新高考数学三轮冲刺天津卷押题练习第12~13题（2份打包，原卷版+教师版）

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题型一直线与圆
12．（5分）（2023•天津）过原点的一条直线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，交曲线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】不妨设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由直线与圆相切求解 SKIPIF 1 < 0 值，可得直线方程，联立直线与抛物线方程，求得 SKIPIF 1 < 0 点坐标，再由 SKIPIF 1 < 0 列式求解 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解答】解：如图，
由题意，不妨设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：6．
12．（5分）（2022•天津）若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交所得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 2 ．
【答案】2．
【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据圆中的弦长公式建立方程，最后解方程即可得解．
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线与圆相交所得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：2．
知识点一：直线与圆的方程
常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
知识点二：直线与圆，圆与圆的位置关系
1.求直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN).
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
易错点
1：直线的截距式方程，解题时注意截距相等，截距的绝对值相等时要讨论截距为0的情形，否则易出错．
2：直线的斜率与倾斜角之间的关系、正切函数的单调性，当倾斜角范围包含90度时，斜率范围一般取两边，不包含90度时，一般斜率范围取中间
3：解决直线过定点问题，主要有三种方法：
①化成点斜式方程，即 SKIPIF 1 < 0 恒过点；
②代两个不同的值，转化为求两条直线的交点；
③化成直线系方程，即过直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的交点的直线可设为 SKIPIF 1 < 0 .
4：在圆外一点的切线方程一定会有两条，如果计算出k值只有一个需要考虑斜率不存在的情况。
1．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，此时直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截的弦长 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：根据题意，圆 SKIPIF 1 < 0 ，其圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0 ，其圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
若两圆外切，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解可得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截的弦长 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
2．直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
而圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 为2，
可得 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内，经过点 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 垂直的弦的长度最短，
此时弦长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，
可得圆心到直线的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
当直线的斜率不存在时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
圆心到直线的距离为2，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所求直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线（不过原点）与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，且在 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距相等，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 18 ．
【答案】18．
【解答】解：过点 SKIPIF 1 < 0 的直线（不过原点）在 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距相等，
可设直线为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
而圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线和圆相切，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：18．
5．设圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有两个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，则圆半径 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆上恰有相异两点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
6．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，写出满足“ SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 ”的实数 SKIPIF 1 < 0 的一个值 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 任意一个也对） （写出其中一个即可）
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 任意一个也对）．
【解答】解：设圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 任意一个也对）．
7．已知圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上的圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴相切，且 SKIPIF 1 < 0 截 SKIPIF 1 < 0 轴所得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：因为圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以设圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴相切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆的标准方程可设为： SKIPIF 1 < 0 ，因为圆 SKIPIF 1 < 0 截 SKIPIF 1 < 0 轴所得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
且有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
8．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，当直线 SKIPIF 1 < 0 被圆： SKIPIF 1 < 0 截得弦长取得最小值时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：由直线 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
由圆 SKIPIF 1 < 0 得圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
9．圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共弦的长为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的方程相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
由圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 为2，
且圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
则公共弦长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
10．若直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得线段的长为6，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为 24 ．
【答案】24．
【解答】解：圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 被被圆 SKIPIF 1 < 0 截得线段的长为6，
根据勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：24．
11．若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若弦长 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：由圆 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
设圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 弦长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1，符合题意，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述：直 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
12． SKIPIF 1 < 0 点是圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，则 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆心 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直时，满足圆 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大，
且最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
13．直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：由题知圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
14．过三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的圆交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：依题意作图如下：
显然 SKIPIF 1 < 0 轴，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1，
直线 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
15．经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即所求圆的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
半径为 SKIPIF 1 < 0 ．
则所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
题型二 概率问题
13．（5分）（2023•天津）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 SKIPIF 1 < 0 ．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 SKIPIF 1 < 0 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可求解；根据古典概型概率公式即可求解．
【解答】解：设盒子中共有球 SKIPIF 1 < 0 个，
则甲盒子中有黑球 SKIPIF 1 < 0 个，白球 SKIPIF 1 < 0 个，
乙盒子中有黑球 SKIPIF 1 < 0 个，白球 SKIPIF 1 < 0 个，
丙盒子中有黑球 SKIPIF 1 < 0 个，白球 SKIPIF 1 < 0 个，
从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 SKIPIF 1 < 0 ；
将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
13．（5分）（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到 SKIPIF 1 < 0 的概率为 SKIPIF 1 < 0 ；已知第一次抽到的是 SKIPIF 1 < 0 ，则第二次抽取 SKIPIF 1 < 0 的概率为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到 SKIPIF 1 < 0 的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到 SKIPIF 1 < 0 的条件下，第二次抽到 SKIPIF 1 < 0 的概率．
【解答】解：由题意，设第一次抽到 SKIPIF 1 < 0 的事件为 SKIPIF 1 < 0 ，第二次抽到 SKIPIF 1 < 0 的事件为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （B） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
2．P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．
3．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．
思维升华 求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
(2)样本点法：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA).
