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高考数学(理数)一轮精品复习：第6章《不等式》讲与练(31页教师版)
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这是一份高考数学(理数)一轮精品复习：第6章《不等式》讲与练(31页教师版)，共49页。试卷主要包含了不等式的性质； 2，不等式的一些常用性质，25,20)．当直线l等内容，欢迎下载使用。
第六章不 等 式
第一节 不等式的性质及一元二次不等式
本节主要包括2个知识点： 1.不等式的性质； 2.一元二次不等式.
突破点(一) 不等式的性质
1．比较两个实数大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒ac
⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd>0
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒<.②a<0b>0,0.④0
若a>b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)．
1．判断题
(1)a>b>0，c>d>0⇒>.( )
(2)若>，则a>b.( )
(3)若a>b，c>d，则ac>bd.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．填空题
(1)若ab>0，且a>b，则与的大小关系是________．
答案：<
(2)a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．
解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，即＜；若ab＞0，则＞.
∴a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.
答案：a＜0＜b
(3)已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________________．
解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0.∴＋≥＋.
答案：＋≥＋
(4)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则M与N的大小关系为M________N.
答案：>
比较大小
[例1] (1)已知x∈R，m＝(x＋1)，n＝(x2＋x＋1)，则m，n的大小关系为( )
A．m≥n B．m＞n
C．m≤n D．m＜n
(2)若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
(3)已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________．
[解析] (1)m＝x3＋＋＋1，n＝x3＋＋＋，m－n＝>0，故m>n.
(2)易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
(3)当q＝1时，＝3，＝5，所以＜.
当q＞0且q≠1时，－＝－＝＝＜0，
所以＜.综上可知＜.
[答案] (1)B (2)＜ (3)＜
[方法技巧] 比较大小的常用方法
差值比较
商值比较
原理
设a，b∈R，则
a>b⇔a－b>0，
a＝b⇔a－b＝0，
a
>1⇔a>b，
＝1⇔a＝b，
<1⇔a
①作差并变形；②判断差的符号；③下结论
①作商并变形；②判断商与1的大小；③下结论
注意
事项
只要判断差的符号(正负号)，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式积的形式
作商时结果与“1”比较大小，注意分母的正负，如果a，b均小于0，所得结论与“商值比较原理”中的结论相反
解题
关键
利用通分、因式分解、配方等变形，变形是为了更有利于判断符号
利用分母(或分子)有理化、指数恒等变换、对数恒等变换等变形
不等式的性质
[例2] (1)若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2
(2)设a，b∈R，若p：a
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)下列四个命题中，为真命题的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，c>d，则a－c>b－d
C．若a>|b|，则a2>b2 D．若a>b，则<
[解析] (1)∵<<0，∴ba2，ab
[答案] (1)D (2)B (3)C
[方法技巧]
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
(2)与充要条件相结合的问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合的问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
1.设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B D．A＞B
解析：选B 由题意得，A2－B2＝2≥0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
2.若a
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 由于a|b|>0，a2>b2，故a2＋1>b2，①正确；－a>－b>0，－a＋1>－b＋1>1，故|1－a|>|b－1|，②正确；a＋b>，③正确．故3个不等式均正确．
3.若x>y>1,0by
解析：选C 易知函数y＝ax(0y>1,0
A．|x|>|y| B．x2>y2
C.> D．x3>y3
解析：选C 由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除A，B；由>可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要条件，故选C.
突破点(二) 一元二次不等式
1．三个“二次”之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|xx2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
2.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
1．判断题
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集．( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立，则其判别式Δ≤0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．填空题
(1)不等式－x2＋2x－3＞0的解集为________．
答案：∅
(2)不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________．
解析：由题意知－，是ax2＋bx＋2＝0的两根，
所以解得a＝－12，b＝－2.所以a＋b＝－14.
答案：－14
(3)若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________．
解析：①当m＝0时，1>0显然成立．
②当m≠0时，由条件知得0
答案：[0,1)
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法和步骤
[例1] (1)不等式2x2－x－3>0的解集是( )
A. B．(－∞，－1)∪
C. D.∪(1，＋∞)
(2)已知定义域为R的函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，且y＝f(x＋2)为偶函数，则关于x的不等式f(2x－1)－f(x＋1)>0的解集为( )
A.∪(2，＋∞) B.
C.∪(2，＋∞) D.
(3)求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
[解析] (1)2x2－x－3>0可因式分解为(x＋1)(2x－3)>0，解得x>或x<－1，
∴不等式2x2－x－3>0的解集是(－∞，－1)∪.故选B.
(2)∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称．又∵f(x)在(2，＋∞)上单调递减，∴由f(2x－1)－f(x＋1)>0得f(2x－1)>f(x＋1)，∴|2x－1－2|<|x＋1－2|，∴(2x－3)2<(x－1)2，即3x2－10x＋8<0，(x－2)(3x－4)<0，解得
即(4x＋a)(3x－a)>0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪.
[答案] (1)B (2)D
[方法技巧]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
由一元二次不等式恒成立求参数范围
考法(一) 在实数集R上恒成立
[例2] (1)(若不等式－x2＋2ax<3x＋a2恒成立，则a的取值范围为( )
A．(0,1) B．
C. D．
(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C. D．∪(1，＋∞)
[解析] (1)由题意得－x2＋2ax<3x＋a2恒成立，即x2＋(3－2a)x＋a2>0恒成立．
所以Δ＝(3－2a)2－4a2<0，解得a>，故选B.
(2)分情况讨论，①当m＝－1时，不等式化为2x－6<0，即x<3，显然不对任意实数x恒成立．②当m≠－1时，由题意得所以m<－.故选C.
