重庆南开（融侨）中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末联考模拟试题【含解析】

这是一份重庆南开（融侨）中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末联考模拟试题【含解析】，共22页。试卷主要包含了点M，下列计算中正确的是，下列计算正确的是，下列关于的叙述错误的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．以下是有关环保的四个标志，从图形的整体看，是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
2．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行D．三角形三个内角和等于180°
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=10°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：1．
A．1B．2C．1D．4
4．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
5．下列计算中正确的是( )
A．÷＝3B．＋＝C．＝±3D．2－＝2
6．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（ ）
A．与的最简公分母是6xB．与最简公分母是3a2b3c
C．与的最简公分母是D．与的最简公分母是m2－n2
7．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为( )
A．B．C．D．
8．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．3D．
9．在平面直角坐标系中，点A(3，1)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(1，3)B．(﹣1，﹣3)C．(﹣3，﹣1)D．(﹣3，1)
10．下列关于的叙述错误的是（ ）
A．是无理数B．
C．数轴上不存在表示的点D．面积为的正方形的边长是
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，函数和的图像相交于点A（m，3），则不等式的解集为____．
12．如图， 中， ，以为边在的外侧作两个等边和，，则的度数为________．
13．某单位定期对员工按照专业能力、工作业绩、考勤情况三方面进行考核（每项满分100分），三者权重之比为，小明经过考核后三项分数分别为90分，86分，83分，则小明的最后得分为_________分．
14．函数，的图象如图所示，当时，的范围是__________．
15．直角三角形的两边长分别为3和5,则第三条边长是________.
16．若＝0，则x＝_____．
17．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于，连接,若且的周长为30，则的长是 __________．
18．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，一个小正方形网格的边长表示50米．A同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校．
（1）以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系：
（2）B同学家的坐标是 ；
（3）在你所建的直角坐标系中，如果C同学家的坐标为（﹣150，100），请你在图中描出表示C同学家的点．
20．（6分）（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．
（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．
（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．
（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
21．（6分）（1） （2）
（3）
22．（8分）甲、乙两位同学5次数学成绩统计如表，他们的5次总成绩相同，小明根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，请同学们完成下列问题．
其中，甲的折线图为虚线、乙的折线图为实线．
甲、乙两人的数学成绩统计表
（1）a＝ ， ；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）S2甲＝260，乙成绩的方差是 ，可看出 的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．从平均数和方差的角度分析， 将被选中．
23．（8分）如图，在△ABC中，AE为∠BAC的角平分线，点D为BC的中点，DE⊥BC交AE于点E，EG⊥AC于点G．
（1）求证： AB+AC=2AG．
（2）若BC=8cm，AG=5cm，求△ABC的周长．
24．（8分）解分式方程：1+=
25．（10分）如图，正方形是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示正方形的面积，并写成一个等式；
（2）运用（1）中的等式，解决以下问题：
①已知，，求的值；
②已知，，求的值.
26．（10分）如图①，已知是等腰三角形，是边上的高，垂足为，是底边上的高，交于点．
（1）若．求证：≌；
（2）在图②, 图③中，是等腰直角三角形，点在线段上(不含点)，，且交于点，，垂足为．
ⅰ）如图②，当点与点重合，试写出与的数量关系；
ⅱ）如图③，当点在线段上(不含点，)时，ⅰ）中的结论成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】根据轴对称图形的定义求解即可得答案．
【详解】A，此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、此图案是轴对称图形，故该选项符合题意；
C、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2、A
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质及判定及三角形的内角和等知识分别判断后即可确定答案．
【详解】A、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
B、两直线平行，同位角相等，正确，是真命题；
C、同位角相等，两直线平行，正确，是真命题；
D、三角形三个内角和等于180°，正确，是真命题；
故选：A．
【点睛】
此题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质及判定及三角形的内角和，难度不大.
3、D
【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线.故①正确.
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=10°，∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=10°，
∴∠1=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°.故②正确.
③∵∠1=∠B=10°，∴AD=BD.∴点D在AB的中垂线上.故③正确.
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=10°，∴CD=AD.
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD.
∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD.
∴S△DAC：S△ABC．故④正确.
综上所述，正确的结论是：①②③④，，共有4个．故选D.
4、A
【分析】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标变为相反数.
【详解】点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为(－1，2)
【点睛】
本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，牢记关于坐标轴对称的点的性质是解题的关键.
