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08 排列组合（练习）-【中职专用】高二数学下学期期末（高教版2021拓展模块下）
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这是一份08 排列组合（练习）-【中职专用】高二数学下学期期末（高教版2021拓展模块下），文件包含串讲03排列组合考点串讲原卷版docx、串讲03排列组合考点串讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
串讲03 排列组合一、知识网络二、常考题型三、知识梳理知识点一：计数原理1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2方案中有n种不同的方法。那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。要点诠释：如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。要点诠释：如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。3．两个计数原理的综合应用（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。（2）对于复杂问题，只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理不能解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某步中再分类。知识点二：排列与组合要点诠释：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题。1.排列数、组合数计算（1）排列数公式：右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数。公式主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证；（2）组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，与排列数公式的应用一样，前者多用于数字计算，后者多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证。还应注意组合数公式的逆用，即由写出。要点诠释：在排列数、组合数计算过程要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解。2.排列应用题求排列应用题的主要方法有：（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；（2）特殊元素（或位置）优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；（3）排列、组合混合问题先选后排的方法；（4）相邻问题捆绑处理的方法。即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列； （5）不相邻问题插空处理的方法。即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；（6）分排问题直排处理的方法；（7）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；（8）定序问题除法处理的方法。即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列；（9）正难则反，等价转化的方法。3.组合应用题组合问题常有以下两类题型变化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。4.排列、组合应用题1. 排列、组合问题几大解题方法：①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数.注意：若为非负数解的x个数，即用中等于，有，进而转化为求a的正整数解的个数为 .2.解排列组合的应用题要注意以下几点：（1）仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；（2）深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑；（3）对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决；（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同。在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复。（5）排列组合综合题目，一般是符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列。其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准。知识点三：二项式定理1．二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数,都有：()，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式。式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，2．二项式(a+b)n的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；3.两个常用的二项展开式：①()②4.二项展开式的通项公式二项展开式的通项：（）公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是；②字母b的次数和组合数的上标相同；③a与b的次数之和为n。 要点诠释： （1）二项式(a+b)n的二项展开式的第r+1项和(b+a)n的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的． （2）通项是针对在(a+b)n这个标准形式下而言的，如(a－b)n的二项展开式的通项是（只需把－b看成b代入二项式定理）。5.杨辉三角和二项展开式的推导。在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数。展开式中的二项式系数,当依次取1,2,3,…时,如下表所示: ………………………………………1 1 ……………………………………1 2 1……… …………………………1 3 3 1………………………………1 4 6 4 1 ……………………………1 5 10 10 5 1 …………………………1 6 15 20 15 6 1 …… …… ……上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质。表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。用组合的思想方法理解(a+b)n的展开式中的系数的意义：为了得到(a+b)n展开式中的系数，可以考虑在这n个括号中取r个b，则这种取法种数为，即为的系数． 6.的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质：①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即；②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.③各二项式系数之和为，即；④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即。要点诠释：二项式系数与展开式的系数的区别：二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等。