[答案] (1)B (2)C
考法(二) 在某区间上恒成立
[例3]已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于任意的x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B．(－∞，1)
C．(1,5) D．(1，＋∞)
[解析] 因为f(x)<－m＋5⇔m(x2－x＋1)<6，而x2－x＋1>0，
所以将不等式变形为m<，即不等式m<对于任意x∈[1,3]恒成立，
所以只需求在[1,3]上的最小值即可．记g(x)＝，x∈[1,3]，
记h(x)＝x2－x＋1＝2＋，显然h(x)在x∈[1,3]上为增函数．
所以g(x)在[1,3]上为减函数，所以g(x)min＝g(3)＝，所以m<.故选A.
[答案] A
[方法技巧]
解决一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题．
考法(三) 在参数的区间上恒成立时求变量范围
[例4]对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
[解] 由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3.
故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
[方法技巧]
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)(α>0)，则不等式cx2＋bx＋a>0的解集为( )
A. B．
C. D．
解析：选C 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)，所以a<0且α＋β＝－，αβ＝.所以不等式cx2＋bx＋a>0可化为αβx2－(α＋β)x＋1<0，所以(αx－1)(βx－1)<0，即<0，所以不等式的解集是，故选C.h
2.已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．[0,1]
B．(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选A 当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0化为8≥0，其对任意的x∈R恒成立；当k<0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0不能恒成立；当k>0时，要使不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，对于方程kx2－6kx＋k＋8＝0，需Δ＝36k2－4(k2＋8k)≤0，得0
A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞)
C．[2,4) D．(－∞，2)∪(4，＋∞)
解析：选B 将原不等式移项通分得≤0，
于是原不等式等价于或解得x≥4或0≤x<2.故选B.
4.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1
解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以①若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．②若x≠3，则由一次函数的单调性，可得即解得x<2或x>4.
答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( )
A．[－2，－1] B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
解析：选A A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，故选A.
2．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )
A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}
解析：选D N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．
3．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则( )
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R
C．B⊆A D．A⊆B
解析：选B 集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－＜x＜}＝R，故选B.
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 不等式的性质
1．下列三个不等式：①x＋≥2(x≠0)；②<(a>b>c>0)；③>(a，b，m>0且a
C．1 D．0
解析：选B 当x<0时，①不成立；由a>b>c>0得<，所以<成立，所以②恒成立；－＝，由a，b，m>0且a0恒成立，故③恒成立，所以选B.
2．若a>b>0，cbc
解析：选B 根据c－d>0，由于a>b>0，故－ac>－bd，ac
A．若a<1，b<，则a>b
B．若a<1，b<，则a
D．若a>1，b>，则ab不成立；对于D，若a>1，则b2－b>0，又b>，得b>1,1－b<0，所以a2＝b2－b＋1
C．2ab D．a2＋b2
解析：选D 因为0＝，2ab＝2a(1－a)＝－22＋<，所以a，，2ab，a2＋b2中最大的数为a2＋b2.
5．设a>b>1，则下列不等式成立的是( )
A．aln b>bln a B．aln bbea
解析：选C 观察A，B两项，实际上是在比较和的大小，引入函数y＝，x>1.则y′＝，可见函数y＝在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．函数y＝在(1，＋∞)上不单调，所以函数在x＝a和x＝b处的函数值无法比较大小．对于C，D两项，引入函数f(x)＝，x>1，则f′(x)＝＝>0，所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，又因为a>b>1，所以f(a)>f(b)，即>，所以aeb
7．若a>b>0，给出以下几个不等式：
①<；②lg<；③a＋>b＋；④－>.
其中正确的是________．(请填写所有正确的序号)
解析：因为a>b>0，所以－＝>0，①正确；＝lg0，所以③正确；(＋)2＝a＋2>a，所以④不正确．
答案：①③
对点练(二) 一元二次不等式
1．已知关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，且x2－x1＝5，则a＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C 关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)可化简为(x＋2a)(x－3a)>0，因为a<0，所以－2a>3a，所以解不等式得x>－2a或x<3a，所以x1＝3a，x2＝－2a.又x2－x1＝5，所以－5a＝5，所以a＝－.
2．设实数a∈(1,2)，关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为( )
A．(3a，a2＋2) B．(a2＋2,3a)
C．(3,4) D．(3,6)
解析：选B 由x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，得(x－3a)·(x－a2－2)<0，∵a∈(1,2)，∴3a>a2＋2，∴关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为(a2＋2,3a)．故选B.
3．在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1,2)
解析：选B 根据定义得x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2
A. B．
C．(1，＋∞) D．
解析：选A 由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故选A.
5．若不存在整数x满足不等式(kx－k2－4)(x－4)<0，则实数k的取值范围是________．
解析：容易判断k＝0或k<0时，均不符合题意，所以k>0.所以原不等式即为
k(x－4)<0，等价于(x－4)<0，依题意应有3≤≤5且k>0，
所以1≤k≤4.
答案：[1,4]
6．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，则实数m的取值范围是________．
解析：不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，
①当m＝2时，上式为－4<0，对任意的x，不等式都成立；
②当m－2<0时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，∴－2
答案：(－2,2]
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，
∴0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝5，＝0，
∴b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x.
(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2－10x＋t－2≤0恒成立，
∴2x2－10x＋t－2的最大值小于或等于0.
设g(x)＝2x2－10x＋t－2，
则由二次函数的图象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在区间[－1,1]上为减函数，
∴g(x)max＝g(－1)＝10＋t，
∴10＋t≤0，即t≤－10.
∴t的取值范围为(－∞，－10]．
2．已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a＜0.
解：(1)∵函数f(x)＝的定义域为R，
∴ ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，需满足题意，
则需解得0＜a≤1，
综上可知，a的取值范围是[0,1]．
(2)f(x)＝＝，
由题意及(1)可知0＜a≤1，
∴当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意得，＝，∴a＝，
∴不等式x2－x－a2－a＜0可化为x2－x－＜0.
