山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2023-2024学年高二下学期期末数学试题（解析版）

这是一份山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2023-2024学年高二下学期期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，考试结束后，将答题卡交回， 对于函数，下列说法正确有等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ）
A. 7B. 12C. 18D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】从4名男生与3名女生中选两人，其中男女各一人，
由分步计数原理，可得不同的选派方法数为种.
故选：B.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由基本初等函数求导法则，导数四则运算以及复合函数求导法则运算即可逐一判断每个选项.
【详解】，，，.
故选：D.
3. 二项式展开式的常数项为（ ）
A. B. 70C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，令得出后代入计算即可得.
【详解】，
令，即，故，
即展开式的常数项为.
故选：D.
4. 相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.
【详解】由散点图得负相关，所以，
因为剔除点后，剩下点数据更线性相关性更强，则更接近，
所以.
故选：D.
5. 已知函数的导函数为f'x，f'x的图象如图所示，则的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的图象变化，判断函数的图象的变化情况，结合选项，即可得答案.
【详解】由f'x的图象可知时，f'x>0，且f'x的值随x的增大逐渐减小，
此时的图象应是上升的，且上升趋势越来越平缓，
当时，f'x>0，且f'x的值随x的增大逐渐增大，
此时的图象应是上升的，且上升趋势越来越陡峭，
结合选项，符合的图象特征的为选项D中图象，
故选：D
6. 设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分布列中所有概率和为1求解．
【详解】由题意，．
故选：A．
7. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果.
【详解】因为是定义在上的增函数，
所以，解得.
故选：B
8. 已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先由函数的图象关于直线对称，得函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，可得．再把代入，可得函数周期为4，求得，，即可求解．
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，故有．
因为，都有，所以，
所以，又函数的图象在x轴上方，
所以，所以，即函数的周期为4．
当，可得，所以，
当，可得，所以，所以，
所以.
故选：C．
二､多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分）
9. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 相关系数越接近，变量相关性越强
B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
C. 相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D. 若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用相关系数与相关指数的意义分析判断即可.
【详解】对于A，相关系数越接近，相关性越强，故A正确；
对于B，回归直线方程拟合效果的强弱由决定系数或相关系数判定，故B错误；
对于C，决定系数越小，残差平方和越大，效果越差，故C正确；
对于D，根据的实际意义可得，表示女大学生的身高解释了的体重变化，故D正确．
故选：ACD．
10. 对于函数，下列说法正确有（ ）
A. 在处取得最小值B. 在处取得最大值
C. 有两个不同零点D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用单调性求最值判断A,B，求零点判断C，先转换到同一单调区间内，在比大小判断D即可.
【详解】定义域为，易得，令，,令，，故在单调递增，在单调递减，则的最大值为，故A错误，B正确，
令，解得，可得只有一个零点，故C错误，
易知，且结合单调性知，即成立，故D正确.
故选：BD
11. 甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（ ）
A. A，B是对立事件B. 事件B，D相互独立
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由互斥事件及独立事件的概念可判断A，B项，由条件概率公式及全概率公式可判断C，D项．
【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；
对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为______．
【答案】24
【解析】
【分析】根据给定条件，利用相邻问题及有位置要求的元素占位，结合排列列式计算即得.
【详解】把两名女生捆绑在一起视为一人，与两名男生作全排列有种方法，
再把老师插入中间两个间隙中有种方法，而两名女生的排列有种方法，
所以不同站法的种数为.
故答案为：24
13. 已知函数在时取得极大值4，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可.
【详解】由题意可知，
因为函数在时取得极大值4，所以，
解之得，
检验，此时，令或，
令，
即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意，
故.
故答案为：
14. 设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数的性质求出函数在时的解析式，即可得到，则不等式，即，再根据指数函数的性质得到，解得即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时，，
设，则，所以，又，所以，
所以，则，
所以不等式，即，即，即，
即，解得，
即不等式的解集为.
故答案为：
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知幂函数（）定义域为，且在上单调递增．
（1）求m的值；
（2），不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的性质求解即可.
（2）首先根据题意转化为，恒成立．再利用换元法求解即可.
【小问1详解】
或，
又因为函数在上单调递增，
，（舍），
，.
【小问2详解】
，恒成立，
，恒成立．
令，，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
故．
16. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）函数在上单调递增，可得当时，恒成立，分离参数，将问题转化为求解二次函数的最值问题，即可求得答案.
【小问1详解】
当时，，则，
∴，，
曲线在点处的切线方程为，即．
【小问2详解】
由题意得当时，恒成立，
∴在时恒成立，
∵，则，由于二次函数在上单调递减，
∴当时，，
∴，即实数a的取值范围是．
17. 已知函数的定义域为，值域为0,+∞，且对任意，，都有．．
（1）求的值，并证明为奇函数．
（2）若，，且，证明为上的增函数，并解不等式．
【答案】（1）；证明见解析
（2）证明见解析；解集为
【解析】
【分析】（1）赋值法令，可得；由给定性质，证明即可.
（2）证明的单调性，再由单调性解不等式.
【小问1详解】
令，得，
又函数的值域为0,+∞，∴．
∵，
∴，
∴，
∴为奇函数．
【小问2详解】
任取，．
．
∵，∴．
∵当时，，∴，∴．
又函数的值域为0,+∞，
∴，即，
∴为上的增函数．
由，即，化简得．
∵，
∴，∴．
又为上增函数，∴，
故的解集为．
【点睛】方法点睛：抽象函数的性质研究：
①赋值法求特定元素的函数值；
②利用已知抽象函数的等式性质，证明函数的单调性；
③利用单调性解相关表达式.
18. 每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
（1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值；
（2）若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1），
（2）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）的值等于总人数减去其余各组人数的和，利用的概率为求出的值；
（2）利用分层抽样的比例可以求出10人中，赞成的有8人，不赞成的有2人，而表示从10人中抽取的4人中赞成“延迟退休”的人数，所以的可能取值为2，3，4，然后求出其对应的概率，就可完成的分布列.
【小问1详解】
因为总共抽取100人进行调查，所以，
因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在的概率为，所以．
【小问2详解】
从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量的可能取值为2，3，4.
则，
，
．
所以的分布列为
所以.
19. ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数：
（2）将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.
（i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？
（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.
参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】（1）45 （2）（i）列联表见解析；有；（ii）
【解析】
【分析】（1）借助频率分布直方图及百分位数的性质计算即可得；
（2）（i）完善列联表后，计算卡方即可得；（ii）借助分层抽样的性质可得抽取8人中居民类别，再结合组合数的计算与概率公式计算即可得.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，
年龄在40岁以下的居民所占比例为，
年龄在50岁以下的居民所占比例为，
所以分位数位于内，
由，
所以，样本数据的分位数为45；
【小问2详解】
（i）由题知，列联表为：
根据列联表中的数据，可得：
所以，有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联；
（ii）按照分层抽样，青年居民应抽取人，非青年居民应抽取2人．
设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为，
，
，
所以，
所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为．
年龄段（单位：岁）
被调查的人数
10
15
20
25
5
赞成的人数
6
12
20
12
2
2
3
4
青年
非青年
合计
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2.706
3.841
6.635
青年
非青年
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