数学拓展模块一（下册）第7章 数列精品单元测试课后复习题

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1．已知数列an的通项公式an=n2+2，则123是该数列的（ ）
A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项
【答案】C
【分析】根据通项公式可直接求出.
【详解】由an=n2+2=123，解得n=11（n=-11舍去），
故选：C．
．
2．数列0,32,83,154,⋯的通项公式可能是（ ）
A．2n-1nB．2n-1-1nC．n+1nD．n-1n
【答案】D
【分析】由具体数列判断通项公式问题，最简单的方法即是赋值代入检验判断即可.
【详解】对于选项A，当n=1时，2n-1n=1≠0，故A项错误；
对于B选项，当n=2时，2n-1-1n=12≠32，故B项错误；
对于C选项，当n=1时，n+1n=2≠0，故C项错误；
对于D项，因数列0,32,83,154,⋯可以写成 1-11,2-12,3-13,4-14,⋯，故其通项公式可以写成an=n-1n，故D项正确.
故选：D.
3．数列1,43,95,167,⋯的第8项是（ ）
A．6415B．3213C．6413D．3215
【答案】A
【分析】
观察，将1看为11，找到分子分母各自的规律即可.
【详解】观察1,43,95,167,⋯可看为11,43,95,167,⋯
分母是2n-1，分子为n2，故第8项为6415，
故选：A.
4．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【答案】B
【分析】根据三内角A、B、C成等差数列，得到2B=A+C，结合A+B+C=180°即得解.
【详解】解：∵三内角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C
又A+B+C=180°，∴3B=180°，∴B=60°
故选：B．
5．在等差数列{an}中a5=6，则数列前9项和为S9=（ ）
A．54B．27C．36D．24
【答案】A
【分析】由等差数列前n项和公式及等差中项的应用，即可求S9.
【详解】S9=9(a1+a9)2=9×2a52=9a5=54.
故选：A
6．在等差数列an中，若a3=5,a7=1，则S6=（ ）
A．60B．57C．30D．27
【答案】D
【分析】根据数列的通项公式及前n项和公式即可求解.
【详解】依题意，
设等差数列an的公差为d，
则a1+2d=5a1+6d=1，∴a1=7d=-1，
∴S6=6×7+6×52×(-1)=27.
故选：D.
7．等比数列2，4，8，…的公比为（ ）
A．14B．12C．2D．4
【答案】C
【分析】利用等比数列的定义求公比即可.
【详解】由已知2，4，8，…为等比数列，
则公比q=42=84=2.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了等比数列的概念.属于容易题.
8．正项等比数列an，a2a6=16，则a4=（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质计算即可
【详解】在正项等比数列an，a2a6=16，
所以a42=a2a6=16，所以a4=4（a4=-4舍去）.
故选：B.
9．若等比数列an的第2项和第6项分别为3和12，则an的第4项为（ ）
A．4B．-6C．6D．±6
【答案】C
【分析】根据等比数列性质和等比数列通项公式求出答案.
【详解】由题意得a4=a2a6=3×12=36，
又a4=a2q2=3q2>0，故a4=6.
故选：C
10．已知全部是正项的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2,S3=14，则其公比q为（ ）
A．3B．﹣1C．1D．2
【答案】D
【分析】设公比为q，根据条件列出方程求解即可．
【详解】设该等比数列的公比为q，
由a1=2,S3=14可得，S3=14=a1(1+q+q2)，
即q2+q-6=0，又等比数列{an}每一项均是正数，于是q>0，
由q2+q-6=0可解得q=2.
故选：D
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．-2和9的等差中项是 .
【答案】72/3.5
【分析】若a和b的等差中项为m，则2m=a+b，求解即可.
【详解】由等差中项的性质知：设-2和9的等差中项为x，
则2x=-2+9，解得：x=72，所以-2和9的等差中项是72.
故答案为：72
12．已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2n2+3，则an=
【答案】5，n=14n-2,n≥2
【分析】利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2)求数列的通项得解.
【详解】当n=1时，a1=S1=2+3=5；
当n≥2时，Sn=2n2+3，Sn-1=2(n-1)2+3，两式相减得an=Sn-Sn-1=4n-2，不适合n=1，
故an=5，n=14n-2,n≥2.
故答案为：5，n=14n-2,n≥2
【点睛】本题主要考查递推公式求通项，考查an和Sn的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
13．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是 .
【答案】55
【解析】观察规律得第10个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，计算即得解.
【详解】由题得第1个三角形数是1，第2个三角形数是1+2，第3个三角形数是1+2+3，⋯⋯，
所以第10个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=102(1+10)=55.
