重庆市外国语学校2023-2024学年数学八上期末考试试题【含解析】

这是一份重庆市外国语学校2023-2024学年数学八上期末考试试题【含解析】，共17页。试卷主要包含了等腰三角形的两边长分别是，等内容，欢迎下载使用。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（ ）
A．1B．3C．3D．
2．下列各数是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知A、B两个港口之间的距离为100千米，水流的速度为b千米/时，一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，则轮船往返两个港口之间一次需要的时间是（ ）
A．+B．
C．+D．﹣
4． “高高兴兴上学，平平安安回家”，交通安全与我们每一位同学都息息相关，下列四个交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，M、N在AB上且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．一个长方形的长是2xcm，宽比长的一半少4cm，若将这个长方形的长和宽都增加3cm，则该长方形的面积增加了（ ）．
A．9cm2B．(2x2x3)cm2C．7x3cm2D．9x3cm2
7．下列各式中，能运用“平方差公式”进行因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
8．关于函数的图像，下列结论正确的是（ ）
A．必经过点(1，2)B．与x轴交点的坐标为(0，-4)
C．过第一、三、四象限D．可由函数的图像平移得到
9．等腰三角形的两边长分别是，．则它的周长是( )
A．B．C．或D．
10．在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣3与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，﹣3）B．（﹣3，0）C．（2，﹣3）D．（，0）
11．如图，弹性小球从P(2，0)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1，第二次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则P2020的坐标是（ ）
A．(5，3)B．(3，5)C．(0，2)D．(2，0)
12．如图，长方形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过C．则长方形的一边CD的长度为（ ）
A．1B．C．D．2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在 RtΔABC 中，AB=3 cm，BC=4 cm，则 AC 边的长为_____．
14．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D为AB的延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C＝_____．
15．生命在于运动，小张同学用手机软件记录了4月份每天行走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如下图所示的统计图．在这组数据中，众数是_____万步．
16．对于分式，当时，分式的值为零，则__________．
17．如图，将一个边长分别为1、3的长方形放在数轴上，以原点O为圆心，长方形的对角线OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的实数是_______.
18．比较大小： ________ ． (填“＞”或 “＜”)．
三、解答题（共78分）
19．（8分）解答下列各题：
（1）计算：
（2）分解因式：．
20．（8分）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．
十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子和分解因式，如图：
；
．
请你仿照以上方法，探索解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
21．（8分）如图是某台阶的一部分，并且每级台阶的宽等于高．请你在图中建立适当的坐标系，使点的坐标为，点的坐标为．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）如果台阶有级（第个点用表示），请你求出该台阶的高度和线段的长度．
22．（10分）解下列方程：
； ．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点、点，点同时满足下面两个条件：①点到、两点的距离相等；②点到的两边距离相等．
（1）用直尺和圆规作出符合要求的点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）写出（1）中所作出的点的坐标 ．
24．（10分）如图，在中，，.

(1)如图1，点在边上，，，求的面积.
(2)如图2，点在边上，过点作，，连结交于点，过点作，垂足为，连结.求证：.
25．（12分）先化简，再取一个你喜欢的的值带入并求值
26．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AD与BC交于点O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】利用等边三角形的性质得出C点位置，进而求出OC的长．
【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接OE，
∵△ABC是等边三角形，
∴CE=AC×sin60°=，AE=BE，
∵∠AOB=90°，
∴EOAB，
∴EC-OE≥OC，
∴当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，
故OC的最小值为：OC＝CE﹣EO＝3
故选B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，得出当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短是解题关键．
2、D
【解析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项.
