重庆两江新区2023-2024学年数学八年级第一学期期末质量检测试题【含解析】

这是一份重庆两江新区2023-2024学年数学八年级第一学期期末质量检测试题【含解析】，共21页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列条件中能作出唯一三角形的是等内容，欢迎下载使用。

考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，一次函数的图象与轴，轴分别相交于两点，经过两点，已知，则的值分别是（ ）
A．，2B．，C．1，2D．1，
2．下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2=a3B．（a3）2=a5
C．D．
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列条件中能作出唯一三角形的是( )
A．AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm
B．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cm
C．∠A＝∠B＝∠C＝60°
D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
5．如图，在中，边的中垂线与的外角平分线交于点，过点作于点，于点.若，.则的长度是( )
A．1B．2C．3D．4
6．如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=20°，AB+BD=AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED等于( )
A．80°B．60°
C．40°D．30°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，AB＝11，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，则△BCD的周长是（ ）
A．16B．6C．27D．18
8．如图，以两条直线，的交点坐标为解的方程组是（ ）
A．B．
C．D．
9．一列动车从甲地开往乙地， 一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为 (小时)，两车之间的距离为 (千米)，如图中的折线表示与之间的函数关系，下列说法:①动车的速度是千米/小时；②点B的实际意义是两车出发后小时相遇；③甲、乙两地相距千米；④普通列车从乙地到达甲地时间是小时，其中不正确的有( )
A．个B．个C．个D．个
10．一组数据1，4，5，2，8，它们的数据分析正确的是（ ）
A．平均数是5B．中位数是4C．方差是30D．极差是6
11．关于函数y=2x，下列结论正确的是( )
A．图象经过第一、三象限
B．图象经过第二、四象限
C．图象经过第一、二、三象限
D．图象经过第一、二、四象限
12．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是…… （ ）
A．2、3、4B．3、4、5C．6、8、10D．5、12、13
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在直角坐标系内，已知A，B两点的坐标分别为A(－1，1)，B(2，3)，若M为x轴上的一点，且MA＋MB最小，则M的坐标是________．
14．若点M（a，﹣1）与点N（2，b）关于y轴对称，则a+b的值是_____
15．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为_____
16．观察下列式：；
；
；
．
则________．
17．某人一天饮水1679mL，精确到100mL是_____．
18．分式有意义时，x的取值范围是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知在等边三角形的三边上,分别取点.
(1)如图1,若,求证:;
(2)如图2,若于点于于,且,求的长;
(3)如图3,若,求证:为等边三角形.
20．（8分）如图，在△ABC的一边AB上有一点P．
（1）能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短．若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；
（2）若∠ACB=40°，在（1）的条件下，求出∠MPN的度数．
21．（8分）如图，在中，平分交于点，为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求．
22．（10分）某中学举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，高、初中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如下图所示：
根据图示信息，整理分析数据如下表：
（说明：图中虚线部分的间隔距离均相等）
（1）求出表格中的值；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
23．（10分）解下列方程组和不等式组．
(1)方程组：；
(2)不等式组：．
24．（10分）如图在等腰三角形△ABC中，AC=BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE=∠A．
（1）如图①，若BC=BD，求证：CD=DE；
（2）如图②，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD=BD，EH=1，求DE﹣BE的值．
25．（12分）某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）现计划修建一座图书馆，希望图书馆到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定图书馆应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．（保留作图痕迹，不写作法）
26．某中学开展“数学史”知识竞赛活动，八年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）请计算八（1）班、八（2）班两个班选出的5名选手复赛的平均成绩；
（2）请判断哪个班选出的5名选手的复赛成绩比较稳定，并说明理由？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】由图形可知：△OAB是等腰直角三角形，，可得A，B两点坐标，利用待定系数法可求k和b的值．
【详解】由图形可知：△OAB是等腰直角三角形，OA=OB，
∵，，即，
∴OA=OB=2，
∴A点坐标是(2，0)，B点坐标是(0，2)，
∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴将A，B两点坐标代入，
得
解得：，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了图形的分析运用和待定系数法求解析式，找出A，B两点的坐标是解题的关键．
2、D
【详解】解： A、a6÷a2=a6-2=a4≠a3，故本选项错误；
B、（a3）2=a3×2=a6≠a5，故本选项错误；
C、=5，表示25的算术平方根式5，≠±5，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查立方根；算术平方根；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
3、D
【分析】满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，由此求解即可．
【详解】A、∵72＋82≠92，∴此选项不符合题意；
B、∵62＋82≠112，∴此选项不符合题意；
C、∵52＋122≠142，此选项不符合题意；
D、∵42＋32=52，∴此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了勾股数，说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
4、A
【解析】看是否符合所学的全等的公理或定理及三角形三边关系即可．
【详解】A.符合全等三角形的SSS，能作出唯一三角形，故该选项符合题意，
B.AB+AC=BC，不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形；故该选项不符合题意，
C.属于全等三角形判定中的AAA的情况，不能作出唯一三角形；故该选项不符合题意，
D.属于全等三角形判定中的AAA的情况，不能作出唯一三角形；故该选项不符合题意，
故选A.
