重庆市南岸区重庆南开融侨中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末质量跟踪监视试题【含解析】

这是一份重庆市南岸区重庆南开融侨中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末质量跟踪监视试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了满足下列条件的是直角三角形的是，下列运算中，结果正确的是，点M等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．以下列各组线段为边,能构成直角三角形的是 ( )
A．8cm,9cm,10cmB．cm,cm,cm
C．1cm,2cm,cmD．6cm,7cm,8cm
2．变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（ ）
A．B．C．D．
4．若不等式组的解为，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．满足下列条件的是直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．D．
6．甲、乙、丙、丁四人进行 100 短跑训练，统计近期 10 次测试的平均成绩都是 13.2，10次测试成绩的方差如下表，则这四人中发挥最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=2∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）
10．点M（﹣2，1）关于x轴的对称点N的坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）
11．如图，在中， ，，是的中垂线，是的中垂线，已知的长为，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．如果数据x1，x2，…，xn的方差是3，则另一组数据2x1，2x2，…，2xn的方差是（ ）
A．3B．6C．12D．5
二、填空题（每题4分，共24分）
13．由，得到的条件是：______1．
14．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_______．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=3，点E为边CD上一点，将△ADE沿AE所在直线翻折，得到△AFE，点F恰好是BC的中点，M为AF上一动点，作MN⊥AD于N，则BM+AN的最小值为____．
16．若关于、的二元一次方程组，则的算术平方根为_________．
17．要使分式有意义，则x的取值范围是_______________．
18．在中，已知，点分别是边上的点，且．则______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）解不等式：
（1）不等式
（2）解不等式组：并将，把解集表示在数轴上
20．（8分）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．（8分）已知：如图，AB=DE，AB∥DE，BE=CF，且点B、E、C、F都在一条直线上，求证：AC∥DF．
22．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数yx+4的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O即停止运动．其中A、Q两点关于点P对称，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为秒．如图①．
（1）当t=2秒时，OQ的长度为 ；
（2）设MN、PN分别与直线yx+4交于点C、D，求证：MC=NC；
（3）在运动过程中，设正方形PQMN的对角线交于点E，MP与QD交于点F，如图2，求OF+EN的最小值．
23．（10分）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点在的延长线上，连接，求证：．
（2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点在边的延长线上，连接．请判断：①的度数为_________．②线段之间的数量关系是_________．
（3）问题解决：在（2）中，如果，求线段的长．
24．（10分）以点为顶点作等腰，等腰，其中，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接、．
（1）试判断、的数量关系，并说明理由；
（2）延长交于点试求的度数；
（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（﹣8，4）、B（﹣7，7）、C（﹣2，2）．
（1）在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
26．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作MP∥AD交AC于P，求证：AB+AP=PC．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可．
【详解】A．∵82+92≠102，∴不能构成直角三角形；
B．∵，∴不能构成直角三角形；
C．∵，∴能构成直角三角形；
D．∵62+72≠82，∴不能构成直角三角形．
故选C．
【点睛】
本题考查了用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边满足a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．
2、C
【解析】先根据二次根式有意义有条件得出1－a>0,再由此利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】有意义，
，
，
．
故选C．
【点睛】
考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
3、B
【解析】设小李每小时走x千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设小李每小时走x千米，依题意得：
故选B．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．
4、B
【分析】根据不等式组的解集得到-a≤b，变形即可求解．
【详解】∵不等式组的解为，
∴-a≤b
即
故选B．
【点睛】
此题主要考查不等式组的解集，解题的关键是熟知不等式组的解集确定方法．
5、C
【分析】要判断一个角是不是直角，先要知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【详解】A．若BC=4，AC=5，AB=6，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；
B.若，，，则AC2+AB2≠CB2，故△ABC不是直角三角形；
C．若BC：AC：AB=3：4：5，则BC2+AC2=AB2，故△ABC是直角三角形；
D．若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C＜90°，故△ABC不是直角三角形；
故答案为：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
6、B
【分析】根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定．
【详解】∵，
∴这四人中乙的方差最小，
∴这四人中发挥最稳定的是乙，
故选：B．
【点睛】
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7、C
【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法计算即可．
【详解】A． ，故本选项错误；
B． ，故本选项错误；
C． ，故本选项正确；
D． ，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法是解决此题的关键．
8、B
【分析】根据因式分解的定义逐项判定即可．
【详解】解：A. ，无法因式分解，不符合题意；
B. ，符合题意；
C. ，无法因式分解，不符合题意；
D. ，无法因式分解，不符合题意；
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
9、B
【分析】根据四边形的内角和为360°、平角的定义及翻折的性质，就可求出1∠A=∠1+∠1这一始终保持不变的性质．
【详解】∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，
则1∠A+(180°-∠1)+(180°-∠1)=360°，
∴可得1∠A=∠1+∠1．
故选B
【点睛】
本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点，解决本题的关键是熟记翻折的性质．
10、C
【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【详解】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点M（﹣2，1）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣1），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了两点关于x轴对称，横坐标不变,纵坐标互为相反数，比较简单．
11、B
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得NB＝NA，QA＝QC，然后求出∠ANQ＝30°，∠AQN＝60°，进而得到∠NAQ＝90°，然后根据含30度角的直角三角形的性质设AQ＝x，NQ＝2x，得到AN＝，结合求出x的值，得到AQ、AN的值，进而利用三角形面积公式可得答案.
