2022-2023学年山西省朔州市怀仁市巨子学校高中部高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山西省朔州市怀仁市巨子学校高中部高二（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山西省朔州市怀仁市巨子学校高中部高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|y= −x2+3x+4}，B={x|2x>4}，则A∪B=(    )
A. (2,+∞) B. [−1,+∞) C. [2,4] D. (2,4]
2. 计算：(−27)23×9−32=(    )
A. −3 B. −13 C. 3 D. 13
3. 已知y=f(x)为奇函数且对任意x∈R，f(x+2)=f(−x)，若当x∈[0,1]时，f(x)=log2(x+a)，则f(2021)=(    )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢廊函数的图象特征，函数f(x)=x2ex+e−x的图象大致是(    )
A. B.
C. D.
5. 已知函数f(x)=−x2−2x+3,x≤0|lnx|,x>0，若关于x的方程f(x)=a有四个实数根，则实数a的取值范围为(    )
A. (−∞,4) B. (0,3] C. [3,4) D. (0,4)
6. 1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的条件(    )
A. 充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要
7. 命题“∀x>0，xsinx<2x−1”的否定是(    )
A. ∀x>0，xsinx≥2x−1 B. ∃x>0，xsinx≥2x−1
C. ∀x≤0，xsinx<2x−1 D. ∃x≤0，xsinx≥2x−1
8. 函数y=x+1x(−2 A. −2 B. 2 C. −52 D. 不存在
9. 若函数y=cosx+ax在[−π2,π2]上是增函数，则实数a的取值范围是(    )
A. (−∞,−1] B. (−∞,1] C. [−1,+∞) D. [1,+∞)
10. 若sin(54π+θ)=−35，则sin2θ的值为(    )
A. 725 B. 15 C. −15 D. −725
11. 已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC=2AE，则向量EM=(    )
A. 12AC+13AB B. 12AC+16AB C. 16AC+12AB D. 16AC+32AB
12. 为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为(    )
A. 325 B. 15 C. 310 D. 35
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知p：(x−m)2<9，q：log4(x+3)<1，若￢q是￢p的必要不充分条件，则m的取值范围是          ．
14. 设坐标平面上的抛物线C：y=x2，过第一象限的点(a,a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为______ ．
15. 设复数z=2−i1+i，则z的共轭复数为______．
16. 如图所示，在四边形ABCD中，已知BA⊥AD，AB=10，BC=5 6，∠BAC=60°，∠ADC=135°，CD= ______ ．


三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设等比数列{bn}满足b2=a4，b3=a7，求数列{an+bn}的前n项和Tn．
条件①：a1=−3；
条件②：an+1−an=2；
条件③：S2=−4．
18. (本小题12.0分)

2021年2月25日举行的全国脱贫攻坚总结表彰大会上，国家电网共有23名(个)先进个人、先进集体获得表彰.其中，国网西藏电力有限公司农电工作部从习近平总书记手中接过了“全国脱贫攻坚楷模”奖牌.过去8年，在党中央坚强领导下，经过世界规模最大、力度最强的脱贫攻坚战，近1亿人摆脱绝对贫困.长期以来贫困地区的农产品面临“种得出卖不出”“酒香也怕巷子深”的困境.深谙互联网思维的国家电网人，搭平台、建渠道，以一款APP让众多贫困地区的产品销售易如反掌.2020年“6.18”期间，带货主播和直播运营两大岗位高达去年同期的11.6倍.针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出100次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对商品和服务都做出好评的交易为40次，对商品和服务部不满意的交易为5次．
(1)请完成关于商品和服务评价的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
 
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
40
 
 
对商品不满意
 
5
 
合计
 
 
100
(2)从“对服务不满意”的评价中分层选出10个，再从这10个评价中随机选出6个，记其中“对商品不满意”的个数为X，求X的分布列及数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
P(χ2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

19. (本小题12.0分)
已知复数z=3+2i2−3i．
(1)求|z−1−2i|；
(2)计算：z+z2+z3+z4+…+z2021．
20. (本小题12.0分)
移动支付(支付宝及微信支付)已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查，得到2×2列联表如下：

35岁以下(含35岁)
35岁以上
合计
使用移动支付
40

50
不使用移动支付

40

合计


100
(1)将上面的2×2列联表补充完整，并通过计算，说明是否有99.9%的把握认为支付方式与年龄有关？
(2)在使用移动支付人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步问卷调查，从这10人中随机选出2人中，设年龄低于35岁(含35岁)的人数为X，求X的分布列及期望．
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考临界值表：
P(K2≥k)
0.5
0.4
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