5、A
【分析】根据二次根式的除法法则对A进行判断；根据合并同类二次根式对B、D进行判断；二次根式的性质对C进行判断；
【详解】解：A. ÷＝，所以A选项正确；
B.与不是同类二次根式不能合并，所以B选项不正确；
C. ＝3，故C选项不正确；
D. 2－＝，所以D选项不正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握法则是解题的关键．
6、C
【解析】A. 与的最简公分母是6x ，故正确；
B. 与最简公分母是3a2b3c，故正确；
C. 与的最简公分母是 ，故不正确；
D. 与的最简公分母是m2－n2，故正确；
故选C.
7、C
【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1
(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x,
故选C.
【点睛】
此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组
8、D
【分析】先对各选项进行计算，再判断.
【详解】A选项：不能直接相加，故错误；
B选项：，故错误；
C选项：3，故错误；
D选项：，故正确；
故选：D.
【点睛】
考查立方根、平方根和算术平方根的问题，关键是根据立方根、平方根和算术平方根的定义分析．
9、C
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】解：∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点A(3，1)关于原点对称的点的坐标是：(﹣3，﹣1)．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
10、C
【分析】根据无理数的定义、实数比较大小、实数与数轴的关系和正方形的面积公式逐一判断即可．
【详解】解：A．是无理数，故本选项不符合题意；
B． ，故本选项不符合题意；
C．数轴上存在表示的点，故本选项符合题意；
D．面积为的正方形的边长是，故本选项不符合题意．
故选C．
【点睛】
此题考查的是实数的相关性质，掌握无理数的定义、实数比较大小、实数与数轴的关系和正方形的面积公式是解决此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、x＜-1．
【分析】由图象可知，在点A的左侧，函数的图像在的图像的上方，即，所以求出点A的坐标后结合图象即可写出不等式的解集．
【详解】解：∵和的图像相交于点A（m，3），
∴
∴
∴交点坐标为A（-1，3），
由图象可知，在点A的左侧，函数的图像在的图像的上方，
即
∴不等式的解集为x＜-1．
故答案是：x＜-1．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，用图象法解不等式的关键是找到y相等时的分界点，观察分界点左右图象的变化趋势，即可求出不等式的解集，重点要掌握利用数形结合的思想．
12、20°．
【分析】首先利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出各个角的度数，进而利用四边形内角和定理求出2∠ABC的度数，最后再计算出∠BAC的度数即可．
【详解】∵，以为边在的外侧作两个等边和，
∴，，，，
，
，
∴∠BAC=180°-160°=20°．
故答案为：20°．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和四边形内角和定理等知识，根据已知得出是解暑关键．
13、82.2
【分析】将三个方面考核后所得的分数分别乘上它们的权重，再相加，即可得到最后得分．
【详解】解：小明的最后得分=27+43+1．2=82.2（分），
故答案为：82.2．
【点睛】
此题主要考查了加权平均数，关键是掌握加权平均数的计算方法．若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数．
14、
【分析】当时， 的图象在的图象的下方可知．
【详解】解：当时，，，两直线的交点为（2，2），
当时，，，两直线的交点为（-1，1），
由图象可知，当时，x的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是准确看图，通过图象得出x的取值范围．
15、4或
【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
【详解】∵直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则x==4；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则x==，
综上所述，第三边的长为4或，
故答案为4或.
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．注意分类讨论思想的运用.
16、﹣1或2或1
【分析】直接利用分式的值为零的条件得出分子为零进而计算得出答案．
【详解】解：若＝0，
则x2﹣x﹣2＝0或|x|﹣1＝0且x+1≠0，
解得：x＝﹣1或2或1．
故答案为：﹣1或2或1．
【点睛】
本题考查了求解分式方程，绝对值的性质应用，一元二次方程的解法，注意分式方程分母不为0的情况．
17、1
【分析】根据CE=5，AC=12，且△ACE的周长为30，可得AE的长，再根据线段垂直平分线的性质，可得答案．
【详解】解：∵CE=5，AC=12，且△ACE的周长为30，
∴AE=1．
∵AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，
∴BE=AE=1，
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
18、AD的中点
【详解】分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短.
详解：如图，过AD作C点的对称点C′，
根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD
∴△ABP≌△DC′P
∴AP=PD
即P为AD的中点.
故答案为P为AD的中点.
点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、见解析.