【点睛】
此题主要考查由已知条件作三角形，应用了全等三角形的判定和三角形三边之间的关系．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.
5、A
【分析】连接AP、BP，如图，根据线段垂直平分线的性质可得AP=BP，根据角平分线的性质可得PE=PD，进一步即可根据HL证明Rt△AEP≌Rt△BDP，从而可得AE=BD，而易得CD=CE，进一步即可求得CE的长．
【详解】解：连接AP、BP，如图，∵PQ是AB的垂直平分线，∴AP=BP，
∵CP平分∠BCE，，，∴PE=PD，
∴Rt△AEP≌Rt△BDP（HL），∴AE=BD，
∵CD=，CE=，PE=PD，∴CD=CE，
设CE=CD=x，∵，，∴，解得：x=1，即CE=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、直角三角形全等的判定和勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．
6、C
【解析】根据折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE，然后根据AC＝AE+EC，AB+BD＝AC，证得DE＝EC，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．
【详解】根据折叠的性质可得：BD＝DE，AB＝AE．
∵AC＝AE+EC，AB+BD＝AC，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C＝20°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝40°．
故选C．
【点睛】
本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，证明DE＝EC是解答本题的关键．
7、A
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，然后求出△BCD的周长=AC+BC，代入数据计算即可得解．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵AB=11，
∴AC=AB=11，
∴△BDC的周长=11+5=16，
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握性质和准确识图是解题的关键．
8、C
【分析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．
【详解】直线l1经过（2，3）、（0，−1），
设直线l1为y=kx+b（k≠0）
代入得，解得
∴l1函数解析式为y＝2x−1；
直线l2经过（2，3）、（0，1），
设直线l2为y=px+q（p≠0）
代入得，解得
∴l2函数解析式为y＝x＋1；
因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
9、B
【分析】由x=0时y=1000可判断③；由运动过程和函数图像关系可判断②；求出普通列车速度，设动车的速度为x千米/小时，根据“动车3小时行驶的路程+普通列车3小时行驶的路程=1000”列方程求解可判断①；根据x=12时的实际意义可判断④.
【详解】解：③由x=0时，y=1000知，甲地和乙地相距1000千米，正确；
②如图，出发后3小时，两车之间的距离为0，可知点B的实际意义是两车出发后3小时相遇，正确；
①普通列车的速度是=千米/小时，
设动车的速度为x千米/小时，
根据题意，得：3x+3×=1000，
解得：x=250，
动车的速度为250千米/小时，错误；
④由图象知x=t时，动车到达乙地，
∴x=12时，普通列车到达甲地，
即普通列车到达终点共需12小时，错误；
故选B.
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键．
10、B
【分析】根据平均数、中位数、方差和极差的概念分别计算可得．
【详解】解：将数据重新排列为1、2、4、5、8，
则这组数据的平均数为=4，中位数为4，
方差为×[（1-4）2+（2-4）2+（4-4）2+（5-4）2+（8-4）2]=6，
极差为8-1=7，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、方差和极差的概念．
11、A
【分析】分别根据正比例函数的图象及性质进行解答即可．
【详解】解：A．函数y=2x中的k=2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项符合题意；
B．函数y=2x中的k=2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意；
C．函数y=2x中的k=2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意；
D．函数y=2x中的k=2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是正比例函数的图象及性质，熟知正比例函数的图象及性质是解答此题的关键．
12、A
【分析】根据勾股定理的逆定理，两边的平方和等于第三边的平方，即可得到答案.