21. (本小题12.0分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC中点，且PB⊥AM．
(1)求BC；
(2)求二面角A−PM−B的正弦值．

22. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x=−12ty=3+ 32t(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+π3)．
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程
(2)设点M的直角坐标为(0,3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|的值．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：由已知条件得−x2+3x+4≥0，
解得−1≤x≤4，故集合A={x|−1≤x≤4}．
又B={x|x>2}，则A∪B=[−1,+∞)，
故选：B．
求出集合A，B，由此能求出A∪B．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．

2.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查指数幂化简求值，是基础题．
利用指数幂的性质直接求解．
【解答】
解：(−27)23×9−32
=[(−3)3]23×(32)−32
=(−3)2×3−3
=9×127
=13．
故选D．  
3.【答案】C 
【解析】解：因为y=f(x)为奇函数，即f(−x)=−f(x)，
因为对任意x∈R，f(x+2)=f(−x)=−f(x)，
所以f(x+4)=f(x)，
当x∈[0,1]时，f(x)=log2(x+a)，
所以f(0)=log2a=0，
所以a=1，则f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=log22=1．
故选：C．
由已知可求函数的周期性，然后结合已知函数的奇函数性质可求．
本题主要考查了利用函数的奇偶性及周期性求解函数值，体现了转化思想的应用，属于中档题．

4.【答案】A 
【解析】解：根据题意，f(x)=x2ex+e−x，其定义域为R，
有f(−x)=x2ex+e−x=f(x)，函数f(x)为偶函数，排除CD，
当x→+∞时，f(x)→0，排除B，
故选：A．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除CD，再分析函数图象的变化趋势，排除B，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：因为当x≤0时，f(x)=−x2−2x+3，
当x>0时，f(x)=|lnx|，
所以当x=0时，f(x)=3，
作出函数y=f(x)的图象，如图所示，
因为f(x)=a有四个根，即函数f(x)的图象与y=a有四个交点，
所以3≤a<4，
故实数a的取值范围为[3,4)．
故选：C．
作出分段函数f(x)的图象，然后将问题转化为函数f(x)的图象与y=a有四个交点，由图象分析即可得到答案．
本题考查了方程根的问题，属于中档题．

6.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题．利用充分条件与必要条件的定义，从而得到答案．
【解答】
解：∵没有共产党⇒没有新中国，∴没有共产党是没有新中国的充分条件，
故选：A．
  
7.【答案】B 
【解析】解：命题“∀x>0，xsinx<2x−1”的否定是∃x>0，xsinx≥2x−1．
故选：B．
根据全称命题的否定是特称命题改写即可．
本题考查了命题的否定，注意对结论要全盘否定，属于基础题．

8.【答案】A 
【解析】解：∵y=x+1x(−2 ∴y′=1−1x2=(x+1)(x−1)x2，
令y′>0，解得：x<−1，令y′<0，解得：x>−1，
故函数在(−2,−1)递增，在(−1,0)递减，
故x=−1时，函数取极大值，
函数的极大值是−2，
故选：A．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值即可．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是基础题．

9.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
由题意可得y′=−sinx+a≥0在[−π2,π2]上恒成立，即a≥sinx在[−π2,π2]上恒成立，由此求得a的范围．
【解答】
解：由函数y=cosx+ax在[−π2,π2]上是增函数，可得y′=−sinx+a≥0在[−π2,π2]上恒成立，
即a≥sinx在[−π2,π2]上恒成立，故a≥1，
故选：D．  
10.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
利用诱导公式，两角和的正弦公式，二倍角公式化简已知等式即可求解．
【解答】
解：因为sin(54π+θ)=−35，可得sin(π+π4+θ)=−sin(π4+θ)=−35，
所以sin(π4+θ)= 22(sinθ+cosθ)=35，可得sinθ+cosθ=3 25，
两边平方，可得1+sin2θ=1825，
所以sin2θ=−725．
故选：D．
  
11.【答案】C 
【解析】解：如图：点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，
且EC=2AE，
则向量EM=EC+CM=23AC+12CB
=23AC+12(CA+AB)
=12AB+16AC．
故选：C．
画出图形，利用向量的加减法求解即可．
本题考查平面向量的加法与减法运算法则的应用，是基础题．