解得－＜x＜，
∴不等式的解集为.
3．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝时，
即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以即解得a≥.
则a的取值范围为.
第二节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
本节主要包括3个知识点：
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域；
2.简单的线性规划问题；
3.线性规划的实际应用.
突破点(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.确定二元一次不等式(组)表示平面区域的步骤
以上简称为“直线定界，特殊点定域”．
1．判断题
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．( )
答案：(1)× (2)√
2．填空题
(1)不等式组所表示的平面区域的面积等于________．
答案：
(2)不等式组所表示的平面区域内的整点个数为________．
答案：4
(3)若不等式组表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的取值范围是________．
答案：(0,1)
二元一次不等式(组)表示的平面区域
[典例](1)不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A．1 B．
C. D．
(2)已知不等式组表示的平面区域的面积等于3，则a的值为________．
[解析] (1)作出不等式组对应的区域如图中阴影部分所示，
由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×|yD|＝.
(2)依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知其表示的平面区域为△ABC，所以S＝×2|AC|＝3，所以|AC|＝3，即C(2,3)，又点C在直线ax－y＋2＝0上，得a＝.
[答案] (1)D (2)
[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤
(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．
[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
1．已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．－2
解析：选A 先作出不等式组
对应的平面区域，如图．要使阴影部分为直角三角形，当k＝0时，此时三角形的面积为×3×3＝≠1，所以不成立．当k＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当k＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A.
2．若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．
3．不等式组 表示的平面区域的面积为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝×2×(2＋2)＝4.
答案：4
突破点(二) 简单的线性规划问题
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
2．简单线性规划问题的图解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即
1．判断题
(1)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )
(2)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
答案：(1)√ (2)×
2．填空题
(1)已知实数x，y满足则z＝x＋3y的最小值为________．
答案：－8
(2)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________．
答案：7
(3)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝________.
答案：13
线性目标函数的最值
[例1] (1)已知实数x，y满足则z＝2x－2y－1的取值范围是( )
A. B．[0,5]
C. D．
(2)已知整数x，y满足则z＝4－x·y的最小值为________．
[解析] (1)作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，
可知2×－2×－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是.
(2)z＝4－x·y＝2－2x·2－y＝2－2x－y.设m＝－2x－y，要使z最小，则只需m最小．
作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由m＝－2x－y得y＝－2x－m，平移可知当直线y＝－2x－m经过点B时，m最小，
由解得
即B(1,2)，此时m＝－2－2＝－4，
所以z＝4－x·y的最小值为2－4＝.
[答案] (1)D (2)
[方法技巧]
求解线性目标函数最值的常用方法
线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．
非线性目标函数的最值
[例2] (1)已知实数x，y满足则的最大值是________．
(2)设实数x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的最小值为________．
[解析] (1)由题意得，满足条件的可行域如图所示.的几何意义是可行域内的点与原点所在直线的斜率，观察图形易知，当直线过点C(4,1)时，有最大值，最大值为.
(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示．因为z＝x2＋y2表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，当区域内的点与原点的连线与直线3x＋y－10＝0垂直时，z＝x2＋y2取得最小值，所以zmin＝2＝10，垂足为点(3,1)，在平面区域内，所以z＝x2＋y2的最小值为10.
[答案] (1) (2)10
[方法技巧]
非线性目标函数最值问题的常见类型及求法
距离
平方型
目标函数为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方求解
斜率型
对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等
点到直线
距离型
对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值
线性规划中的参数问题
1.常见问题形式
(1)由可行域求线性约束条件；
(2)由最优解或最值求参数的取值范围．
2．处理方法
(1)对于形式(1)，由可行域的端点写出边界直线的方程，由区域特点确定不等号即可．
(2)对于形式(2)，解答问题时，必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线的斜率与目标函数表示的直线的斜率之间的关系．
[例3]若实数x，y满足不等式组其中m>0，且x＋y的最大值为9，则实数m＝( )
A．4 B．3
C．1 D．2
[解析] 根据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示．
设z＝x＋y，由
得A.易知当z＝x＋y经过点A时，z取得最大值，故＋＝9，解得m＝1.
[答案] C
[方法技巧]
求解线性规划中含参问题的两种基本方法
(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；
(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
1.已知x，y满足则z＝4x－y的最小值为( )
A．4 B．6 C．12 D．16
解析：选B 作出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当动直线z＝4x－y经过点A(2,2)时，动直线y＝4x－z在y轴的截距最小，zmin＝4×2－2＝6，故选B.
2.设x，y满足约束条件则的取值范围是( )
A．[1,5] B．[2,6]
C．[2,10] D．[3,11]
解析：选D 设z＝＝＝1＋2·，设z′＝，则z′的几何意义为动点P(x，y)到定点D(－1，－1)的斜率，画出可行域如图中阴影部分所示，易得z′∈[kDA，kDB]，则z′∈[1,5]，∴z＝1＋2·z′∈[3,11]．
3.设实数x，y满足则z＝y－4x的取值范围是________；z＝y－4|x|的取值范围是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图．①当目标函数线z＝y－4x经过点A(2,2)时，z取得最小值2－4×2＝－6；经过点B(－4,8)时，z取得最大值8－4×(－4)＝24，所以z＝y－4x的取值范围是[－6,24]．②因为z＝y－4|x|＝所以由图知，当x<0时，z在点B(－4,8)处取得最小值8＋4×(－4)＝－8，在点C(0,4)处取得最大值4，所以当x<0时，z∈[－8,4)．当x≥0时，z在点A(2,2)处取得最小值2－4×2＝－6，在点C(0,4)处取得最大值4－4×0＝4，所以x≥0时，z∈[－6,4]．综上，z＝y－4|x|的取值范围是[－8，4]．
答案：[－6,24] [－8,4]
4.若实数x，y满足则x2＋y2的最小值是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
∵x2＋y2表示可行域内任意一点P(x，y)与原点(0,0)距离的平方，
∴当P在线段AB上且OP⊥AB时，x2＋y2取得最小值，
∴(x2＋y2)min＝2＝.