【详解】解：∵是的中垂线，是的中垂线，
∴NB＝NA，QA＝QC，
∴∠NBA＝∠NAB=15°，∠QAC＝∠QCA＝30°，
∴∠ANQ＝15°＋15°＝30°，∠AQN＝30°＋30°＝60°，
∴∠NAQ＝180°－30°－60°＝90°，
设AQ＝x，则NQ＝2x，
∴AN＝，
∴BC＝NB＋NQ＋QC＝AN＋NQ＋AQ＝3x＋＝，
∴x＝1，
∴AQ＝1，AN＝，
∴阴影部分的面积＝，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质以及三角形面积公式等知识，灵活运用相关性质定理进行推理计算是解题关键.
12、C
【解析】根据题意，数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据2x1，2x2，…，2xn的平均数为2a，再根据方差公式进行计算：即可得到答案．
【详解】根据题意，数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，
则数据2x1，2x2，…，2xn的平均数为2a，
根据方差公式：=3，
则
=
=4×
=4×3
=12，
故选C．
【点睛】本题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】观察不等式两边同时乘以一个数后，不等式的方向没有改变，由此依据不等式的性质进行求解即可．
【详解】∵由，得到，
∴c2>1，
∴c≠1，
故答案为：≠．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于1的整式，不等号方向不变；基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于1的整式，不等号方向改变．
14、120°或20°
【详解】根据等腰三角形的特点，可分两种情况：顶角与底角的度数比是1：4或底角与顶角的度数比是1：4，根据三角形的内角和定理就可求解：
当顶角与底角的度数比是1：4时，则等腰三角形的顶角是180°×=20°；
当底角与顶角的度数比是1：4时，则等腰三角形的顶角是180°×=120°．
即该等腰三角形的顶角为20°或120°．
考点：等腰三角形
15、．
【分析】根据矩形的性质得到∠BAD=∠ABC=90°，BC=AD，由折叠的性质得到AF=AD，∠FAE=∠DAE，求得∠BAF=30°，∠DAF=60°，得到∠BAF=∠FAE，过B作BG⊥AF交AE于G，则点B与点G关于AF对称，过G作GH⊥AB于H交AF于M，则此时，BM+MH的值最小，推出△ABG是等边三角形，得到AG=BG=AB=5，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，BC=AD．
∵将△ADE沿AE所在直线翻折，得到△AFE，
∴AF=AD，∠FAE=∠DAE．
∵点F恰好是BC的中点，
∴BF，
∴∠BAF=30°，
∴∠DAF=60°，
∴∠FAE，
∴∠BAF=∠FAE，
过B作BG⊥AF交AE于G，则点B与点G关于AF对称，
过G作GH⊥AB于H交AF于M，
则此时，BM+MH的值最小．
∵MN⊥AD，
∴四边形AHMN是矩形，
∴AN=HM，
∴BM+MH=BM+AN=HG．
∵AB=AG，∠BAG=60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG=BG=AB=5，
∴，
∴HG，
∴BM+AN的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了翻折变换((折叠问题))，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16、2
【分析】首先利用消元法解二元一次方程组，然后即可得出的算术平方根.
【详解】
①+②，得
代入①，得
∴
∴其算术平方根为2，
故答案为2.
【点睛】
此题主要考查二元一次方程组以及算术平方根的求解，熟练掌握，即可解题.
17、
【解析】根据分式有意义的条件，则：
解得:
故答案为
【点睛】
分式有意义的条件：分母不为零.
