重庆市外国语学校2023-2024学年数学八年级第一学期期末经典试题【含解析】

这是一份重庆市外国语学校2023-2024学年数学八年级第一学期期末经典试题【含解析】，共19页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，如图，不是轴对称图形的是，下列四个实数中，无理数是等内容，欢迎下载使用。

注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．a（x+y）＝ax+ayB．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3xD．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
2．不等式组的解为（ ）
A．B．C．D．或
3．下列式子可以用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知点 都在直线y=-3x+m上，则 的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，不是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
6．下列四个实数中，无理数是（ ）
A．3.14B．﹣πC．0D．
7．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．51B．49C．76D．无法确定
8．若x没有平方根，则x的取值范围为（ ）
A．x为负数B．x为0C．x为正数D．不能确定
9．下列各点位于平面直角坐标系内第二象限的是（ ）
A．B．C．D．
10．在一个三角形中，如果一个外角是其相邻内角的4倍，那么这个外角的度数为( )
A．36°B．45°C．135°D．144°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_______．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4cm，动点P从点B出发沿射线BC方向以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，则当t＝_____秒时，△ABP为直角三角形．
13．甲、乙二人同时从A地出发，骑车20千米到B地，已知甲比乙每小时多行3千米，结果甲比乙提前20分钟到达B地，求甲、乙二人的速度。若设甲用了x小时到达B地，则可列方程为_____________________
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为_____．
15．若a是有理数，使得分式方程＝1无解，则另一个方程＝3的解为_____．
16．如图，的内角平分线与的外角平分线相交于点，若，则____．
17．分解因式：x2y﹣4xy+4y＝_____．
18．如图，直线：，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点；…，按此作法进行下去．点的坐标为__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案：
方案一：第一次提价p%，第二次提价q%；
方案二：第一、二次均提价%；
如果设原价为1元，
（1）请用含p，p的式子表示提价后的两种方案中的产品价格；
（2）若p、q是不相等的正数，设p%=m，q%= n，请你通过演算说明：这两种方案，哪种方案提价多？
20．（6分）如图，已知，，．
求证：．
21．（6分）用简便方法计算：
（1） （2）
22．（8分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始分钟内只进水不出水．在随后的分钟内既进水又出水，直到容器内的水量达到．如图，坐标系中的折线段表示这一过程中容器内的水量（单位：）与时间（单位：分）之间的关系．
（1）单独开进水管，每分钟可进水________；
（2）求进水管与出水管同时打开时容器内的水量与时间的函数关系式；
（3）当容器内的水量达到时，立刻关闭进水管，直至容器内的水全部放完．请在同一坐标系中画出表示放水过程中容器内的水量与时间关系的线段，并直接写出点的坐标．
23．（8分）若关于的二元一次方程组的解满足
(1)(用含的代数式表示)；
(2)求的取值范围.
24．（8分）阅读探索题：
（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线ON、OM于C、B两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．求证：△AOB≌△AOC．
（2）请你参考以上方法，解答下列问题：
如图2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系并证明．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边 且BE＝CF，AD+EC＝AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
26．（10分）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
【详解】A、是多项式乘法，故A选项错误；
B、右边不是积的形式，x2-4x+4=（x-2）2，故B选项错误；
C、右边不是积的形式，故C选项错误；
D、符合因式分解的定义，故D选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，解题的关键是正确理解因式分解的概念，属于基础题型．
2、C
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式2−x≥−3，得：x≤5，
解不等式x−1≥−2，得：x≥−1，
则不等式组的解集为．
故选C．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3、D
【分析】根据平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、两个都是相同的项，不符合平方差公式的要求；
B、不存在相同的项，不符合平方差公式的要求；
C、两个都互为相反数的项，不符合平方差公式的要求；
D、3b是相同的项，互为相反项是2a与-2a，符合平方差公式的要求．
故选：D．
【点睛】
此题考查平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
4、A
【分析】根据在y=-3x+m中，-3＜0，则y随x的增大而减小，然后根据一次函数的增减性解答即可．
【详解】∵直线 中 ，
∴ y随 x的增大而减小，
又∵点 都在直线上，
且．
∴y1＞y2＞y3
故答案为A．
【点睛】
本题考查了一次函数的增减性，灵活运用一次函数的性质是正确解答本题的关键．
5、A
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项进行分析即可得出结论．
【详解】A．不是轴对称图形，故本选项正确；
B．是轴对称图形，故本选项错误；
C．是轴对称图形，故本选项错误；
D．是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的概念是解答本题的关键．
6、B
【分析】根据无理数的定义，可得答案．
【详解】解：3.14,0，，都是有理数；﹣π是无理数.
故选：B．
【点睛】
本题考查无理数的定义与形式，理解掌握无理数的定义是关键.