故答案为：55
【点睛】本题主要考查数学归纳和等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布 尺．
【答案】90
【分析】每日织布数看作等差数列，利用等差数列求和公式计算出答案.
【详解】每日织布数可看作等差数列，其中a1=5,a30=1，
故30天共织布S30=30a1+a302=15×6=90尺.
故答案为：90
15．若数列an的通项为an=1nn+1，则其前8项的和S8= .
【答案】89
【分析】利用裂项求和法求得S8.
【详解】an=1n-1n+1，
所以S8=1-12+12-13+⋯+18-19=1-19=89.
故答案为：89
三、解答题（共6小题，共60分）
16．已知数列an的前n项和为Sn=-2n2+3n+1.
(1)求数列an的通项公式；
(2)数列an是否为等差数列？
【答案】(1)an=2,n=1-4n+5,n≥2
(2)数列an不是等差数列
【分析】（1）根据Sn=-2n2+3n+1直接求通项公式即可；
（2）根据等差数列相关概念进行判断即可.
【详解】（1）当n=1时，a1=S1=-2+3+1=2；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2n2+3n+1--2n-12+3n-1+1=-4n+5.
又因为当n=1时，a1=2不满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an=2,n=1-4n+5,n≥2
（2）由（1）知，当n≥2时，an+1-an=-4n+1+5--4n+5=-4，
但a2-a1=-3-2=-5，
所以数列an不是等差数列
17．已知等差数列an满足a1+a2=8，a3+a4=24.
(1)求数列an的通项公式；
(2)求数列an的前n项和为Sn.
【答案】(1)an=4n-2
(2)Sn=2n2
【分析】
（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
（2）根据等差数列的前n项和公式计算即可.
【详解】（1）设公差为d，
由a1+a2=8，a3+a4=24，
得2a1+d=82a1+5d=24，解得a1=2d=4，
所以an=2+4n-1=4n-2；
（2）Sn=2+4n-2n2=2n2.
18．已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和．
【答案】（1）an=2n-1；（2）12(3n-1)
【分析】（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等差数列通项公式即可；
（2）根据等比数列求和公式直接求解.
【详解】（1）设等差数列{an}公差为d，正项等比数列{bn}公比为q，
因为a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5，
所以1+d+1+3d=10,q2=1+4d∴d=2,∵q>0∴q=3
因此an=1+(n-1)×2=2n-1,bn=1×3n-1=3n-1；
（2）数列{bn}的前n项和Sn=1-3n1-3=12(3n-1)
【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
19．已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2=3，S5=25．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=an+2n-1，求数列bn的前n项和Tn．
【答案】(1)2n-1
(2)n2+2n-1
【分析】（1）设等差数列an公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案；
（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解．
【详解】（1）解：设等差数列an公差为d，首项为a1，
由题意，有a1+d=35a1+5×42d=25，解得a1=1d=2，
所以an=1+n-1×2=2n-1；
（2）解：bn=an+2n-1=2n-1+2n-1，所以Tn=n1+2n-12+1-2n1-2=n2+2n-1．
20．已知在等差数列an中，a5=3,a9=-5．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列an的前n项和Sn，则当n为何值时Sn取得最大，并求出此最大值．
【答案】(1)an=13-2n；
(2)n=6时Sn取得最大值为36.
【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；
（2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n.
【详解】（1）设等差数列an的公差为d，则4d=a9-a5=-5-3=-8，
故d=-2，
所以an=a5+(n-5)d=3-2(n-5)=13-2n.
（2）由a1=11，且Sn=n(a1+an)2=n(11+13-2n)2=12n-n2，
所以Sn=-(n-6)2+36，
故n=6时Sn取得最大，最大值为36.
21．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S7=49，a2+a8=18.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若S3、a17、Sm成等比数列，求S3m.
【答案】（1）an=2n﹣1；（2）1089.
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由条件有S7=7a4=49a2+a8=2a5=18，可求出d，进而得出答案.
（2）由（1）知：Sn=n1+2n-12=n2,由S3、a17、Sm成等比数列，可以求出m，则可得出S3m的值.
【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，∵Sn为等差数列{an}的前n项和，S7=49，a2+a8=18，
∴S7=7a4=49a2+a8=2a5=18⇒a4=7a5=9，解得：d=2.
∴an=a4+n-4×d=2n-1
（2）由（1）知：Sn=n1+2n-12=n2.
∵S3,a17,Sm成等比数列，∴SmS3=a172，即9m2=332，解得m=11.
故S3m=S33=332=1089
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和求前n项的和，以及等比数列的性质，属于中档题.