12.【答案】C 
【解析】解：某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，
要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，
甲、乙两人的选课基本事件总数n=C53C53=100，
甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同包含的基本事件个数m=C51C42C22=30，
则甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为P=mn=30100=310．
故选：C．
甲、乙两人的选课基本事件总数n=C53C53=100，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同包含的基本事件个数m=C51C42C22=30，由此能求出甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率．
本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．

13.【答案】[−2,0] 
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法和简易逻辑，属于中档题．
先根据题意解出p、q中x的取值范围，再根据￢q是￢p的必要不充分条件，判断m满足的条件，列出不等式并求解即可．
【解答】
解：因为￢q是￢p的必要不充分条件，所以p是q的必要不充分条件，
解不等式(x−m)2<9，得m−3 解不等式log4(x+3)<1，解得−3 ∴p：m−3 ∵p是q的必要不充分条件，
所以m−3≤−3m+3≥1，即−2≤m≤0．
故实数m的取值范围是[−2,0]．
  
14.【答案】(0,−a2) 
【解析】解：∵y=x2，
∴y′=2x，
∴y=x2在第一象限内图象上一点(a,a2)处的切线方程是：y−a2=2a(x−a)，
令x=0，可得y=−a2，
∴直线l与y轴的交点Q的坐标为(0,−a2).
故答案为：(0,−a2).
求导数，可得y=x2在第一象限内图象上一点(a,a2)处的切线方程，令x=0，可得y=−a2，即可求出直线l与y轴的交点Q的坐标．
本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查学生的计算能力，确定切线方程是关键．

15.【答案】12+32i 
【解析】解：∵z=2−i1+i=(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i2=12−32i.
∴z=12+32i.
故答案为：12+32i．
利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．

16.【答案】5 22 
【解析】解：在△ABC中，设AC=x，则由余弦定理可得150=x2+102−2⋅10x⋅cos60°，
整理得x2−10x−50=0，解之得x1=5，x2=−10(舍去)．
在△ACD中，由正弦定理得CD=5sin135∘⋅sin30°=5 22．
故答案为：5 22．
设出AC=x，利用余弦定理建立方程，整理后求得x，进而利用正弦定理求得CD．
本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考查对正弦定理和余弦定理的灵活运用．

17.【答案】解：(Ⅰ)由题意，不能选择①③作为已知条件，否则题目条件不完善．
若选择①②作为已知条件．
∵a1=−3，an+1−an=2，
∴数列{an}是以a1=−3为首项，公差d=2的等差数列．
∴an=2n−5．
若选择②③作为已知条件．
∵an+1−an=2，
∴数列{an}是以a1为首项，公差为d=2的等差数列．
∵S2=−4，∴a1+a2=−4，则2a1+d=−4，
解得a1=−3，∴an=2n−5；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，an=2n−5，
设等比数列{bn}的公比为q，则b2=a4=3，b3=a7=9，
∴q=b3b2=3，b1=b2q=33=1．
∴等比数列{bn}的通项公式为bn=b1qn−1=3n−1．
可得an+bn=(2n−5)+3n−1．
∴Tn=(a1+b1)+(a2+b2)+⋯+(an+bn)
=(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn)
=[−3+(−1)+⋯+(2n−5)]+(1+3+⋯+3n−1)
=n×[−3+(2n−5)]2+1−3n1−3=n2−4n+12(3n−1)． 
【解析】(Ⅰ)由题意，不能选择①③作为已知条件，否则题目条件不完善，当选择①②和②③作为已知条件时，都可得到数列{an}是公差为2的等差数列，再求出首项，即可求得数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，an=2n−5，设等比数列{bn}的公比为q，则b2，b3可求，进一步求得公比与首项，可得等比数列{bn}的通项公式，再由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前n项和公式求解数列{an+bn}的前n项和Tn．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，训练了数列的分组求和，考查运算求解能力，是中档题．

18.【答案】解：(1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：

对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
40
20
60
对商品不满意
35
5
40
合计
75
25
100
∵χ2=100×(40×5−20×35)275×25×60×40≈5.556>5.024，
故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为商品好评与服务好评有关．
(2)由(1)得从“对服务不满意”的评价中分层选出的10个评价中，“对商品好评”的有8个，“对商品不满意”的有2个，
故X的所有可能取值为0，1，2，
∵P(X=0)=C86C106=215，P(X=1)=C85C21C106=815，P(X=2)=C84C22C106=13，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
 215
 815
 13
所以E(X)=0×215+1×815+2×13=65． 
【解析】本题考查了独立性检验与古典概型的概率求法，属于中档题．
(1)根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算χ2，对照题目中的表格，得出结论．
(2)得到X的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率，列出分布列，求出数学期望即可．