7、C
【解析】试题解析：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2=122+52=169，
解得x=1．
故“数学风车”的周长是：（1+6）×4=2．
故选C．
8、A
【分析】根据平方根的定义即可求出答案，正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．
【详解】解：∵负数没有平方根，
∴若x没有平方根，则x的取值范围为负数．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根．
9、A
【分析】根据所给点的横纵坐标的符号可得所在象限．第二象限点特点（-，+）
【详解】解：、，在第二象限，故此选项正确；
、，在轴上，故此选项错误；
、，在第四象限，故此选项错误；
、，在轴上，故此选项错误；
故选．
【点睛】
本题主要考查象限内点的符号特点，掌握每个象限点特点是解决此题的关键.
10、D
【分析】一个外角与其相邻的内角和是180°，设内角为x，根据题意列方程4x+x=180°，求解即可.
【详解】设内角为x，则4x+x=180°，
解得x=36°，
所以外角=4x=436°=144°，
故选D.
【点睛】
本题考查了三角形的外角和内角和，根据题意列出方程是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、120°或20°
【详解】根据等腰三角形的特点，可分两种情况：顶角与底角的度数比是1：4或底角与顶角的度数比是1：4，根据三角形的内角和定理就可求解：
当顶角与底角的度数比是1：4时，则等腰三角形的顶角是180°×=20°；
当底角与顶角的度数比是1：4时，则等腰三角形的顶角是180°×=120°．
即该等腰三角形的顶角为20°或120°．
考点：等腰三角形
12、3或1
【分析】分两种情况讨论：①当∠APB为直角时，点P与点C重合，根据 可得；②当∠BAP为直角时，利用勾股定理即可求解．
【详解】∵∠C＝90°，AB＝1cm，∠B＝30°，
∴AC＝2cm，BC＝6cm．
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝6 cm，
∴t＝6÷2＝3s．
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣6）cm，AC＝2cm，
在Rt△ACP中，AP2＝（2 ）2+（2t﹣6）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
∴（1）2+[（2）2+（2t﹣6）2]＝（2t）2，
解得t＝1s．
综上，当t＝3s或1s时，△ABP为直角三角形．
故答案为：3或1．
【点睛】
本题考查了三角形的动点问题，掌握以及勾股定理是解题的关键．
13、
【分析】设甲用了x小时到达B地，则乙用了小时到达B地，然后根据甲比乙每小时多行3千米即可列出方程．
【详解】解：设甲用了x小时到达B地，则乙用了小时到达B地
由题意得：．
故答案为．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，弄清题意、明确等量关系成为解答本题的关键．
14、2秒或3.5秒
【分析】由AD∥BC，则PD=QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9-3t=5-t，解方程即可；
②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：3t-9=5-t，解方程即可．
【详解】
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=BC=9，
∵AD∥BC，
∴PD=QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，
则得：9−3t=5−t，
解得：t=2，
②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，
则得：3t−9=5−t，
解得：t=3.5；
∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：2秒或3.5秒．
【点睛】
本题是动点问题与图形的结合，分情况讨论，根据平行四边形的性质，列出关系式即可求解．
15、x＝﹣1．
【分析】若a是有理数，使得分式方程＝1无解，即x＝a，把这个分式方程化为整式方程，求得a的值，再代入所求方程求解即可．
【详解】解：∵＝1，
∴3x+9＝x﹣a，
∵分式方程＝1无解，
∴x＝a，
∴3a+9＝0，
∴a＝﹣3，
当a＝﹣3时，另一个分式方程为＝3，
解得，x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的根．
故答案为：x＝﹣1．
【点睛】
本题主要考查解分式方程和分式方程的解，掌握解分式方程的方法是解题的关键.
16、58
【分析】根据角平分线的定义和三角形外角性质然后整理得到∠BAC=2∠P，代入数据进行计算即可得解．
【详解】∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠ACD=2∠PCD，∠ABC=2∠PBC，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC，
∴∠BAC+∠ABC=∠ACD=2∠PCD＝2(∠P+∠PBC)= 2∠P+2∠PBC=2∠P+∠ABC，
∴∠BAC=2∠P，
∵∠P=29，
∴∠BAC=58．
故答案为：58．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的定义，熟记性质并准确识图最后求出∠BAC=2∠P是解题的关键．
17、y(x-2)2
【分析】先提取公因式y，再根据完全平方公式分解即可得.
【详解】原式==，
故答案为．
18、（-22019，0）
【分析】先根据一次函数解析式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出OA2的长，用同样的方法得出OA3，OA4的长，以此类推，总结规律便可求出点A2020的坐标．
【详解】解：∵点A1坐标为（-1，0），
∴OA1=1，
∵在中，当x=-1时，y=，即B1点的坐标为（-1，），
∴由勾股定理可得OB1==2，即OA2=2，
即点A2的坐标为（-2，0），即（-21，0），
∴B2的坐标为（-2，），
同理，点A3的坐标为（-4，0），即（-22，0），
点B3的坐标为（-4，），
以此类推便可得出：点A2020的坐标为（-22019，0）.
故答案为：（-22019，0）.