如(a－b)n的二项展开式的通项是，在这里对应项的二项式系数都是，但项的系数是，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．7.展开式中的系数求法（的整数且）如：展开式中含的系数为要点诠释：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。8.二项式定理的应用1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.2.利用赋值法进行求有关系数和。二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。设令x=0，则(2)令x=1，则(3)令x=－1，则(4)(5) 四、常考题型探究考点一 计数原理1.某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（ ） A.5 B.6 C.7 D.8【思路点拨】采用列举法分类讨论。【解析】买软件3个和元件买2个共需要320元，还剩180元可以自由支配。下面考虑这180元的使用：1类：只再买0个软件，剩下的180元可以不买元件或买1个元件或买2个元件，共3种方法；2类：只再买1个软件，剩下的120元可以不买元件或买1个元件，共2种方法；3类：只再买2个软件，剩下的60元不可以买元件，共1种方法；4类：只再买3个软件，剩下的0元不可以买元件，共1种方法；故不同的方法共有2+1+1+3=7种。【总结升华】选择恰当的分类标准，作到不重不漏。本题也可以用线形规划的整数解的方法解决。2．如图，现要用四种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（ ）A． B． C． D．【答案】A将四个区域标记为，如下图所示：第一步涂：种涂法，第二步涂：种涂法，第三步涂：种涂法，第四步涂：种涂法，根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法，故选：A.3．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（ ）A．26 B．60 C．18 D．1080【答案】A【解析】由分类加法计数原理知有（种）不同走法.故选：A4．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只能去1个村，则不同的分配方案共有（ ）A．4种 B．6种 C．8种 D．10种【答案】C【解析】每个大学生都有种选择方法，所以不同的分配方案共有种，故选：C.5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）A ．280种 B．240种 C．180种 D．96种 【答案】B【详解】解：先从除了甲乙剩余的4名志愿者中选1人从事翻译工作，有种，然后再从剩余的名志愿者中选3个人从事另外三项工作，有种，所以一共有种.6．6本不同的书，分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有______种分法【答案】60【分析】根据不平均分组即可求解，【详解】先从6本书中任取1本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有种取法，故共有分法种.7．从集合中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到______个不同的对数值．【答案】53【分析】分取的两个数中有一个是1、取的两个数不含有1两种情况讨论，注意排除对数值相等的情况.【详解】①当取的两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时，或3或4或5或6或7或8或9；②所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个，分别作为底数与真数，有个对数，但是其中，，，．综上可知：共可以得到（个）不同的对数值．故答案为：538.在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?【答案】按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.则共有1+2+3+4+…+7+8=36（个）.9.在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。【答案】条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。 第一类：A在第一垄，B有3种选择； 第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有一种选择； 同理A、B位置互换，共12种。10.（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？（2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种？【解析】（1）完成这件事分三步：第一步确定第一项冠军的得主，可能是这四名运动员中的任一个，则有4种不同结果；第二步确定第二项冠军的得主，也可能是这四名运动员中的任一个，也有4种不同结果；第三步确定第三项冠军得主，也有4种不同结果.则共有4×4×4=64种不同结果.（2）完成这件事情分四步: 第一步让第一名运动员报一项比赛，他可以选择三项比赛中的任一种，则有3种不同的报名方法；第二步让第二名运动填报，也有3种不同方法；第三步，第四步分别让第3，第4名运动员报，结果都一样.则共有3×3×3×3=81种不同结果.11.从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个.（用数字作答）【答案】18，6；一个二次函数对应着a、b、c（a≠0）的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步计数原理，知共有二次函数3×3×2=18个.若二次函数为偶函数，则b=0同上共有3×2=6个.12.从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?【答案】32；和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.考点二 排列与组合13．计算：（1）； （2）； （3）； （4）．【答案】（1）210（2）840（3）210（4）720【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）．14．下列问题是排列问题的是（ ）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【答案】D【解析】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．故选：D15．某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（ ）．A．10 B．30 C．40 D．46【答案】C【解析】女教师最多为1人即女教师为0人或者1人若女教师为0人，则男教师有3人，有种选择；若女教师为1人，则男教师2人，有种选择；故女教师最多为1人的选法种数为种故选：C16．已知，则的值为（ ）A．3 B．3或4 C．4 D．4或5【答案】B【解析】因为，所以或，解得：或.故选：B.17．用数字组成 个没有重复数字并且是的倍数的五位数.【答案】【解析】若末位为，则可组成个满足题意的五位数；若末位为，则可组成个满足题意的五位数；共可组成满足题意的五位数有：个，故答案为：.18.解方程：（1）；（2）.【答案】（1）利用，原方程可化为： 或 解得或故原方程的解为：或。（2）原方程 解得.故原方程的解为：。19．已知有6本不同的书.(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？