法巩固练习

这是一份数学选择性必修 第一册第1章 数列*1.4 数学归纳法巩固练习，共10页。试卷主要包含了用数学归纳法证明等内容，欢迎下载使用。


题组一 利用数学归纳法证明等式
1.(2022湖南湘潭一中月考)已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13-14+…+1n-1-1n=21n+2+1n+4+…+12n时,若已假设n=k(k≥2)为偶数时命题为真,则还需要用归纳假设再证( )
A.n=k+1时等式成立
B.n=k+2时等式成立
C.n=2k+2时等式成立
D.n=2(k+2)时等式成立
2.(2021安徽合肥肥东二中月考)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)(n∈N+)时,从n=k到n=k+1,等式左边需增添的项是( )
A.2k+2
B.2(k+1)+1
C.(2k+2)+(2k+3)
D.[(k+1)+1][2(k+1)+1]
3.用数学归纳法证明1-141-191-116×…×1-1n2=n+12n(n≥2,n∈N+).
题组二 利用数学归纳法证明不等式
4.用数学归纳法证明1n+1+1n+2+…+13n+1>1(n∈N+),在验证n=1时,左边的代数式为( )
A.12+13+14 B.12+13
C.12 D.1
5.对于不等式n2+n(1)当n=1时,12+1<1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时,不等式成立,即k2+k则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)
=k2+3k+2<(k2+3k+2)+k+2
=(k+2)2=(k+1)+1,
所以当n=k+1时,不等式成立.
则上述证法( )
A.过程全部正确
B.n=1验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
6.用数学归纳法证明“1+12+13+…+12n-11)”的过程中,从n=k(k∈N+,k>1)到n=k+1时,左边增加的项数为( )
A.k B.2k
C.2k-1 D.2k-1
7.用数学归纳法证明:112+132+…+1(2n-1)2>1-12+13-14+…+12n-1-12n(n∈N+).
题组三 归纳—猜想—证明解决与递推公式有关的数列问题
8.(2021江西上饶月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=14,且an=12+1nSn-2n-1(n∈N+).
(1)求S12,S24,S38;
(2)由(1)猜想数列Sn2n的通项公式,并用数学归纳法证明.
9.(2021陕西西安铁一中学期末)在数列{an}中,a1=12,an+1=3anan+3.
(1)求出a2,a3,并猜想{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 因为n为正偶数,所以当n=k时,下一个偶数为k+2.
2.C 当n=k(k∈N+,k>1)时,左边=1+2+3+…+(2k+1),当n=k+1时,左边=1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),故选C.
3.证明 (1)当n=2时,左边=1-14=34,右边=2+12×2=34,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,等式成立,
即1-141-191-116×…×1-1k2=k+12k,
那么当n=k+1时,
1-141-191-116×…×1-1k21-1(k+1)2=k+12k1-1(k+1)2=k+12k·k(k+2)(k+1)2=k+22(k+1)=(k+1)+12(k+1),即当n=k+1时,等式也成立.
综合(1)(2)知,对任意n≥2,n∈N+等式恒成立.
4.A
5.D 在n=k+1时,没有应用n=k时的归纳假设,不是数学归纳法.
6.B 由题意知,当n=k(k∈N+,k>1)时,左边=1+12+13+…+12k-1,当n=k+1时,左边=1+12+13+…+12k-1+12k+12k+1+…+12k+1-1,所以从n=k到n=k+1时,左边增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k.
7.证明 (1)当n=1时,左边=1,右边=1-12=12,左边>右边,所以不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,
即112+132+…+1(2k-1)2>1-12+13-14+…+12k-1-12k.
则当n=k+1时,
112+132+…+1(2k-1)2+1(2k+1)2
>1-12+13-14+…+12k-1-12k+1(2k+1)2
>1-12+13-14+…+12k-1-12k+1(2k+1)(2k+2)
=1-12+13-14+…+12k-1-12k+12(k+1)-1-12(k+1),
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)知,不等式对任何n∈N+都成立.
8.解析 (1)∵an=12+1nSn-2n-1(n∈N+),
∴当n=1时,a1=S1=12+1S1-1,解得S1=2,则S12=1;
当n=2时,a2=12+12S2-2=14,解得S2=16,则S24=4;
当n=3时,a3=S3-S2=12+13S3-22,解得S3=72,则S38=9.
(2)由(1)猜想数列Sn2n的通项公式为Sn2n=n2(n∈N+).
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,由(1)可得S12=1,结论成立.
当n=2时,由(1)可得S24=4,结论成立.
②假设当n=k(k∈N+,k≥2)时,Sk2k=k2,
则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=12+1k+1Sk+1-2k+1-1,
即12-1k+1Sk+1=Sk-2k=2k·k2-2k=(k2-1)·2k,
则k-12(k+1)Sk+1=(k+1)(k-1)·2k.
因为k≥2,所以Sk+1=2(k+1)2·2k=(k+1)2·2k+1,
即Sk+12k+1=(k+1)2,
所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②可知,对任何n∈N+,Sn2n=n2恒成立.
9.解析 (1)∵a1=12,an+1=3anan+3,
∴a2=3a1a1+3=3×1212+3=37,a3=3a2a2+3=3×3737+3=38.
猜想: an=3n+5(n∈N+).
(2)证明:①当n=1时,a1=12=31+5,猜想成立,
②假设当n=k(k∈N+)时,猜想成立,即ak=3k+5,
则当n=k+1时,ak+1=3akak+3=3×3k+53k+5+3=3k+6
=3(k+1)+5,
即当n=k+1时,猜想也成立.
由①②可知,对任意n∈N+,an=3n+5.