答案：
5.已知约束条件若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取到最大值，则a的取值范围为________．
解析：作出不等式对应的平面区域，如图阴影部分所示，
当a＝0时，z＝x，
即x＝z，此时不成立．
故a≠0.由z＝x＋ay得y＝－x＋.由解得即A(2,2)．
要使目标函数z＝x＋ay(a≥0)仅在点A(2,2)处取得最大值，
则阴影部分区域在直线y＝－x＋的下方，
即目标函数的斜率k＝－，满足k>kAC，即－>－3.
∵a>0，∴a>，即a的取值范围为.
答案：
突破点(三) 线性规划的实际应用
线性规划的实际应用
解线性规划应用题的一般步骤
[典例] 某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1件需消耗A原料2千克，B原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1 800元 B．2 400元
C．2 800元 D．3 100元
[解析] 设生产甲产品x件，乙产品y件，依题意有目标函数z＝300x＋400y，作出的可行域，其中A(0,6)，B(4,4)，C(6,0)，如图所示．由z＝300x＋400y得y＝－x＋，由图可知，目标函数在点B(4,4)取得最大值，最大值为2 800.所以公司共可获得的最大利润是2 800元．故选C.
[答案] C
[方法技巧]
求解线性规划应用题的三个注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
1．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为( )
A．11 280元 B．12 480元
C．10 280元 D．11 480元
解析：选B 设租用的卡车和农用车分别为x辆和y辆，运完全部黄瓜支出的运费为z元，则目标函数z＝960x＋360y.
如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC内横坐标和纵坐标均为整数的点，其中A(10,8)，B(10,20)，C(6.25,20)．当直线l：z＝960x＋360y经过点A(10,8)时，运费最低，且最低运费为zmin＝960×10＋360×8＝12 480(元)，故选B.
2．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解析：选D 根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，
则目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2,3)时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9
C．1 D．9
解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.
2．已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B．
C．1 D．2
解析：选B 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝，故选B.
3．设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．
解析：画出不等式组
所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，
由解得∴zmin＝－5.
答案：－5
4．若x，y满足约束条件则的最大值为________．
解析：画出可行域如图阴影所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时最大．由得
∴A(1,3)．∴的最大值为3.
答案：3
5．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为
即
目标函数为z＝2 100x＋900y，
由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
作直线2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0并上下平移，易知当直线经过点M时，
z取得最大值，联立解得B(60,100)．
则zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域
1．若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )
A．3 B．
C．2 D．2
解析：选C 因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，故|AB|＝，|AC|＝2，
所以其面积为×|AB|×|AC|＝2.
2．在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选A 易知直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．
当直线y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y＝k(x－1)－1 的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k的取值范围是(－∞，－1)．
3．不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )
解析：选C 由y(x＋y－2)≥0，得或
所以不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项．
4．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为( )
A．(－7,24)
B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
C．(－24,7)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析：选A 由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以(a＋7)·(a－24)<0，所以－7
A. B．
C. D．
解析：选D 由题意，知直线x＋my＋1＝0过定点D(－1,0)，作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示，当m＝0时，直线为x＝－1，此时直线和平面区域没有公共点，故m≠0.x＋my＋1＝0的斜截式方程为y＝－x－，斜率k＝－.要使直线和平面区域有公共点，则直线x＋my＋1＝0的斜率k>0，即k＝－>0，即m<0，且满足kCD≤k≤kAD.
由解得即C(2,1)，CD的斜率kCD＝＝.由解得即A(2,4)，AD的斜率kAD＝＝，即≤k≤，则≤－≤，解得－3≤m≤－，故选D.
对点练(二) 简单的线性规划问题
1．已知△ABC中，A(1,1)，B(1,3)，C(1＋，2)，若点(x，y)在三角形内部(不包含边界)，则z＝－2x＋y的取值范围是( )
A．(－，－1) B．(－1,1)
C．(－2，1) D．(－1，)
解析：选C 如图，画出三角形ABC，其内部即为可行域．当直线y＝2x＋z经过点B时，zmax＝－2＋3＝1，经过点C时，zmin＝－2×(1＋)＋2＝－2.故选C.
2．若实数x，y满足且z＝2x＋y的最小值为4，则实数b的值为( )
A．1 B．2
C. D．3
解析：选D 作出不等式组表示的平面区域如图阴影所示，由图可知z＝2x＋y在点A处取得最小值，且由解得∴A(1,2)．又由题意可知A在直线y＝－x＋b上，
∴2＝－1＋b，解得b＝3，故选D.
3.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，已知点A(－1,2)，则直线AM斜率的最小值为( )
A．－ B．－2 C．0 D．
解析：选B 作出不等式组对应的平面区域如图四边形OBCD及其内部，其中B(2,0)，C(4,6)，D(0,2)．
点A(－1,2)，当M位于O时，AM的斜率最小．
此时AM的斜率k＝＝－2，故选B.
4．若实数x，y满足约束条件则z＝的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．z＝的几何意义是可行域内的点与点D(－1,0)连线的斜率，由图象知直线AD的斜率最大．由得所以A(1,3)，此时z＝＝，即为要求的最大值．
答案：
5．已知变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图所示，因为目标函数y＝－的斜率小于y＝x－1的斜率，
所以目标函数在点A(1,0)时，纵截距－取到最小值，此时z取到最大值为z＝1－0＝1.