【答案】(1)15 (2)60【解析】解：（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为.20．计算【解析】原式例５：3个女生和5个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？[解析](1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有种不同的排法，因此共有种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有种不同排法，因此共有种不同的排法.21．3个女生和5个男生排成一排.(1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[解析](1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有种排法，从中减去两端都是女生的排法种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有种不同的排法.考点三 二项式定理22．（1）求的展开式的第四项的系数； （2）求的展开式中的系数及二项式系数【解析】（1）的展开式的第四项是， ∴的展开式的第四项的系数是．（2）∵的展开式的通项是，∴，，∴的系数，的二项式系数．23．求的展开式的第3项的二项式系数和系数；【答案】10，80；24． (x-2y)6的展开式中,x2y4的系数为A．60 B．-60C．240 D．-240【答案】C【解析】(x-2y)6的展开式中第r+1项为,令r=4，可得x2y4的系数为C64(-2)4=240.25．（1）(2x2－)6的展开式中的常数项；（2）求的展开式中的有理项.【解析】（1）Tr＋1＝(2x2)6-r＝(－1)r·26- r·依题意12－3r＝0，解得r＝4故·22＝60为所求的常数项．（2）通项∵为有理项，∴,即是6的倍数,又因为,所以=0,6,12故展开式中的有理项为,,.26．求展开式中的前4项.【答案】答案见解析【解析】解：展开式的第1项为，第2项为，第3项为，第4项为.27．（1）求展开式中的第8项；（2）求展开式中的第7项．【答案】答案见解析【解析】解：（1）展开式中的第8项为（2）展开式中的第7项28．的展开式中常数项为 （用数字作答）．【答案】7【解析】因为，则其展开式的通项公式为，令，则，所以其常数项为.29．设，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）；【答案】答案见解析【解析】解：（1）在中，令，得．（2）令，得 ①，则．（3）令，得 ②，联立①②，得．30．已知，设，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以由组合数的性质得，所以，令，得，即．令，得，所以，故选：D．31．已知（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项。【解析】（1）展开式的通项：，故展开式中二项式系数最大的项为：（2）设第项的系数最大，则，化简得，解得:， ∴，故所求展开式中系数最大的项为：32．求的展开式的第3项的二项式系数和系数；【答案】10，80；33．求(x3－)5的展开式中x5的系数；【答案】（1）Tr＋1＝依题意15－5r＝5，解得r＝2故(－2)2＝40为所求x5的系数34．（1）(2x2－)6的展开式中的常数项；（2）求的展开式中的有理项.【解析】（1）Tr＋1＝(2x2)6-r＝(－1)r·26- r·依题意12－3r＝0，解得r＝4故·22＝60为所求的常数项．（2）通项∵为有理项，∴,即是6的倍数,又因为,所以=0,6,12故展开式中的有理项为,,. 排列与排列数组合与组合数定义1．排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。2．排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。1．组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。2．组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。公式排列数公式组合数公式性质（1）（2）备注
串讲03 排列组合一、知识网络二、常考题型三、知识梳理知识点一：计数原理1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2方案中有n种不同的方法。那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。要点诠释：如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。要点诠释：如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。3．两个计数原理的综合应用（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。（2）对于复杂问题，只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理不能解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某步中再分类。知识点二：排列与组合要点诠释：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题。1.排列数、组合数计算（1）排列数公式：右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数。公式主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证；（2）组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，与排列数公式的应用一样，前者多用于数字计算，后者多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证。还应注意组合数公式的逆用，即由写出。要点诠释：在排列数、组合数计算过程要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解。2.排列应用题求排列应用题的主要方法有：（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；（2）特殊元素（或位置）优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；（3）排列、组合混合问题先选后排的方法；（4）相邻问题捆绑处理的方法。即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列； （5）不相邻问题插空处理的方法。即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；（6）分排问题直排处理的方法；（7）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；（8）定序问题除法处理的方法。即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列；（9）正难则反，等价转化的方法。3.组合应用题组合问题常有以下两类题型变化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。4.排列、组合应用题1. 排列、组合问题几大解题方法：①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数.注意：若为非负数解的x个数，即用中等于，有，进而转化为求a的正整数解的个数为 .2.