第一章　§1.2　常用逻辑用语-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

高考数学一轮复习策略 1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。第一章§1.2　常用逻辑用语1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.课标要求内容索引第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.充分条件、必要条件与充要条件的概念充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“　　”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“　　”表示.∀∃3.全称量词命题和存在量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)1.充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；(4)若p是q的充要条件，则A＝B.2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.3.命题p与p的否定的真假性相反.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　　)(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.(　　)(4)命题“∃x∈R， ”是真命题.(　　)×√√√2.(必修第一册P30例4(1)改编)(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是A.p是真命题 B.綈p：∀x∈R，x＋2>0C.綈p是真命题 D.綈p：∃x∈R，x＋2>0当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为綈p：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；綈p是真命题，故C正确.√√3.(必修第一册P22T2(5)改编)设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√4.已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为__________.(－∞，3)由题意知，x∈A⇒x∈B，x∈B⇏x∈A，即AB，所以a<3.返回第二部分探究核心题型例1　(1)(2023·葫芦岛模拟)已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向向量，则m∥n是l⊥α的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件题型一　充分、必要条件的判定√当m∥n时，l⊥α，当l⊥α时，m∥n，综上所述，m∥n是l⊥α的充要条件.(2)在等比数列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√当a1>0，且q>1时，有an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，所以an＋1>an(n∈N*)，即{an}为递增数列；当{an}为递增数列时，即对一切n∈N*，有an＋1>an恒成立，所以an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，但a1<0且00，且q>1.则“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.充分、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断.(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.跟踪训练1　(1)(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“φ＝ ”是“f(x)是奇函数”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√f(x)是奇函数等价于cos(－2x＋φ)＝－cos(2x＋φ)，即cos(－2x＋φ)＝cos(π－2x－φ)，故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z，(2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件.也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件.例2　在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题.问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}.(1)当a＝2时，求A∩B；题型二　充分、必要条件的应用由(x＋1)(x－3)<0，解得－10，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则有AB，所以正实数m的取值范围是m≥4.选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则有BA，于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，解得01，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5”√题型三　全称量词与存在量词√√对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确；对于B，当x＝1时，e1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确.(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：______________________.至少有一个实数是无理数命题点2　含量词的命题的真假判断例4　(多选)下列命题中的真命题是A.∀x∈R,2x－1>0B.∀x∈N*，(x－1)2>0C.∃x∈R，lg x<1D.∃x∈R，tan x＝2√√√指数函数的值域为(0，＋∞)，所以∀x∈R,2x－1>0，故A正确；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以∀x∈N*，(x－1)2>0是假命题，故B错误；当x＝1时，lg x＝0<1，所以∃x∈R，lg x<1，故C正确；函数y＝tan x的值域为R，所以∃x∈R，tan x＝2，故D正确.命题点3　含量词的命题的应用例5　(1)若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是A.(－∞，0] B.(－∞，1]C.(－∞，2] D.(－∞，5]√由“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知，不等式m≤x2＋1，对∀x∈[－1,2]恒成立，因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]，易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1.即实数m的取值范围是(－∞，1].(2)(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是A.－1 B.0 C.1 D.2√√√若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题，则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1，所以当命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1，符合条件的为A，B，C选项.含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.跟踪训练3　(1)下列命题为真命题的是A.任意两个等腰三角形都相似B.所有的梯形都是等腰梯形C.∀x∈R，x＋|x|≥0D.∃x∈R，x2－x＋1＝0√对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误；对于C，因为∀x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确；(2)(多选)已知命题p：∀x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q：∃x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是A.命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－20”，故B错误；若命题p为真命题，则当x∈[0,1]时，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；返回课时精练一、单项选择题1.命题“∃x>0，sin x－x≤0”的否定为A.∀x≤0，sin x－x>0 B.∃x>0，sin x－x≤0C.∀x>0，sin x－x>0 D.∃x≤0，sin x－x>0√由题意知命题“∃x>0，sin x－x≤0”为存在量词命题，其否定为全称量词命题，即∀x>0，sin x－x>0.123456789101112131415162.下列命题中，p是q的充分条件的是A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C.p：x2>1，q：x>1 12345678910111213141516√12345678910111213141516对于C，x2>1⇔x>1或x<－1⇏x>1，故p不是q的充分条件；3.设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516√12345678910111213141516若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，经检验，当λ＝1或λ＝－3时，两直线平行.即“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件.4.已知p： >1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是A.[0，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，0] D.(－∞，1]√记A＝{x|0m}，若p是q的充分条件，则A是B的子集，所以m≤0，所以实数m的取值范围是(－∞，0].123456789101112131415165.下列说法正确的是A.“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题B.“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件C.命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1<0”D.若“10，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误；命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤0”，C错误；123456789101112131415166.设p：关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，q：对数函数y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，那么p是q的A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件√12345678910111213141516若关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4<0，即－20，x1x2＝m<0，则方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，满足充分性，所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”，故B正确；对于C，若幂函数y＝ 　 为反比例函数，12345678910111213141516当m＝0时，函数y＝x－1为幂函数，也为反比例函数，满足充分性，所以“幂函数y＝ 为反比例函数”的充要条件是“m＝0”，故C正确；对于D，若函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调，则11，解得a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞).12345678910111213141516(0，＋∞)14.《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的__________________.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)12345678910111213141516必要不充分条件由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”是逻辑中的必要不充分条件.1234567891011121314151615.已知等比数列{an}的首项为1，则“a2 0210，所以a2 021＝a1q2 020>0，所以q3>1，所以q>1；若a2 0230，所以a2 023＝a1q2 022>0，所以q2－1>0，解得q>1或q<－1.所以“a2 021