18、．
【分析】过B作DE的平行线，交AC于F；由于∠AED=∠CAB=60°，因此△ADE是等边三角形，则∠BDE=120°，联立∠CDB、∠CDE的倍数关系，即可求得∠CDE的度数；然后通过证△EDC≌△FCB，得到∠CDE=∠DCB+∠DCE，联立由三角形的外角性质得到的∠CDE+∠DCE=∠ADE=60°，即可求得∠DCB的度数
【详解】如图，延长到点，使，连接．
易知为等边三角形，则．
又，所以也为等边三角形．
则．，知．
在等边中，由，知，因此，．
【点睛】
此题考查构造全等三角形、作平行线、联立倍数关系、全等三角形和三角形的外角性质，解题关键在于作辅助线
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2），作图见解析
【分析】（1）按照解一元一次不等式的基本步骤求解即可；
（2）先分别求解不等式，再在数轴上画出对应解集，最终写出解集即可
【详解】（1）
（2），由①解得：，由②解得：，即：，
在数轴上表示如图：
∴不等式组的解集为：
【点睛】
本题考查不等式与不等式组的求解，及在数轴上表示解集，准确求解不等式，并注意数轴上表示解集的细节是解题关键
20、 (1)见解析；（2）
【分析】（1）由角平分线定义得出，由证明即可；
（2）由三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，在中，由三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：平分，
，
在和中，，
；
（2），，
，
平分，
，
在中，．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．
21、详见解析
【解析】首先利用平行线的性质∠B=∠DEF，再利用SAS得出△ABC≌△DEF，得出∠ACB=∠F，根据平行线的判定即可得到结论．
【详解】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC，
又∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
22、（1）2；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）解方程得到OA=1，由t=2，于是得到结论；
（2）根据AP=PQ=t，得到OQ=1-2t，根据正方形的性质得到PQ=QM=MN=PN=t，求得M（1-2t，t），N（1-t，t），C（1-t，t），求得CM=（1-t）-（1-2t）=t，CN=（1-t）-（1-t）=t，于是得到结论；
（3）作矩形NEFK，则EN=FK，推出当O，F，K三点共线时，OF+EN=OF+FK的值最小，如图，作OH⊥QN于H，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）在yx+4中，令y=0，得x=1，∴OA=1．
∵t=2，∴AP=PQ=2，
∴OQ=1﹣2﹣2=2．
故答案为：2；
（2）∵AP=PQ=t，∴OQ=1﹣2t．
∵四边形PQMN是正方形，
∴PQ=QM=MN=PN=t，
∴M（1﹣2t，t），N（1﹣t，t），C（1t，t），
∴CM=（1t）﹣（1﹣2t）t，
CN=（1﹣t）﹣（1t）t，
∴CM=CN；
（3）作矩形NEFK，则EN=FK．
∵OF+EN=OF+FK，
∴当O，F，K三点共线时，OF+EN=OF+FK的值最小，如图，
作OH⊥QN于H，
在等腰直角三角形PQN中，∵PQ=t，∴QNt，
∴HN=QN﹣QHt﹣（t﹣3）=3，
∴OF+EN的最小值为：HE+EN=HN=3．
【点睛】
本题考查了一次函数的综合题，正方形的性质，矩形的性质，最短路线问题，正确的作出图形是解题的关键．
23、（1）见解析；（2）①，②；（3）
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC=BC，∠BAC=60°，AD=AE，∠DAE=60°，利用等量代换得∠BAD=∠CAE，则可根据“SAS”判断△ABD≌△ACE；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，根据全等三角形的性质得到∠ACE=∠B=45°，BD=CE，等量代换即可得到结论；
（3）先证明△CDE是直角三角形，再计算BC=2，从而可得CE=3，再运用勾股定理可得DE的长.
【详解】（1）证明：和是等边三角形
，且
，即
在和中
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠DAE，AD=AE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴∠ACE=∠B=45°，BD=CE，
即BC+CD=CE，
故答案为：①；②
（3）由（2）知：
又，
，
在中，，
又，由（2）得
在中，
则线段的长是．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质.
24、（1）BD=CE，理由见解析；（2）90°；（3）成立，理由见解析.
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可证明△ADB≌△AEC，则BD=CE；
（2）由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理可得到∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；
（3）与（1）一样可证明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理得到∠BFC=∠DAB=90°．
【详解】（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，
∵在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；
（2）∵△ADB≌△AEC，∴∠ACE=∠ABD，
而在△CDF中，∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF，
又∵∠CDF=∠BDA，
∴∠BFC=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；
（3）BD=CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：
∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，
∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，
∴∠BFC=∠DAB=90°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质.判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，熟知判定方法并根据题目条件选择合适的方法进行解答．
25、（1）见解析；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理逆定理得出答案．
【详解】解：（1）如图：△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵AB2＝12+32＝10，
BC2＝52+52＝50，
AC2＝22+62＝40，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了作图—轴对称变换，关键是利用轴对称的性质确定组成图形的关键点关于轴的对称点的位置．
26、证明见解析．
【分析】延长BA交MP的延长线于点E，过点B作BF∥AC，交PM的延长线于点F，由AD是∠BAC的平分线，AD∥PM得∠E=∠APE，AP=AE，再证△BMF≌△CMP，得PC=BF，∠F=∠CPM，进而即可得到结论．
【详解】延长BA交MP的延长线于点E，过点B作BF∥AC，交PM的延长线于点F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD∥PM
∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠APE=∠CPM
∴∠E=∠APE
∴AP=AE．
∵M是BC的中点，
∴BM=MC
∵BF∥AC
∴∠ACB=∠CBF，
又∵∠BMF=∠CMP，
∴△BMF≌△CMP（ASA），
∴PC=BF，∠F=∠CPM，
∴∠F=∠E，
∴BE=BF
∴PC=BE=BA+AE=BA+AP．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义以及平行线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及等腰三角形的判定定理，添加合适的辅助线，构造全等三角形和等腰三角形，是解题的关键．
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.20
0.19
0.21
0.22