【详解】解：A、是有理数，故选项错误；
B、是有理数，故选项错误；
C、C. 是有理数，故选项错误；
D、是无理数，故选项正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．
3、C
【分析】直接根据题意得出顺水速度和逆水速度，进而可得出答案．
【详解】由题意得：顺水速度为千米/时，逆水速度为千米/时
则往返一次所需时间为
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的实际应用，依据题意，正确得出顺水速度和逆水速度是解题关键．
4、D
【分析】将一个图形一部分沿一条直线对折，能与另一部分完全重合，则这个图形叫轴对称图形，据此判断即可求解．
【详解】解：根据轴对称图形的定义，只有D选项图形是轴对称图形．
故选：D
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形定义是解题关键．
5、C
【分析】首先根据Rt△ABC的勾股定理得出AB的长度，根据AM=AC得出BM的长度，然后根据BN=BC得出BN的长度，从而根据MN=BN－BM得出答案．
【详解】∠ACB=90°，AC=40，CB=9
AB===41
又AM=AC，BN=BC
AM=40，BN=9
BM=AB-AM=41-40=1
MN=BN-BM=9-1=8
故选C
考点：勾股定理
6、D
【分析】根据题意列出算式，然后利用整式混合运算的法则进行化简即可．
【详解】解：长方形的长是2xcm，则宽为(x-4)cm，
由题意得：，
∴该长方形的面积增加了cm2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了整式混合运算的实际应用，解题关键是能够根据题意列出代数式．
7、B
【分析】根据平方差公式的特点：①两项式；②两个数的平方差，对每个选项进行判断即可．
【详解】A．，提公因式进行因式分解，故A选项不符合题意
B．，利用平方差公式进行因式分解，故B选项符合题意
C．=(x-2)，运用完全平方公式进行因式分解，故C选项不符合题意
D．，不能因式分解，故D选项不符合题意
故选：B
【点睛】
本题考查了用平方差公式进行因式分解的知识，解题的关键是掌握平方差公式特点．
8、C
【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵当x=1时，y=2-4=-2≠2，∴图象不经过点（1，2），故本选项错误；
B、点（0，-4）是y轴上的点，故本选项错误；
C、∵k=2＞0，b=-4＜0，
∴图象经过第一、三、四象限，故本选项正确；
D、函数y=-2x的图象平移得到的函数系数不变，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0，b＜0时函数图象经过一、三、四象限是解答此题的关键．
9、A
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】当3cm是腰时，3+3＜7，不能组成三角形，
当7cm是腰时，7，7，3能够组成三角形．
则三角形的周长为17cm．
故选：A．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
10、A
【分析】当直线与y轴相交时，x＝0，故将x＝0代入直线解析式中，求出交点坐标即可．
【详解】把x＝0代入y＝2x﹣3得y＝﹣3，
所以直线y＝2x﹣3与y轴的交点坐标是（0，﹣3）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了直线与y轴的交点坐标问题，掌握直线与y轴的交点坐标的性质以及解法是解题的关键．
11、D
【分析】根据轴对称的性质分别写出点P1的坐标为、点P2的坐标、点P3的坐标、点P4的坐标，从中找出规律，根据规律解答．
【详解】解：由题意得，点P1的坐标为（5，3），
点P2的坐标为（3，5），
点P3的坐标为（0，2），
点P4的坐标为（2，0），
点P5的坐标为（5，3），
2020÷4＝505，
∴P2020的坐标为（2，0），
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标、坐标与图形变化−−对称，正确找出点的坐标的变化规律是解题的关键．
12、C
【分析】本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC．求出EC后根据勾股定理即可求解．
【详解】
解:如图，连接EC．
∵FC垂直平分BE,
∴BC=EC (线段垂直平分线的性质)
∵点E是AD的中点，AE=1, AD=BC,
∴EC=2,
利用勾股定理可得 ．
故选: C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明BC=EC后易求解，本题难度中等．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、5cm或cm
【分析】分两种情况考虑：BC为斜边，BC为直角边，利用勾股定理求出AC的长即可．
【详解】若BC为直角边，
∵AB=3cm，BC=4cm，
∴AC=(cm)，
若BC为斜边，
∵AB=3cm，BC=4cm，
∴AC=(cm)，
综上所述，AC的长为cm或cm．
故答案为：cm或cm．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
14、80°
【分析】根据三角形的外角定理即可求解.
【详解】由三角形的外角性质得，∠C＝∠CBD﹣∠A＝120°﹣40°＝80°．
故答案为80°
【点睛】
此题主要考查三角形的外角定理，解题的关键熟知三角形的外角性质.