答案：1
6．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．
解析：由题中的线性约束条件作出可行域，如图．其中C(0,2)，B(1,1)，D(1,2)．由z＝·＝－x＋y，得y＝x＋z.由图可知，当直线y＝x＋z分别过点C和B时，z分别取得最大值2和最小值0，所以·的取值范围为[0,2]．
答案：[0,2]
对点练(三) 线性规划的实际应用
1．甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖奖品所用原料完全相同， 但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵．两厂具体收费如下表所示，则组委会定做奖品的费用最低为________元.
奖品
工厂
一等奖奖品
二等奖奖品
甲
500
400
乙
800
600
解析：设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，x，y∈N，则乙厂生产一等奖奖品3－x件，二等奖奖品6－y件．由题意得x和y满足设所需费用为z元，则z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6 000.
作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分的整点所示．
平移直线－300x－200y＝0，即y＝－x，由图知当直线z＝－300x－200y＋6 000，即y＝－x＋30－经过点A时，直线的纵截距最大，z最小．由解得即A(3,1)，满足x∈N，y∈N，所以组委会定做奖品的费用最低为z＝－300×3－200＋6 000＝4 900，故由甲厂生产一等奖奖品3件，二等奖奖品1件，其余都由乙厂生产，所需费用最低，最低费用为4 900元．
答案：4 900
2．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．
解析：设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z＝300x＋400y.作出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z＝300x＋400y在点M或其附近的整数点处取得最大值，
由方程组解得则zmax ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利润是1 700元．
答案：1 700
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．
(1)写出表示区域D的不等式组．
(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，
故表示区域D的不等式组为
(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]＜0，
即(14－a)(－18－a)＜0，解得－18＜a＜14.
故a的取值范围是(－18,14)．
2．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＋＝0，可知z＝x－y＋，
过A(3,4)时取最小值－2，过C(1,0)时取最大值1.
所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.
故所求a的取值范围为(－4,2)．
3．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在
y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(20,24)，
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
第三节 基本不等式
本节主要包括2个知识点：
1.利用基本不等式求最值；2.基本不等式的综合问题.
突破点(一) 利用基本不等式求最值
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
1．判断题
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.( )
(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．填空题
(1)设x，y∈R＋，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．
答案：81
(2)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解析：x2＋2y2＝x2＋(y)2≥2x(y)＝2，
所以x2＋2y2的最小值为2.
答案：2
(3)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
解析：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
答案：4
通过拼凑法利用基本不等式求最值
利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
[例1] (1)已知0
C. D．
(2)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
[解析] (1)∵0
(2)∵x>2，∴x－2>0，
∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2·＋2＝2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即(x－2)2＝1时等号成立，
解得x＝1或3.又∵x>2，∴x＝3，
即a等于3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值，故选C.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
通过常数代换法利用基本不等式求最值
[例2] (1)设x，y为正实数，且x＋2y＝1，则＋的最小值为( )
A．2＋2 B．3＋2
C．2 D．3
(2)若θ∈，则y＝＋的取值范围为( )
A．[6，＋∞) B．[10，＋∞)
C．[12，＋∞) D．[16，＋∞)
[解析] (1)因为x，y为正实数，且x＋2y＝1，
所以＋＝(x＋2y)·＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，
当且仅当x＝y＝－1时取等号，所以＋的最小值为3＋2.故选B.
(2)∵θ∈，∴sin2θ，cos2θ∈(0,1)，∴y＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝10＋＋≥10＋2 ＝16，当且仅当＝，即θ＝时等号成立，∴y＝＋的取值范围为[16，＋∞)．故选D.
[答案] (1)B (2)D
[方法技巧]
通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
通过消元法利用基本不等式求最值
[例3]已知函数f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，则的最小值等于________．
[解析] 由函数f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，可知a>1>b>0，
所以lg a＝－lg b，b＝，a－b＝a－>0，
则＝＝a－＋≥2(当且仅当a－＝，即a＝时，等号成立)．
[答案] 2
[方法技巧]
通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．对于一些多元函数求最值的问题，解决方法是消元拼凑后利用基本不等式求解．
1.已知函数y＝x－4＋(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．8
解析：选C y＝x－4＋＝x＋1＋－5，因为x＞－1，所以x＋1＞0，＞0.所以由基本不等式，得y＝x＋1＋－5≥2 －5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
2.已知m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋的最小值为( )
A．4 B．2
C. D．16
解析：选C ∵m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋＝(2m＋n)
＝＋＋≥＋2 ＝，当且仅当n＝，m＝时取等号．故选C.
3.若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为( )
A．2－ B．2＋
C．4＋2 D．4－2
解析：选D ＋＝＋＝1＋－＝1＋
＝1＋＝1＋，
因为xy>0，所以>0，>0.由基本不等式可知＋≥2，
当且仅当x＝y时等号成立，所以1＋≤1＋＝4－2.
4.已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为( )
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
解析：选D ∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴a＝>0，解得b>2，即b－2>0，
则a＋2b＝＋2b＝1＋＋2(b－2)＋4≥5＋2 ＝9，
当且仅当b＝3，a＝3时等号成立，其最小值为9.
突破点(二) 基本不等式的综合问题
关于基本不等式的考题，涉及的知识点较多，常融合于函数、数列、解析几何及实际问题中，此类问题一般难度较大，需要较强的分析问题、解决问题的能力.
基本不等式的实际应用问题
[例1] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
[解] (1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，
由a2x＝4 000，得a＝.
则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·＋160＝80＋4 160(x>1)．
(2)由(1)知，S(x)＝80＋4 160≥80×2＋4 160
＝1 600＋4 160＝5 760.