解排列组合的应用题要注意以下几点：（1）仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；（2）深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑；（3）对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决；（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同。在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复。（5）排列组合综合题目，一般是符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列。其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准。知识点三：二项式定理1．二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数,都有：()，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式。式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，2．二项式(a+b)n的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；3.两个常用的二项展开式：①()②4.二项展开式的通项公式二项展开式的通项：（）公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是；②字母b的次数和组合数的上标相同；③a与b的次数之和为n。 要点诠释： （1）二项式(a+b)n的二项展开式的第r+1项和(b+a)n的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的． （2）通项是针对在(a+b)n这个标准形式下而言的，如(a－b)n的二项展开式的通项是（只需把－b看成b代入二项式定理）。5.杨辉三角和二项展开式的推导。在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数。展开式中的二项式系数,当依次取1,2,3,…时,如下表所示: ………………………………………1 1 ……………………………………1 2 1……… …………………………1 3 3 1………………………………1 4 6 4 1 ……………………………1 5 10 10 5 1 …………………………1 6 15 20 15 6 1 …… …… ……上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质。表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。用组合的思想方法理解(a+b)n的展开式中的系数的意义：为了得到(a+b)n展开式中的系数，可以考虑在这n个括号中取r个b，则这种取法种数为，即为的系数． 6.的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质：①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即；②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.③各二项式系数之和为，即；④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即。要点诠释：二项式系数与展开式的系数的区别：二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等。如(a－b)n的二项展开式的通项是，在这里对应项的二项式系数都是，但项的系数是，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．7.展开式中的系数求法（的整数且）如：展开式中含的系数为要点诠释：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。8.二项式定理的应用1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.2.利用赋值法进行求有关系数和。二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。设令x=0，则(2)令x=1，则(3)令x=－1，则(4)(5) 四、常考题型探究考点一 计数原理1.某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（ ） A.5 B.6 C.7 D.8【思路点拨】采用列举法分类讨论。【解析】买软件3个和元件买2个共需要320元，还剩180元可以自由支配。下面考虑这180元的使用：1类：只再买0个软件，剩下的180元可以不买元件或买1个元件或买2个元件，共3种方法；2类：只再买1个软件，剩下的120元可以不买元件或买1个元件，共2种方法；3类：只再买2个软件，剩下的60元不可以买元件，共1种方法；4类：只再买3个软件，剩下的0元不可以买元件，共1种方法；故不同的方法共有2+1+1+3=7种。【总结升华】选择恰当的分类标准，作到不重不漏。本题也可以用线形规划的整数解的方法解决。2．如图，现要用四种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（ ）A． B． C． D．【答案】A将四个区域标记为，如下图所示：第一步涂：种涂法，第二步涂：种涂法，第三步涂：种涂法，第四步涂：种涂法，根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法，故选：A.3．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（ ）A．26 B．60 C．18 D．1080【答案】A【解析】由分类加法计数原理知有（种）不同走法.故选：A4．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只能去1个村，则不同的分配方案共有（ ）A．4种 B．6种 C．8种 D．10种【答案】C【解析】每个大学生都有种选择方法，所以不同的分配方案共有种，故选：C.5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）A ．280种 B．240种 C．180种 D．96种 【答案】B【详解】解：先从除了甲乙剩余的4名志愿者中选1人从事翻译工作，有种，然后再从剩余的名志愿者中选3个人从事另外三项工作，有种，所以一共有种.6．6本不同的书，分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有______种分法【答案】60【分析】根据不平均分组即可求解，【详解】先从6本书中任取1本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有种取法，故共有分法种.7．从集合中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到______个不同的对数值．【答案】53【分析】分取的两个数中有一个是1、取的两个数不含有1两种情况讨论，注意排除对数值相等的情况.【详解】①当取的两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时，或3或4或5或6或7或8或9；②所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个，分别作为底数与真数，有个对数，但是其中，，，．综上可知：共可以得到（个）不同的对数值．故答案为：538.在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?【答案】按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.则共有1+2+3+4+…+7+8=36（个）.9.