(3) 缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
1．已知某地区烟民的肺癌发病率为 SKIPIF 1 < 0 ，先用低剂量药物 SKIPIF 1 < 0 进行肺癌 SKIPIF 1 < 0 查，检查结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病．医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为 SKIPIF 1 < 0 ，即患有肺癌的人其化验结果 SKIPIF 1 < 0 呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果 SKIPIF 1 < 0 呈阴性．则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为 0.0198 ；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为 ．
【答案】0.0198； SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：某地区烟民的肺癌发病率为 SKIPIF 1 < 0 ，没有患肺癌的人其化验结果 SKIPIF 1 < 0 呈阴性．
则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为 SKIPIF 1 < 0 ；
设事件 SKIPIF 1 < 0 表示某地区烟民患肺癌，则 SKIPIF 1 < 0 （A） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设事件 SKIPIF 1 < 0 表示检查结果为阳性， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 某烟民的检验结果为阳性的概率为：
SKIPIF 1 < 0 （B） SKIPIF 1 < 0 （A） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 现某烟民的检验结果为阳性，他患肺癌的概率为：
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：0.0198； SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，第二次抽到3号球的概率为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：在第一次抽到2号球的条件下，
则2号盒子内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球，
故第二次抽到1号球的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
在第一次抽到2号球的条件下，
则2号盒子内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球，
在第一次抽到1号球的条件下，
则1号盒子内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球，
在第一次抽到3号球的条件下，
则3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，一个3号球，
故第二次抽到3号球的概率为： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
3．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试．已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数 SKIPIF 1 < 0 的数学期望为 SKIPIF 1 < 0 ；党员甲能通过初试的概率为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，1，2，3．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 的分布列为：
SKIPIF 1 < 0 期望 SKIPIF 1 < 0 ．
党员甲能通过初试的概率为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
4．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功．已知甲选手每次能举起该重量的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，且每次试举相互独立，互不影响．设甲试举的次数为随机变量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的数学期望 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，2，3，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
若甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
5．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占 SKIPIF 1 < 0 ，乙厂产品占 SKIPIF 1 < 0 ，甲厂产品的合格率为 SKIPIF 1 < 0 ，乙厂产品的合格率为 SKIPIF 1 < 0 ，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为 0.255 ；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为 ．
【答案】0.255；0.83．
【解答】解：在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为： SKIPIF 1 < 0 ，
在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：0.255；0.83．