当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．
[方法技巧]
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
基本不等式与其他知识的交汇问题
考法(一) 基本不等式与线性规划的交汇问题
[例2]已知x，y满足z＝2x＋y的最大值为m，若正数a，b满足a＋b＝m，则＋的最小值为( )
A．9 B．
C. D．
[解析] 画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
z＝2x＋y的几何意义为直线2x＋y－z＝0在y轴上的截距，由图可知，当直线过点M时，直线2x＋y－z＝0在y轴上的截距最大，即目标函数z＝2x＋y取得最大值，由解得M(3,0)，所以z的最大值为2×3＋0＝6，即m＝6，所以a＋b＝6，故＋＝·(a＋b)＝≥＝，
当且仅当＝，即b＝4，a＝2时等号成立．
[答案] B
考法(二) 基本不等式与函数的交汇问题
[例3]已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，2－1)
C．(－1,2－1)
D．(－2－1,2－1)
[解析] 由f(x)>0得32x－(k＋1)3x＋2>0，解得k＋1<3x＋.
而3x＋≥2，∴k＋1<2，即k<2－1.
[答案] B
考法(三) 基本不等式与数列的交汇问题
[例4] 正项等比数列{an}中，a2 018＝a2 017＋2a2 016，若aman＝16a，则＋的最小值等于( )
A．1 B．
C. D．
[解析] 设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由a2 018＝a2 017＋2a2 016，得q2＝q＋2，解得q＝2或q＝－1(舍去)．
又因为aman＝16a，即a·2m＋n－2＝16a，所以m＋n＝6.
因此＋＝(m＋n)＝≥＝，
当且仅当m＝4，n＝2时，等号成立，故选B.
[答案] B
考法(四) 基本不等式与解析几何的交汇问题
[例5]若直线2ax＋by－2＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则＋的最小值是( )
A．2－ B．－1
C．3＋2 D．3－2
[解析] ∵圆心为(1,2)在直线2ax＋by－2＝0上，∴a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝，即a＝2－，b＝－1时等号成立．
[答案] C
[方法技巧]
求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
1.已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．
2.若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选D 因为圆心到直线的距离d＝，
则直线被圆截得的弦长L＝2＝2＝2，所以4a2＋b2＝4.
则t＝a＝·(2a)·≤××
＝·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝，当且仅当时等号成立，此时a＝，故选D.
3.已知变量x，y满足约束条件若z＝ax＋by(a>0，b>0)的最小值为2，则ab的最大值为( )
A．1 B．
C. D．
解析：选D 作出不等式组满足的可行域如图所示，
目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)，故当x，y均取最小值时，z取到最小值．即当x＝2，y＝3时，z＝ax＋by取得最小值2，即2a＋3b＝2，所以2a·3b≤＝1，当且仅当2a＝3b＝1，即a＝，b＝时等号成立，所以(6ab)max＝1，即(ab)max＝.
4.已知函数f(x)＝ln(x＋)，若正实数a，b满足f(2a)＋f(b－1)＝0，则＋的最小值是________．
解析：f(x)＝ln(x＋)的定义域为R，且f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln(x2＋1－x2)＝0，
所以若f(2a)＋f(b－1)＝0，则一定有2a＋b－1＝0即2a＋b＝1.
故＋＝＋＝2＋＋＋1.
又a>0，b>0，所以＋≥2，当且仅当b＝a时等号成立，
所以＋的最小值为3＋2.
答案：3＋2
5.某品牌电脑体验店预计全年可以销售360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金，经理决定分批购入，若每批都购入x台(x为正整数)，则每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比，且每批购入20台时，全年需用去运费和保管费7 800元．
(1)求全年所付运费和保管费之和y关于x的函数关系式；
(2)若全年只有8 000元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量；如果不够用，最少还需多少？
解：(1)设储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑总价值的比例系数为k，
则y＝×300＋k(3 000×x)＝＋3 000kx.
又当x＝20时，y＝7 800，代入可得k＝0.04.
故所求y关于x的函数关系式为y＝＋120 x(x∈N*)．
(2)由(1)知，y＝＋120x(x∈N*)．根据基本不等式可得，
y＝＋120x≥2＝2×3 600＝7 200，
当且仅当＝120x，即x＝30时，等号成立．
故当每批购入30台时，支付的运费和保管费最低，为7 200元，此时资金够用.
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 利用基本不等式求最值
1.若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析：选C 由a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选D ∵1＝2x＋2y≥2
＝2，
∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.
3．若正实数x，y满足(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，则x＋的最大值为( )
A．－1＋ B．1
C．1＋ D．
解析：选A 由(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，
即(2xy－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，得2＋2＝9，
又2＋2≥＝，
当且仅当2x－＝2＋时等号成立，所以2≤18，得2x＋≤3－2，
所以x＋≤，所以x＋的最大值为－1＋.故选A.
4．设x>0，y>0，且2＝，则当x＋取最小值时，x2＋＝________.
解析：∵x>0，y>0，∴当x＋取最小值时，2取得最小值，
∵2＝x2＋＋，又2＝，∴x2＋＝＋，
∴2＝＋≥2 ＝16，∴x＋≥4，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，
∴当x＋取最小值时，x＝2y，x2＋＋＝16，∴x2＋＋＝16，
∴x2＋＝16－4＝12.
答案：12
5．已知x，y为正实数，则＋的最小值为________．
解析：∵x，y为正实数，则＋＝＋＋1＝＋＋1，
令t＝，则t>0，∴＋＝＋t＋1＝＋t＋＋≥2＋＝，
当且仅当t＝时取等号．∴＋的最小值为.
答案：
对点练(二) 基本不等式的综合问题
1．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选C ∵当x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，
∴函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A(－2，－1)．
∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.
∵m>0，n>0，∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8，
当且仅当m＝，n＝时取等号．故选C.
2．当0
C．[－4,2] D．[－2,4]
解析：选D 因为0
又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.
所以实数k的取值范围是[－2,4]．故选D.