【点睛】
本题主要考查了点的坐标规律、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识；由题意得出规律是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）方案一元；方案二：(1+%)2元；（2）方案二提价多．
【分析】（1）根据各方案中的提价百分率，即可得到答案；
（2）用方案二的产品价格减去方案一的产品价格，利用完全平方公式及多项式乘以多项式的法则化简，去括号合并后再利用完全平方公式变形即可判断．
【详解】（1）方案一：元；
方案二：(1+%)2元；
（2）方案二价多．
理由：
∵方案一：，
方案二：(1+)2 = ()2，
∴(1+)2
= ()2
=m2+mn+n2- mn
=m2- mn+n2
=()2，
∵，
∴()2＞0，
∴方案二提价多．
【点睛】
本题考查了列代数式、整式混合运算的应用，利用作差法比较大小，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
20、证明见解析．
【分析】根据题意证明即可求解．
【详解】证明：∵
∴，
即：
在和中
∴
∴
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法．
21、（1）1；（2）－1
【分析】(1)把原式变成符合完全平方公式的形式后，利用完全平方公式计算即可得到结果；
(2)把原式的前两项用平方差公式变形后及时可得到结果．
【详解】解：(1)原式=
=(100−99)2
=1
(2)原式=(2019-1)×(2019+1)−20192
=20192−12−20192
=−1；
【点睛】
本题考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便计算，熟练掌握公式是解本题的关键．
22、（1）；（2）；（3）点的坐标为．
【解析】（1）根据4分钟水量达到即可求解；
（2）设与之间的函数关系式为，利用待定系数法即可求解；
（3）求出出水管每分钟的出水量，再求出容器内的水全部放完的时间，得到C点坐标即可作图．
【详解】（1）单独开进水管，每分钟可进水20÷4=
故答案为：5；
（2）设与之间的函数关系式为，
将，代入中，
得
解，得，
所以，与之间的函数关系式为．
（3）设出水管每分钟的出水量为a，
题意可得（12-4）×（5-a）=36-20
解得a=3
∴容器内的水全部放完的时间为36÷3=12（分钟）
∴C
如图，线段即为所求．
【点睛】
此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知待定系数法的应用．
23、（1）1-5m，3-m；（2）-5＜m＜．
【解析】（1）将方程组两方程相减可得x-y，两式相加可得x+y；
（2）把x-y、x+y代入不等式组可得关于m的不等式组，求解可得．
【详解】（1）在方程组中，
①+②，得：3x+3y=9-3m，即x+y=3-m，
①-②，得：x-y=1-5m，
故答案为：1-5m，3-m；
（2）∵，
∴，
解得：-5＜m＜．
【点睛】
本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键．
24、（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】1）根据以O为圆心任意长为半径作弧，交射线ON，OM为C，B两点，OP是∠MON的平分线，运用SAS判定△AOB≌△AOC即可；
（2）先截取CE＝CA，连接DE，根据SAS判定△CAD≌△CED，得出AD＝DE，∠A＝∠CED＝60°，AC＝CE，进而得出结论BC＝AC＋AD；
【详解】（1）
证明：在△AOB和△AOC中，
∴△AOB≌△AOC（SAS）．
（2）
在CB上截取CE＝CA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△ACD和△ECD中，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠CAD＝∠CED＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠EDB＝30°，
即∠EDB＝∠B，
∴DE＝EB，
∵BC＝CE＋BE，
∴BC＝AC＋DE，
∴BC＝AC＋AD．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据线段的和差关系进行推导．解题时注意方程思想的运用．
25、（1）见解析；（2）∠DEF＝70°．
【分析】（1）求出EC=DB，∠B=∠C，根据SAS推出△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF即可；（2）根据三角形内角和定理求出∠B=∠C=70°，根据全等得出∠BDE=∠FEC，求出∠DEB+∠FEC=110°，即可得出答案；
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，
∴BD＝EC，
在△DBE和△ECF中， ，
∴△DBE≌△ECF（SAS）
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝＝70°，
∴∠BDE+∠DEB＝110°，
又∵△DBE≌△ECF，
∴∠BDE＝∠FEC，
∴∠FEC+∠DEB＝110°，
∴∠DEF＝70°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
26、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△ACN仍为等腰直角三角形，证明见解析．
【分析】（1）由EN∥AD和点M为DE的中点可以证到△ADM≌△NEM，从而证到M为AN的中点．
（2）易证AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．
（3）同（2）中的解题可得AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=180°﹣∠CBN，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：如图1，
∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．
∵点M为DE的中点，∴DM=EM．
在△ADM和△NEM中，∵，∴△ADM≌△NEM（AAS）．
∴AM=MN．∴M为AN的中点．
（2）证明：如图2，
∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．
∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．
∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．
∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．
∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．
∵AD=AB，∴AB=NE．
在△ABC和△NEC中，∵，∴△ABC≌△NEC（SAS）．
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．
∴△ACN为等腰直角三角形．
（3）△ACN仍为等腰直角三角形．证明如下：
如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上．
∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．
∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．
∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．
∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．
∵AD=AB，∴AB=NE．
在△ABC和△NEC中，∵，∴△ABC≌△NEC（SAS）．
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．
∴△ACN为等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查全等三角形的旋转问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.