【分析】（1）由于A同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校，则可确定A点位置，然后画出直角坐标系；
（2）利用第一象限点的坐标特征写出B点坐标；
（3）根据坐标的意义描出点C．
【详解】（1）如图；
（2）B同学家的坐标是（200，150）；
（3）如图：
故答案为（200，150）．
【点睛】
本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．
20、（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．
【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；
（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE；
（2）如图2，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，
记AD与CE的交点为G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°，②正确，
在OB上取一点F，使OF=OC，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，
∴∠BCF=∠ACO，
∵AB=AC，
∴△BCF≌△ACO（SAS），
∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，
∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，
连接AF，要使OC=OE，则有OC=CE，
∵BD=CE，
∴CF=OF=BD，
∴OF=BF+OD，
∴BF＜CF，
∴∠OBC＞∠BCF，
∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，
∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，
所以，④不一定正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；
（3）如图3，

延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠BAC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
【点睛】
此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．
21、（1）；（2）；（3）6
【分析】（1）将每个二次根式化简后合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的性质按运算顺序计算即可；
（3）根据平方差公式计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是关键．
22、（1）a＝40，＝60；（2）见解析；（3）160，乙，乙；
【分析】（1）由折线统计图直接可得a的值，利用平均数的计算公式计算即可；
（2）根据乙的数据补全折线统计图，并注明图例，
（3）计算乙的方差，比较做出选择．
【详解】解：（1）根据折线统计图得，a＝40；＝（50+40+70+70+70）÷5＝60；
故答案为：40，60；
（2）甲、乙两人考试成绩折线图，如图所示：
（3）S2乙＝[（70﹣60）2+（50﹣60）2+（70﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2]＝160，
∵S2甲＝260，
∴S2乙＜S2甲，
∴乙的成绩稳定，所以乙将被选中．
故答案为：160，乙、乙．
【点睛】
本题考查折线统计图和统计表、平均数和方差，解题的关键是掌握折线统计图和统计表的信息读取、平均数和方差的计算.
23、（1）见解析；（2）18cm
【分析】(1)连接BE、EC,只要证明Rt△BFE≌Rt△CGE，得BF=CG,再证明Rt△AFE≌Rt△AGE得：AF=AG，根据线段和差定义即可解决.
（2由AG=5cm可得AB+AC=10cm即可得出△ABC的周长.
【详解】(1)延长AB至点M，过点E作EF⊥BM于点F
∵AE平分∠BAC
EG⊥AC于点G
∴EG=EF,∠EFB=∠EGC=90°
连接BE，EC
∵点D是BC的中点，DE⊥BC
∴BE=EC
在Rt△BFE与Rt△CGE中

∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL）
∴BF=GC
∵AB+AC=AB+AG+GC
∴AB+AC =AB+BF+AG
=AF+AG
在Rt△AFE与Rt△AGE中

∴Rt△AFE≌Rt△AGE(HL）
∴AF=AG
∴AB+AC=2AG
(2)∵AG=5cm, AB+AC=2AG
∴AB+AC=10cm
又∵BC=8cm
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=8+10=18cm．
【点睛】
本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，需要熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型.
24、x=-
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【点睛】
本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
25、（1）正方形的面积可表示为：或；等式：；（2）①；②103.
【分析】（1）用正方形的面积公式直接求出正方形的面积；利用四个矩形的面积之和求出正方形的面积，即可得到一个等式；
（2）①根据（1）中的等式进行直接求解即可；
②令a=x-y,对等式进行变形后，利用（1）中的等式进行求解.
【详解】（1）正方形ABCD的面积可表示为：或
等式：
（2）①∵，，
由（1）得：
∴
∴
②令a=x-y，则a+z=11，az=9
∴原式可变形为：
【点睛】
本题考查的是完全平方公式的几何意义，能根据（1）中求出的等式对完全平方公式进行变形是关键.
26、（1）见解析；（2）ⅰ）；ⅱ）成立，证明见解析
【分析】（1）如图1，根据同角的余角相等证明，利用ASA证明≌；
（2）①如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明≌，则CP=AF，再证明≌，可得结论；
②结论仍然成立，过点作的平行线交于，且于的延长线相交于点，证明≌，得，再证明≌即可求解．
【详解】证明：（1）∵
∴
∵
∴
在和中
∴≌；
（2）ⅰ）：
证明过程如下：延长、交于点
∵
∴
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴AE=CE，
又
∴≌
∴
∵
∴平分
则
∵
∴
又AD=AD
∴≌（ASA）
∴
∴
∴；
ⅱ）成立，即
证明如下：过点作的平行线交于，且于的延长线相交于点
∴,
∴=
∴是等腰直角三角形，
∴CQ=QB
同理可得≌
∴
∵=
∴BD平分
则
∵
∴=90
又BD=BD
∴≌（ASA）
∴
∴
∴．
【点睛】
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质和判定，运用了类比的思想，作辅助线构建全等三角形是本题的关键，难度适中．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
90
40
70
40
60
乙成绩
70
50
70
a
70