15、1.1
【分析】根据众数的定义求解可得．
【详解】因为1.1万步的人数最多为10人，
所以这组数据的众数是1.1万步，
故答案为：1.1．
【点睛】
考查的是众数的定义及其求法，牢记定义是关键．
16、-1且．
【分析】根据分式的值为零的条件为0的条件可得且，则可求出的值．
【详解】解：∵分式，当时，分式的值为零，
∴且，
∴，且
故答案为：-1且．
【点睛】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
17、
【分析】根据勾股定理求出OB，根据实数与数轴的关系解答．
【详解】在Rt△OAB中，OB==，
∴点A表示的实数是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，实数与数轴，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2是解题的关键．
18、＞
【分析】比较二次根式，只要把根号外面的数根据二次根式的性质移到根号里面，比较即可．
【详解】解：=，=，
∵＞，
∴＞，
故答案为：＞.
【点睛】
此题主要考查二次根式的比较，运用二次根式性质，把根号外的数移到根号里面是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）
【分析】（1）利用完全平方公式及平方差公式进行计算即可；
（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式进一步因式分解即可.
【详解】（1）
=
=；
（2）
=
=.
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算与因式分解，熟练掌握相关公式是解题关键.
20、（1）（x﹣3）（x﹣4）；（2）（x﹣1）（3x+1）．
【分析】（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案；
（2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果.
【详解】（1）y2﹣7y+12=（x﹣3）（x﹣4）；
（2）3x2﹣2x﹣1=（x﹣1）（3x+1）.
【点睛】
此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.
21、（1），，；（2）该台阶的高度是，的长度是
【分析】(1) 根据平面直角坐标系的定义建立，然后写出各点的坐标即可;
(2) 利用平移的性质求出横向与纵向的长度，然后求解即可．
【详解】解：以点为坐标原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
（1），，；
（2）点的坐标是，点的坐标是，
每阶台阶的高为，宽也为．
阶台阶的高为．
．
所以，该台阶的高度是，的长度是．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质确，主要利用了平面直角坐标系，从平移的角度考虑求解是解题的关键．
22、 (1)原方程无解；(2)．
【分析】（1）方程两边都乘以x（x+1）得出，求出方程的解，最后进行检验即可；
（2）方程两边都乘以（x+2）（x-2）得出，求出方程的解，最后进行检验即可.
【详解】解： ，
，
去分母得：，
解得：，
经检验是增根，原方程无解；
去分母得：，
整理得；，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
23、（1）见解析；（2）（2，2）．
【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线l，再作∠xOy的平分线OC，它们的交点即为所要求作的点P；
（2）由于P在线段AB的垂轴平分线上，则P点的横只能为2，再利用P点在第一象限的角平分线上，则P点的横纵坐标相等，从而得到点P的坐标．
【详解】（1）如图，点P为所作；
（2）点P的坐标（2，2）．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24、（1）3；（2）见解析．
【分析】（1）根据勾股定理可得AC，进而可得BC与BD，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（2）过点B作BH⊥BG交EF于点H，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG=∠EBH，由已知易得BE∥AC，于是∠E=∠EFC，由于，，则根据余角的性质得∠EFC=∠BCG，于是可得∠E=∠BCG，然后根据ASA可证△BCG≌△BEH，可得BG=BH，CG=EH，从而△BGH是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．
【详解】解：（1）在△ACD中，∵，，，∴，
∵，∴BC=4，BD=3，∴；
（2）过点B作BH⊥BG交EF于点H，如图3，则∠CBG+∠CBH=90°，
∵，∴∠EBH+∠CBH=90°，∴∠CBG=∠EBH，
∵，，∴BE∥AC，∴∠E=∠EFC，
∵，，∴∠EFC+∠FCG=90°，∠BCG+∠FCG=90°，
∴∠EFC=∠BCG，∴∠E=∠BCG，
在△BCG和△BEH中，∵∠CBG=∠EBH，BC=BE，∠BCG=∠E，∴△BCG≌△BEH（ASA），
∴BG=BH，CG=EH，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25、，x=1时值为1．
【分析】先对分式进行化简，要是分式有意义，则需要使在整个运算过程中的分母不为0，取值时避开这些使分母为0的数即可．
【详解】解：原式
要使分式有意义，则0，1，-1
则当时，代入得
【点睛】
本题主要考查的是分式的化简求值以及使分式有意义的条件，掌握这两个知识点并正确的运用是解题的关键．
26、见解析
【分析】利用HL定理得出△ABD≌△BAC即可得出∠ABC=∠BAD，再利用等腰三角形的判定得出即可．
【详解】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠ABC=∠BAD，
∴△OAB是等腰三角形
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，根据已知得出Rt△ABD≌Rt△BAC是解题关键．