3．设a＝，b＝p，c＝x＋y，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2]
C. D．
解析：选A 对任意的正实数x，y，由于a＝≥＝，当且仅当x＝y时等号成立，b＝p，c＝x＋y≥2，当且仅当x＝y时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，
∴解得1
A．0 B．
C. D．1
解析：选B 因为函数f(x)＝ax3－2x2＋cx在R上单调递增，
所以f′(x)＝ax2－4x＋c≥0在R上恒成立．所以
所以ac≥4，又ac≤4，所以ac＝4，又a>0，所以c>0，
则＋＝＋＝＋＝－＋－
＝＋－≥2 －＝1－＝，当且仅当a＝c＝2时等号成立，故选B.
5．已知点P(x，y)到点A(0,4)和到点B(－2,0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________．
解析：由题意得，x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，整理得x＋2y＝3，
∴2x＋4y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时等号成立，
故2x＋4y的最小值为4.
答案：4
6．设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2017＝4 034，则＋的最小值为________．
解析：由等差数列的前n项和公式，
得S2 017＝＝4 034，则a1＋a2 017＝4.
由等差数列的性质得a9＋a2 009＝4，
所以＋＝＝
＝≥＝4，
当且仅当a2 009＝3a9时等号成立．
答案：4
[大题综合练——迁移贯通]
1．设a，b∈R，a2＋b2＝2，求＋的最小值．
解：由题意知a2＋b2＝2，a2＋1＋b2＋1＝4，
∴＋＝(a2＋1＋b2＋1)＝≥，
当且仅当＝，即a2＝，b2＝时等号成立，
∴＋的最小值为.
2．已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.
(1)求＋的最小值．
(2)是否存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5？并说明理由．
解：(1)因为＋＝＝≥＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，
所以＋的最小值为2.
(2)不存在．理由如下：
因为x2＋y2≥2xy，
所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)．
又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.
从而有(x＋1)(y＋1)≤2≤4，
因此不存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5.
3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．
(2)因为8
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
第六章不 等 式
第一节 不等式的性质及一元二次不等式
本节主要包括2个知识点： 1.不等式的性质； 2.一元二次不等式.
突破点(一) 不等式的性质
1．比较两个实数大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒ac
⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd>0
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒<.②a<0
若a>b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)．
1．判断题
(1)a>b>0，c>d>0⇒>.( )
(2)若>，则a>b.( )
(3)若a>b，c>d，则ac>bd.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．填空题
(1)若ab>0，且a>b，则与的大小关系是________．
答案：<
(2)a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．
解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，即＜；若ab＞0，则＞.
∴a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.
答案：a＜0＜b
(3)已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________________．
解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0.∴＋≥＋.
答案：＋≥＋
(4)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则M与N的大小关系为M________N.
答案：>
比较大小
[例1] (1)已知x∈R，m＝(x＋1)，n＝(x2＋x＋1)，则m，n的大小关系为( )
A．m≥n B．m＞n
C．m≤n D．m＜n
(2)若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
(3)已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________．
[解析] (1)m＝x3＋＋＋1，n＝x3＋＋＋，m－n＝>0，故m>n.
(2)易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
(3)当q＝1时，＝3，＝5，所以＜.
当q＞0且q≠1时，－＝－＝＝＜0，
所以＜.综上可知＜.
[答案] (1)B (2)＜ (3)＜
[方法技巧] 比较大小的常用方法
差值比较
商值比较
原理
设a，b∈R，则
a>b⇔a－b>0，
a＝b⇔a－b＝0，
a
>1⇔a>b，
＝1⇔a＝b，
<1⇔a
①作差并变形；②判断差的符号；③下结论
①作商并变形；②判断商与1的大小；③下结论
注意
事项
只要判断差的符号(正负号)，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式积的形式
作商时结果与“1”比较大小，注意分母的正负，如果a，b均小于0，所得结论与“商值比较原理”中的结论相反
解题
关键
利用通分、因式分解、配方等变形，变形是为了更有利于判断符号
利用分母(或分子)有理化、指数恒等变换、对数恒等变换等变形
不等式的性质
[例2] (1)若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2
(2)设a，b∈R，若p：a
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)下列四个命题中，为真命题的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，c>d，则a－c>b－d
C．若a>|b|，则a2>b2 D．若a>b，则<
[解析] (1)∵<<0，∴b
[答案] (1)D (2)B (3)C
[方法技巧]
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
(2)与充要条件相结合的问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合的问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
1.设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B D．A＞B
解析：选B 由题意得，A2－B2＝2≥0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
2.若a
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 由于a
3.若x>y>1,0
解析：选C 易知函数y＝ax(0
A．|x|>|y| B．x2>y2
C.> D．x3>y3
解析：选C 由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除A，B；由>可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要条件，故选C.
突破点(二) 一元二次不等式
1．三个“二次”之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
2.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
1．判断题
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集．( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立，则其判别式Δ≤0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．填空题
(1)不等式－x2＋2x－3＞0的解集为________．
答案：∅
(2)不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________．
解析：由题意知－，是ax2＋bx＋2＝0的两根，
所以解得a＝－12，b＝－2.所以a＋b＝－14.
答案：－14
(3)若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________．
解析：①当m＝0时，1>0显然成立．
②当m≠0时，由条件知得0
答案：[0,1)
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法和步骤
[例1] (1)不等式2x2－x－3>0的解集是( )
A. B．(－∞，－1)∪
C. D.∪(1，＋∞)
(2)已知定义域为R的函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，且y＝f(x＋2)为偶函数，则关于x的不等式f(2x－1)－f(x＋1)>0的解集为( )
A.∪(2，＋∞) B.
C.∪(2，＋∞) D.
(3)求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
[解析] (1)2x2－x－3>0可因式分解为(x＋1)(2x－3)>0，解得x>或x<－1，
∴不等式2x2－x－3>0的解集是(－∞，－1)∪.故选B.