在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。【答案】条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。 第一类：A在第一垄，B有3种选择； 第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有一种选择； 同理A、B位置互换，共12种。10.（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？（2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种？【解析】（1）完成这件事分三步：第一步确定第一项冠军的得主，可能是这四名运动员中的任一个，则有4种不同结果；第二步确定第二项冠军的得主，也可能是这四名运动员中的任一个，也有4种不同结果；第三步确定第三项冠军得主，也有4种不同结果.则共有4×4×4=64种不同结果.（2）完成这件事情分四步: 第一步让第一名运动员报一项比赛，他可以选择三项比赛中的任一种，则有3种不同的报名方法；第二步让第二名运动填报，也有3种不同方法；第三步，第四步分别让第3，第4名运动员报，结果都一样.则共有3×3×3×3=81种不同结果.11.从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个.（用数字作答）【答案】18，6；一个二次函数对应着a、b、c（a≠0）的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步计数原理，知共有二次函数3×3×2=18个.若二次函数为偶函数，则b=0同上共有3×2=6个.12.从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?【答案】32；和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.考点二 排列与组合13．计算：（1）； （2）； （3）； （4）．【答案】（1）210（2）840（3）210（4）720【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）．14．下列问题是排列问题的是（ ）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【答案】D【解析】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．故选：D15．某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（ ）．A．10 B．30 C．40 D．46【答案】C【解析】女教师最多为1人即女教师为0人或者1人若女教师为0人，则男教师有3人，有种选择；若女教师为1人，则男教师2人，有种选择；故女教师最多为1人的选法种数为种故选：C16．已知，则的值为（ ）A．3 B．3或4 C．4 D．4或5【答案】B【解析】因为，所以或，解得：或.故选：B.17．用数字组成 个没有重复数字并且是的倍数的五位数.【答案】【解析】若末位为，则可组成个满足题意的五位数；若末位为，则可组成个满足题意的五位数；共可组成满足题意的五位数有：个，故答案为：.18.解方程：（1）；（2）.【答案】（1）利用，原方程可化为： 或 解得或故原方程的解为：或。（2）原方程 解得.故原方程的解为：。19．已知有6本不同的书.(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？【答案】(1)15 (2)60【解析】解：（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为.20．计算【解析】原式例５：3个女生和5个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？[解析](1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有种不同的排法，因此共有种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有种不同排法，因此共有种不同的排法.21．3个女生和5个男生排成一排.(1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[解析](1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有种排法，从中减去两端都是女生的排法种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有种不同的排法.考点三 二项式定理22．（1）求的展开式的第四项的系数； （2）求的展开式中的系数及二项式系数【解析】（1）的展开式的第四项是， ∴的展开式的第四项的系数是．（2）∵的展开式的通项是，∴，，∴的系数，的二项式系数．23．求的展开式的第3项的二项式系数和系数；【答案】10，80；24． (x-2y)6的展开式中,x2y4的系数为A．60 B．-60C．240 D．-240【答案】C【解析】(x-2y)6的展开式中第r+1项为,令r=4，可得x2y4的系数为C64(-2)4=240.25．（1）(2x2－)6的展开式中的常数项；（2）求的展开式中的有理项.【解析】（1）Tr＋1＝(2x2)6-r＝(－1)r·26- r·依题意12－3r＝0，解得r＝4故·22＝60为所求的常数项．（2）通项∵为有理项，∴,即是6的倍数,又因为,所以=0,6,12故展开式中的有理项为,,.26．求展开式中的前4项.【答案】答案见解析【解析】解：展开式的第1项为，第2项为，第3项为，第4项为.27．（1）求展开式中的第8项；（2）求展开式中的第7项．【答案】答案见解析【解析】解：（1）展开式中的第8项为（2）展开式中的第7项28．的展开式中常数项为 （用数字作答）．【答案】7【解析】因为，则其展开式的通项公式为，令，则，所以其常数项为.29．设，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）；【答案】答案见解析【解析】解：（1）在中，令，得．（2）令，得 ①，则．（3）令，得 ②，联立①②，得．30．已知，设，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以由组合数的性质得，所以，令，得，即．令，得，所以，故选：D．31．已知（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项。【解析】（1）展开式的通项：，故展开式中二项式系数最大的项为：（2）设第项的系数最大，则，化简得，解得:， ∴，故所求展开式中系数最大的项为：32．求的展开式的第3项的二项式系数和系数；【答案】10，80；33．求(x3－)5的展开式中x5的系数；【答案】（1）Tr＋1＝依题意15－5r＝5，解得r＝2故(－2)2＝40为所求x5的系数34．（1）(2x2－)6的展开式中的常数项；（2）求的展开式中的有理项.【解析】（1）Tr＋1＝(2x2)6-r＝(－1)r·26- r·依题意12－3r＝0，解得r＝4故·22＝60为所求的常数项．（2）通项∵为有理项，∴,即是6的倍数,又因为,所以=0,6,12故展开式中的有理项为,,. 排列与排列数组合与组合数定义1．排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。2．排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。1．组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。2．组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。公式排列数公式组合数公式性质（1）（2）备注
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