新高考数学三轮冲刺天津卷押题练习第18题（2份打包，原卷版+教师版）

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题型一椭圆
18．（15分）（2023•天津）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，若△ SKIPIF 1 < 0 的面积是△ SKIPIF 1 < 0 面积的二倍，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【分析】（Ⅰ）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，求解 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的值，再由隐含条件求解 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由题意可知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，分别求出△ SKIPIF 1 < 0 的面积与△ SKIPIF 1 < 0 面积，再由已知列式求解 SKIPIF 1 < 0 ，则直线方程可求．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
则椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）由题意可知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
△ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
同理求得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
19．（15分）（2022•天津）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 、右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆有唯一公共点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于 SKIPIF 1 < 0 异于 SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求椭圆的标准方程．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 建立 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的等式，再转化为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的等式，从而得离心率 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）先由（1）将椭圆方程转化为 SKIPIF 1 < 0 ，再设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，联立椭圆方程求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再由△ SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 建立方程组，再解方程组即可得解．
【解答】解：（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知椭圆为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 可得：
SKIPIF 1 < 0 ，又直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆只有一个公共点，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
1．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])，k为直线斜率且k≠0.
2.常用结论
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
(1)通径的长度为eq \f(2b2,a).
(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)
(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则 SKIPIF 1 < 0 .
(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq \f(b2,a2).
(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2).
(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1.
3.做题技巧
1若直线经过x轴上一点 SKIPIF 1 < 0 时可以考虑解设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 。
2如果直线不明确经过椭圆内一点时，需要考虑计算△。
3直线与椭圆相切时△=0,此外切点的横坐标 SKIPIF 1 < 0
1．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率等于 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个顶点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆的左右顶点．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）动点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上异于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的两点，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明过程见详解，定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，由椭圆的离心率的值和它的一个顶点，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，即求出椭圆的方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，与椭圆的方程联立，可得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，同理可得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，可证得直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点的坐标．
【解答】（1）解： SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，且不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程，
同理： SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 也过点 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 重合，抛物线的准线被 SKIPIF 1 < 0 截得的线段长为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，试问：在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在一个定点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为定值？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）存在， SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（Ⅰ）根据抛物线的焦点坐标公式、准线方程，结合椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的关系进行求解即可；
（Ⅱ）先讨论直线斜率存在的情况，设直线方程，联立之后写出韦达定理，代入数量积公式表示 SKIPIF 1 < 0 ，化简计算之后得分子分母的比值关系，求解出 SKIPIF 1 < 0 的横坐标，再将点 SKIPIF 1 < 0 代入判断直线斜率不存在的情况是否成立．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 重合，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为抛物线的准线被 SKIPIF 1 < 0 截得的线段长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）假设存在符合条件的点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
①当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因此 SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意的 SKIPIF 1 < 0 值，上式为定值，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时， SKIPIF 1 < 0 为定值．
②当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0时， SKIPIF 1 < 0 ，
综合①②知，符合条件的点 SKIPIF 1 < 0 存在，其坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，焦距是短半轴长的 SKIPIF 1 < 0 倍．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的三个不同点，线段 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 异于坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ．且总有 SKIPIF 1 < 0 的面积与 SKIPIF 1 < 0 的面积相等，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）4．
【分析】（Ⅰ）根据题意列方程即可求解；
（Ⅱ）因为 SKIPIF 1 < 0 的面积与 SKIPIF 1 < 0 的面积相等，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 与椭圆方程，由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，进一步可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解（Ⅰ）：设椭圆的半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆的方程 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）因为 SKIPIF 1 < 0 的面积与 SKIPIF 1 < 0 的面积相等，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
由题意直线 SKIPIF 1 < 0 斜率 SKIPIF 1 < 0 存在且不为0，并且纵截距不为0，
设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
又直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
4．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为点 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）设不过原点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）证明见解答
【分析】（Ⅰ）根据已知可得关于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程组，求解即可；
（Ⅱ）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可得 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，与椭圆方程联立，可得点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，分别计算 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得证．
【解答】（Ⅰ）解：依题意， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）证明：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
△ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）若动点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，过 SKIPIF 1 < 0 作直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点，再过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ．证明：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】（Ⅰ）点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，将其代入椭圆方程，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，解方程组得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时设斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，得到直线 SKIPIF 1 < 0 中点，根据点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标解得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率及其含参数 SKIPIF 1 < 0 的方程，分析得直线是否恒过定点，注意还要讨论直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在的情况．