【详解】解：A、，故A不能构成直角三角形；
B、，故B能构成直角三角形；
C、，故C能构成直角三角形；
D、，故D能构成直角三角形；
故选择：A.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟记构成直角三角形的条件：两边的平方和等于第三边的平方.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、 (，0)
【分析】取点A关于x轴的对称点A′（-1，-1），连接A′B，已知两点坐标，可用待定系数法求出直线A′B的解析式，从而确定出占M的坐标.
【详解】解：取点A关于x轴的对称点A′（-1，-1），
连接A′B，与x轴交点即为MA＋MB最小时点M的位置，
∵A′（-1，-1），B（2，3），
设直线A'B的解析式为y=kx+b，
则有：，
解得：，
∴直线A′B的解析式为：，
当y=0时，x=，
即M（，0）.
故答案为：（，0）.
【点睛】
利用轴对称找线段和的最小值，如果所求的点在x轴上，就取x轴的对称点，如果所求的点在y轴上，就取y轴的对称点，求直线解析式，确定直线与坐标轴的交点，即为所求．
14、-1
【解析】试题解析：∵点M（a，﹣1）与点N（2，b）关于y轴对称，
∴a=﹣2，b=﹣1，
∴a+b=（﹣2）+（﹣1）=﹣1．
故答案为﹣1．
15、8
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即可求小正方形的边长．
【详解】如图，
∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2=225,
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2=289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2=PQ2+QR2，
∴QR2=PR2−PQ2=289−225=64，
∴QR=8，
即字母A所代表的正方形的边长为8.
【点睛】
本题考查勾股定理，根据勾股定理求出小正方形的面积是关键.
16、28-1
【分析】根据（28-1）÷（2-1）=27+26+25+24+23+22+2+1，直接得出答案即可．
【详解】解：由题意可得：
∵（28-1）÷（2-1）=27+26+25+24+23+22+2+1，
∴28-1=27+26+25+24+23+22+2+1，
故答案为28-1．
【点睛】
本题考查了整式的除法，有理数的乘方，掌握规律是解题的关键．
17、1.7×103ml
【分析】先用科学记数法表示，再根据精确度求解．
【详解】解：1679mL=1.679×103mL，所以1679mL精确到100mL是1.7×103mL．
故答案为：1.7×103mL．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字，属于基本题型，掌握求解的方法是解题关键．
18、x＞1．
【解析】试题解析：根据题意得： 解得：
故答案为
点睛：二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零.
分式有意义的条件：分母不为零.
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）5；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，，进一步证得，即可证得；
（2）根据等边三角形性质和30°的直角三角形性质，得出线段长之间关系，列出方程即可解答；
（3）延长BD到M，使BM=AD，连接ME，延长EC到N，使CN=BE，连接FN，可得，再证，从而得出，再由三角形外角性质即可证得结论.
【详解】证明：（1）如图1中，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中
，
∴，
（2）如图2中，是等边三角形，
，
，
，
，
∴，
同理可得：，，
∵，即：
∴
解得：
（3）如图3，延长BD到M，使BM=AD，连接ME，延长EC到N，使CN=BE，连接FN，
∵AD=CF，
∴BM=CF，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
∴，，
又∵，，
∴
在和中，
，
，
∴，
又∵，，
∴；
又∵
∴为等边三角形．
【点睛】
此题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要锻炼学生的推理能力，解（3）的关键通过作辅助线构造三角形全等证明角和线段的关系.
20、（1）详见解析.（2）100°.