19.【答案】解：(1)∵z=3+2i2−3i=i，z−1−2i=−1−i，
∴|z−1−2i|=|1−i|= 2；
(2)z=i，z2=−1，z3=−i，z4=1，z5=i，……，
有z4k=1，z4k+1=i，z4k+2=−1，z4k+3=−i(k∈Z)，且显然z4k+z4k+1+z4k+2+z4k+3=0，
∴z+z2+z3+z4+……+z2021=505×0+z=i． 
【解析】(1)根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
(2)z=i，z2=−1，z3=−i，z4=1，z5=i，……，可得z4k=1，z4k+1=i，z4k+2=−1，z4k+3=−i(k∈Z)，且显然z4k+z4k+1+z4k+2+z4k+3=0，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

20.【答案】解：(1)列联表完成如下：

35岁以下(含35岁)
35岁以上
合计
使用移动支付
40
10
50
不使用移动支付
10
40
50
合计
50
50
100
∵K2=100×(40×40−10×10)250×50×50×50=36>10.828，
∴有99.9%把握认为支付方式与年龄有关．
(2)在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人，即35岁以下(含35岁)有8人，35岁以上有2人，则从这10人中随机选出2人，低于35岁(含35岁)的人数为X的所有可能取值为0，1，2，P(X=0)=C22C102=145，P(X=1)=C21C81C102=1645，P(X=2)=C82C102=2845，
故X的分布列如下：
X
0
1
2
P
145
1645
2845
∴E(X)=0×145+1×1645+2×2845=7245=85． 
【解析】(1)根据列联表中数据的关系，补充联表，并结合独立性检验公式，即可求解．
(2)在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人，即35岁以下(含35岁)有8人，35岁以上有2人，则从这10人中随机选出2人，低于35岁(含35岁)的人数为X的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．

21.【答案】解：(1)连结BD，

因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，
则AM⊥PD，
又AM⊥PB，PB∩PD=P，PB，PD⊂平面PBD，
所以AM⊥平面PBD，
又BD⊂平面PBD，则AM⊥BD，
所以∠ADB+∠DAM=90°，
又∠DAM+∠MAB=90°，
则有∠ADB=∠MAB，
所以Rt△DAB∽Rt△ABM，
则ADAB=BABM，所以12BC2=1，解得BC= 2；
(2)因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则A( 2,0,0)，B( 2,1,0)，M( 22,1,0)，P(0,0,1)，
所以AP=(− 2,0,1)，AM=(− 22,1,0)，BM=(− 22,0,0)，BP=(− 2,−1,1)，
设平面AMP的法向量为n=(x,y,z)，
则有n⋅AP=0n⋅AM=0，即− 2x+z=0− 22x+y=0，
令x= 2，则y=1，z=2，故n=( 2,1,2)，
设平面BMP的法向量为m=(p,q,r)，
则有m⋅BM=0m⋅BP=0，即− 22p=0− 2p−q+r=0，
令q=1，则r=1，p=0，故m=(0,1,1)，
所以|cos|=|n⋅m||n||m|=3 7× 2=3 1414，
设二面角A−PM−B的平面角为α，
则sinα= 1−cos2α= 1−cos2= 1−(3 1414)2= 7014，
所以二面角A−PM−B的正弦值为 7014． 
【解析】本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
(1)连结BD，利用线面垂直的性质定理证明AM⊥PD，从而可以证明AM⊥平面PBD，得到AM⊥BD，证明Rt△DAB∽Rt△ABM，即可得到BC的长度；
(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．

22.【答案】解：(1)已知直线l：x=−12ty=3+ 32t(t为参数)，转换为直角坐标方程为 3x+y−3=0．
曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+π3)，根据x=ρcosθ y=ρsinθ x2+y2=ρ2 ，转换为直角坐标方程为x2+y2−2y−2 3x=0．
(2)把直线l：x=−12ty=3+ 32t(t为参数)，代入x2+y2−2y−2 3x=0．
得到：t2+3 3t+3=0，
所以t1+t2=−3 3，t1t2=3．
所以|AB|=|t1−t2|= (t1+t2)2−4t1t2= 15． 
【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．