【解答】（Ⅰ）解： SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
②当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴，也过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同的离心率，椭圆 SKIPIF 1 < 0 焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上且经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，经过原点的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点分别为点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 取值范围．
【分析】（1）由题意，根据椭圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同的离心率，得到椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率，设出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，将点 SKIPIF 1 < 0 代入方程中，结合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的关系，进而可得椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在第一象限和 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上，根据椭圆方程得到 SKIPIF 1 < 0 ，设出直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的方程，将其与椭圆方程联立，得到 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的表达式，进而可得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，结合 SKIPIF 1 < 0 再进行求解即可．
【解答】解：（1）易知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同的离心率，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，①
不妨设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，②
又 SKIPIF 1 < 0 ，③
联立①②③，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在第一象限和 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为点在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
易知直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0，
不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
同理得 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
同理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上、下顶点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（Ⅱ）过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间），直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（Ⅰ）由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，进而求出 SKIPIF 1 < 0 的值，可得椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，与椭圆的方程联立，可得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，由题意求出点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，由 SKIPIF 1 < 0 的比值，可得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又因为定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，且直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点），证明：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过一定点．
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）证明过程见解析．
【分析】（Ⅰ）根据题意列出关于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程组，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）由题意设 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆方程，利用韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 变化时，上式恒成立，列出关于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程组，求出 SKIPIF 1 < 0 得值即可得到直线 SKIPIF 1 < 0 过定点坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意设 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
△ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 变化时，上式恒成立，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到椭圆右焦点距离等于焦距．
（1）求椭圆方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）椭圆的右焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由已知及两点间的距离公式可求出 SKIPIF 1 < 0 ，由离心率可求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的关系求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得椭圆方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，求出点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，由三角形面积公式及已知条件即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解答】解：（1）椭圆的右焦点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 到椭圆右焦点距离等于焦距，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又离心率 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，△ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
线段 SKIPIF 1 < 0 的中垂线方程为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
10．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 一点（不与顶点重合），直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，△ SKIPIF 1 < 0 的面积是△ SKIPIF 1 < 0 面积的 SKIPIF 1 < 0 倍，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率．
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（Ⅰ）由题意，根据题目所给信息以及 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的关系，列出等式再进行求解即可；
（Ⅱ）设出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式再进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）易得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0，
不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
因为△ SKIPIF 1 < 0 的面积是△ SKIPIF 1 < 0 面积的 SKIPIF 1 < 0 倍，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同号，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
11．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，其左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是坐标平面内一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求弦 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线在 SKIPIF 1 < 0 轴上截距的最大值．
【分析】（1）根据离心率公式及，两点之间的距离公式和向量的坐标运算，即可求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值，求得椭圆方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，当直线的斜率存在时，利用直线的点斜式方程，求得 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线方程，令 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式即可求得弦 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线在 SKIPIF 1 < 0 轴上截距的最大值．
【解答】解：（1）由椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然△ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 为0时， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线为 SKIPIF 1 < 0 轴，横截距为0，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 垂直平分线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，弦 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线在 SKIPIF 1 < 0 轴上的纵截距的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
12．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右顶点和坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一动点， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，记 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
①求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
②求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ．
（2）① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
②定值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案．
（2）①设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆的方程，结合韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，利用换元法，结合基本不等式，即可得出答案．
②由中点坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 的坐标， SKIPIF 1 < 0 点的坐标，计算 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得答案．
【解答】解：（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）①设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以△ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