【分析】（1）如图：作出点P关于AC、BC的对称点D、G，然后连接DG交AC、BC于两点，标注字母M、N；
（2）根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=48°，易求得∠D+∠G=48°，即而求得答案．
【详解】解：（1）①作出点P关于AC、BC的对称点D、G，
②连接DG交AC、BC于两点，
③标注字母M、N；
（2）∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=40°，
∴∠EPF=140°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴∠D+∠G=40°，
由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM=40°，
∴∠MPN=140°-40°=100°．
【点睛】
此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质，注意数形结合思想在解题中的应用．
21、（1）见解析；（2）1．
【分析】（1）根据角平分线的定义与等腰三角形的性质，即可得到结论；
（2）过作于，根据角平分线的性质定理与三角形的面积公式，即可得到答案．
【详解】（1）∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过作于，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定定理与角平分线的性质定理，掌握“双平等腰”模型以及角平分线的性质是解题的关键．
22、（1）a=85，b=80，c=85；（2）初中部成绩较好；（3）初中代表队的方差为70，高中代表队的方差为160，初中代表队选手成绩较为稳定
【分析】（1）直接利用中位数、平均数、众数的定义分别分析求出答案；
（2）利用平均数以及中位数的定义分析得出答案；
（3）利用方差的定义得出答案．
【详解】解：（1）填表：
（2）初中部成绩较好，因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩较好．
（3）∵，
，
∴s12＜s22，因此初中代表队选手成绩较为稳定．
【点睛】
此题主要考查了平均数、众数、方差、中位数的定义和性质，正确把握相关定义是解题关键．
23、（1）；（1）﹣1≤x＜1
【分析】（1）①﹣②×3得出5y＝﹣5，求出y，把y＝﹣1代入①求出x即可；
（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
①﹣②×3得：5y＝﹣5，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入②得：x+3＝﹣4，
解得：x＝﹣7，
所以方程组的解为：；
（1）
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集，﹣1≤x＜1．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组，解题（1）的关键是熟练运用加减消元法解二元一次饭方程组；解题（1）的关键是熟知解一元一次不等式组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”．
24、（1）证明见解析（1）1
【解析】试题分析：（1）先根据条件得出∠ACD=∠BDE，BD=AC，再根据ASA判定△ADC≌△BED，即可得到CD=DE；（1）先根据条件得出∠DCB=∠CDE，进而得到CE=DE，再在DE上取点F，使得FD=BE，进而判定△CDF≌△DBE（SAS），得出CF=DE=CE，再根据CH⊥EF，运用三线合一即可得到FH=HE，最后得出DE﹣BE=DE﹣DF=EF=1HE=1．
试题解析：（1）∵AC=BC，∠CDE=∠A，
∴∠A=∠B=∠CDE，
∴∠ACD=∠BDE，
又∵BC=BD，
∴BD=AC，
在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED（ASA），
∴CD=DE；
（1）∵CD=BD，
∴∠B=∠DCB，
又∵∠CDE=∠B，
∴∠DCB=∠CDE，
∴CE=DE，
如图，在DE上取点F，使得FD=BE，
在△CDF和△DBE中，
，
∴△CDF≌△DBE（SAS），
∴CF=DE=CE，
又∵CH⊥EF，
∴FH=HE，
∴DE﹣BE=DE﹣DF=EF=1HE=1．
25、见详解
【分析】作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线的交点即所求仓库的位置．
【详解】解：如图所示：点P，P′即为所求．
【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图，用到的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，则这条线段的垂直平分线上；到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
26、（1）八（1）班和八（2）班两个班选出的5名选手复赛的平均成绩均为85分；（2）八（1）班的成绩比较稳定，见解析
【分析】（1）根据算术平均数的概念求解可得；
（2）先计算出两个班的方差，再根据方差的意义求解可得．
【详解】（1）=（75+80+85+85+100）=85（分），
=（70+100+100+75+80）=85（分），
所以，八（1）班和八（2）班两个班选出的5名选手复赛的平均成绩均为85分．
（2）八（1）班的成绩比较稳定．
理由如下：
s2八（1）=[（75-85）2+（80-85）2+（85-85）2+（85-85）2+（100-85）2]=70，
s2八（2）=[（70-85）2+（100-85）2+（100-85）2+（75-85）2+（80-85）2]=160，
∵s2八（1）＜s2八（2）
∴八（1）班的成绩比较稳定．
【点睛】
本题考查了平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
85
高中部
85
100
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
85
85
85
高中部
85
80
100