6．设某学校有甲、乙两个校区和 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为0.7和0.3；在某次调查中发现住在甲校区的学生在 SKIPIF 1 < 0 食堂吃饭的概率为0.7，而往在乙校区的学生在 SKIPIF 1 < 0 食堂吃饭的概率为0.5，则任意调查一位同学是在 SKIPIF 1 < 0 食堂吃饭的概率为 SKIPIF 1 < 0 ．如果该同学在 SKIPIF 1 < 0 食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为 SKIPIF 1 < 0 （结果请用分数表示，如“ SKIPIF 1 < 0 ” SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：记 SKIPIF 1 < 0 为事件“该同学住在甲校区”， SKIPIF 1 < 0 为事件“该同学在 SKIPIF 1 < 0 食堂吃饭”，
则 SKIPIF 1 < 0 （A） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 （B） SKIPIF 1 < 0 （A） SKIPIF 1 < 0 ，
如果该同学在 SKIPIF 1 < 0 食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
7．下列说法中正确的有 ②③ （填正确说法的序号）．
①回归直线 SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，且至少过一个样本点；
②若样本数据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方差为4，则数据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的标准差为4；
③已知随机变量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
④若线性相关系数 SKIPIF 1 < 0 越接近1，则两个变量的线性相关性越弱；
⑤ SKIPIF 1 < 0 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当 SKIPIF 1 < 0 的值很小时可以推断两个变量不相关．
【答案】②③．
【解答】解：因为回归直线可以不过样本点，所以①错误；
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以数据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方差为16，故标准差为4，因此②正确；
根据正态分布的概念， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，因此③正确；
根据相关系数的概念，若线性相关系数 SKIPIF 1 < 0 越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故④错误；
SKIPIF 1 < 0 的值很小时只能说明两个变量的相关性不强，故⑤错误．
故答案为：②③．
8．某射击小组共有10名射手，其中一级射手2人，二级射手3人，三级射手5人，现选出2人参赛，已知至少有一人是一级射手，则另一人是三级射手的概率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 若一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ；0.64．
【解答】解：根据题意，某射击小组共有10名射手，其中一级射手2人，二级射手3人，三级射手5人，
现选出2人参赛，若至少有一人是一级射手，有 SKIPIF 1 < 0 种情况，
当另一人是三级射手的选法有 SKIPIF 1 < 0 种，
则已知至少有一人是一级射手，则另一人是三级射手的概率 SKIPIF 1 < 0 ，
若一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，
则任选一名射手能够获胜的概率 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；0.64．
9．盒子里装有大小相同的4个白球和3个黑球．甲先从盒中不放回地取2个球，之后乙再从盒中取1个球，则甲所取的2个球为同色球的概率为 SKIPIF 1 < 0 ；记事件 SKIPIF 1 < 0 为“甲所取的2个球为同色球”，事件 SKIPIF 1 < 0 为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件 SKIPIF 1 < 0 发生的条件下，事件 SKIPIF 1 < 0 发生的概率为 ．
【解答】解：（1）设事件 SKIPIF 1 < 0 为“甲所取的2个球为同色球”，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球若从中任取3球，则恰有一个白球的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件 SKIPIF 1 < 0 ，“第二次取到红球”为事件 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：根据题意，从4个红球和2个白球中任取3球，有 SKIPIF 1 < 0 种取法，
其中恰有1个白球的取法有 SKIPIF 1 < 0 种，
其恰有一个白球的概率 SKIPIF 1 < 0 ；
事件 SKIPIF 1 < 0 ，即第一次取到红球后，有3个红球和2个白球，则 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
考点
2年考题
考情分析
直线与圆
2023年天津卷第12题
2022年天津卷第12题
解析几何中直线和圆在高考题目中也是必考考点，主要考察直线与圆的基本方程，点到直线的距离公式，圆中的弦长公式，圆的切线方程，知识点较多，难度较为简单，也考察学生的做图能力。23年高考首次将抛物线知识与直线和圆结合，因此对于24年高考，也可以预测这道题目也会结合其他解析几何知识进行考察。
概率问题
2023年天津卷第13题
2022年天津卷第13题
近两年高考对于概率的考察侧重于全概率以及条件概率的考察，需要考生掌握全概率以及条件概率公式，难度较为简单。同时考生对于离散型随机变量及其分布列，期望的计算也应了解，二项分布，超几何分布，以及正态分布的知识也应了解。
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0