②证明： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为定值．
13．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为左顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限）．且 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
SKIPIF 1 < 0 若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求证：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过右焦点 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 证明见详解．
【分析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简即可求得椭圆离心率；
（2） SKIPIF 1 < 0 由（1）表示出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，设出椭圆方程和直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标，联立方程组，结合韦达定理表示出 SKIPIF 1 < 0 的面积，由基本不等式求出面积的最大值，再结合题设条件即可求出椭圆方程； SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 写出点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标，表示出直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程，结合直线 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标，求出向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，再求其数量积为0，从而证明 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明结论．
【解答】解：（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率显然不为0，
设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知△ SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 证明：由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过右焦点．
14．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且△ SKIPIF 1 < 0 的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，若过 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（Ⅰ）由已知可求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而可求椭圆方程；
（Ⅱ）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求得点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，利用已知可求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相切，切点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限），直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）设出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，由原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 ，列方程解出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立，令△ SKIPIF 1 < 0 ，解出 SKIPIF 1 < 0 和切点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；由已知，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标；由于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积相等，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 列方程，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【解答】解：（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相切，所以△ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，且切点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积相等，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【分析】（1）由离心率及过的点的坐标和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的关系求出椭圆的标准方程；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，与椭圆联立得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，由题意得 SKIPIF 1 < 0 点的坐标，再由题意得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，所以表示出面积，再由没觉得值得到直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【解答】解：（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得左焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立与椭圆的方程整理得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆的方程整理得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，即直线 SKIPIF 1 < 0 过原点，
SKIPIF 1 < 0 ，由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 ．
17．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左，右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的两点， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为2．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 求证：直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点．
SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 证明见解析； SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据题意可得出关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2） SKIPIF 1 < 0 分析可知直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程的方程与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程联立，列出韦达定理，利用 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出直线 SKIPIF 1 < 0 所过定点的坐标；
SKIPIF 1 < 0 写出 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解答】解：（1）当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 短轴顶点时， SKIPIF 1 < 0 的面积取最大值，
且最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 证明：设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为零，则点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，则 SKIPIF 1 < 0 ，不合乎题意；
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由于直线 SKIPIF 1 < 0 不过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
△ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
因此， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
18．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，椭圆内一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）椭圆上一点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求椭圆的标准方程．
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（Ⅰ）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，进而可得 SKIPIF 1 < 0 点坐标，则 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得答案．
（Ⅱ）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，写出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立椭圆的方程，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 点的坐标，由对称性可得 SKIPIF 1 < 0 点的坐标，写出 SKIPIF 1 < 0 直线的方程，进而解得直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点的坐标，写出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，计算点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）因为，所以为的中点，所以，，
因为，解得，
因为，所以，
所以离心率．
（Ⅱ）因为，所以，
所以直线的方程为，
联立，，解得，，
因为在第一象限，所以，，则，，
因为，关于原点对称，所以，，
因为，所以，
所以直线的方程为，
联立，解得，，
所以，
直线的方程为，即，
所以点到直线的距离为，
因为，所以，解得，
所以椭圆的方程为．
19．在平面直角坐标系中，椭圆的上，下焦点分别为，，椭圆上的任意一点到下焦点的最大距离为3，最小距离为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆相交于点，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，且，求直线的方程．
【答案】（1）．
（2）或．
【分析】（1）根据题意可得，解得，，，进而可得答案．
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，，联立椭圆的方程，解得，，进而可得点的坐标，由，则为的垂直平分线与的交点，进而可得点坐标，由于，可得直线的方程，进而可得点坐标，由，解得，即可得出答案．
【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为，长半轴为，
由已知可得，解得，，，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，，
联立，得，
所以，，
所以，，
因为，则为的垂直平分线与的交点，
联立，解得，
所以，，
因为，
所以直线的方程为，
所以直线与轴的交点，，
又因为，
所以，，，，
因为，
所以，
解得，
所以，
所以直线的方程为或．
20．已知椭圆右焦点为，已知椭圆短轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于、两点，线段垂直平分线与直线及轴和轴相交于点、、，直线与直线相交于点，记三角形与三角形的面积分别为，，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由椭圆短轴长为4，可得，结合和，可求出，，即可求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得右焦点，再由线段的垂直平分线与，轴都相交，得，联立方程组得，设出，，，，由韦达定理得，，由中点坐标公式可得，再由两直线互相垂直可得直线的方程，即可求得，，同理可得，由对称性可知，，结合三角形的面积公式即可求出结果．
【解答】解：（1）由题意可得，即，又，且，
解得：，，
椭圆的方程为．
（2）由（1）知椭圆的方程为，右焦点，
由直线，且线段的垂直平分线与，轴都相交，，
联立，消去并化简得：，
此时需满足△，
设，，，，
则，，
，
线段的垂直平分线的方程为，
令，解得，则有，
令，解得，则有，
，关于点对称，，
直线的方程为，即，
令，解得，则有，
，关于对称，，
．
考点
2年考题
考情分析
解析几何之椭圆大题
2023年天津卷第18题
2022年天津卷第19题
近两年高考对于椭圆的考察整体难度中等，利用题干给的信息进行分析，得到需要的方程求解，分析难度整体不大，计算量较大。圆锥曲线椭圆大题的难度多来自联立方程之后的计算，往往需要考生有比较扎实的计算功底。