(2)∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称．又∵f(x)在(2，＋∞)上单调递减，∴由f(2x－1)－f(x＋1)>0得f(2x－1)>f(x＋1)，∴|2x－1－2|<|x＋1－2|，∴(2x－3)2<(x－1)2，即3x2－10x＋8<0，(x－2)(3x－4)<0，解得
即(4x＋a)(3x－a)>0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪.
[答案] (1)B (2)D
[方法技巧]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
由一元二次不等式恒成立求参数范围
考法(一) 在实数集R上恒成立
[例2] (1)(若不等式－x2＋2ax<3x＋a2恒成立，则a的取值范围为( )
A．(0,1) B．
C. D．
(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C. D．∪(1，＋∞)
[解析] (1)由题意得－x2＋2ax<3x＋a2恒成立，即x2＋(3－2a)x＋a2>0恒成立．
所以Δ＝(3－2a)2－4a2<0，解得a>，故选B.
(2)分情况讨论，①当m＝－1时，不等式化为2x－6<0，即x<3，显然不对任意实数x恒成立．②当m≠－1时，由题意得所以m<－.故选C.
[答案] (1)B (2)C
考法(二) 在某区间上恒成立
[例3]已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于任意的x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B．(－∞，1)
C．(1,5) D．(1，＋∞)
[解析] 因为f(x)<－m＋5⇔m(x2－x＋1)<6，而x2－x＋1>0，
所以将不等式变形为m<，即不等式m<对于任意x∈[1,3]恒成立，
所以只需求在[1,3]上的最小值即可．记g(x)＝，x∈[1,3]，
记h(x)＝x2－x＋1＝2＋，显然h(x)在x∈[1,3]上为增函数．
所以g(x)在[1,3]上为减函数，所以g(x)min＝g(3)＝，所以m<.故选A.
[答案] A
[方法技巧]
解决一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题．
考法(三) 在参数的区间上恒成立时求变量范围
[例4]对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
[解] 由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3.
故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
[方法技巧]
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)(α>0)，则不等式cx2＋bx＋a>0的解集为( )
A. B．
C. D．
解析：选C 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)，所以a<0且α＋β＝－，αβ＝.所以不等式cx2＋bx＋a>0可化为αβx2－(α＋β)x＋1<0，所以(αx－1)(βx－1)<0，即<0，所以不等式的解集是，故选C.h
2.已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．[0,1]
B．(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选A 当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0化为8≥0，其对任意的x∈R恒成立；当k<0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0不能恒成立；当k>0时，要使不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，对于方程kx2－6kx＋k＋8＝0，需Δ＝36k2－4(k2＋8k)≤0，得0
A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞)
C．[2,4) D．(－∞，2)∪(4，＋∞)
解析：选B 将原不等式移项通分得≤0，
于是原不等式等价于或解得x≥4或0≤x<2.故选B.
4.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1
解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以①若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．②若x≠3，则由一次函数的单调性，可得即解得x<2或x>4.
答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( )
A．[－2，－1] B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
解析：选A A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，故选A.
2．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )
A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}
解析：选D N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．
3．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则( )
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R
C．B⊆A D．A⊆B
解析：选B 集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－＜x＜}＝R，故选B.
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 不等式的性质
1．下列三个不等式：①x＋≥2(x≠0)；②<(a>b>c>0)；③>(a，b，m>0且a
C．1 D．0
解析：选B 当x<0时，①不成立；由a>b>c>0得<，所以<成立，所以②恒成立；－＝，由a，b，m>0且a
2．若a>b>0，c
解析：选B 根据c
A．若a<1，b<，则a>b
B．若a<1，b<，则a
D．若a>1，b>，则a
C．2ab D．a2＋b2
解析：选D 因为0
5．设a>b>1，则下列不等式成立的是( )
A．aln b>bln a B．aln b
解析：选C 观察A，B两项，实际上是在比较和的大小，引入函数y＝，x>1.则y′＝，可见函数y＝在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．函数y＝在(1，＋∞)上不单调，所以函数在x＝a和x＝b处的函数值无法比较大小．对于C，D两项，引入函数f(x)＝，x>1，则f′(x)＝＝>0，所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，又因为a>b>1，所以f(a)>f(b)，即>，所以aeb
7．若a>b>0，给出以下几个不等式：
①<；②lg<；③a＋>b＋；④－>.
其中正确的是________．(请填写所有正确的序号)
解析：因为a>b>0，所以－＝>0，①正确；＝lg
答案：①③
对点练(二) 一元二次不等式
1．已知关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，且x2－x1＝5，则a＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C 关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)可化简为(x＋2a)(x－3a)>0，因为a<0，所以－2a>3a，所以解不等式得x>－2a或x<3a，所以x1＝3a，x2＝－2a.又x2－x1＝5，所以－5a＝5，所以a＝－.
2．设实数a∈(1,2)，关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为( )
A．(3a，a2＋2) B．(a2＋2,3a)
C．(3,4) D．(3,6)
解析：选B 由x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，得(x－3a)·(x－a2－2)<0，∵a∈(1,2)，∴3a>a2＋2，∴关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为(a2＋2,3a)．故选B.
3．在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1,2)
解析：选B 根据定义得x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2
A. B．
C．(1，＋∞) D．
解析：选A 由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故选A.
5．若不存在整数x满足不等式(kx－k2－4)(x－4)<0，则实数k的取值范围是________．
解析：容易判断k＝0或k<0时，均不符合题意，所以k>0.所以原不等式即为
k(x－4)<0，等价于(x－4)<0，依题意应有3≤≤5且k>0，
所以1≤k≤4.
答案：[1,4]
6．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，则实数m的取值范围是________．
解析：不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，
①当m＝2时，上式为－4<0，对任意的x，不等式都成立；
②当m－2<0时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，∴－2
答案：(－2,2]
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，
∴0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝5，＝0，
∴b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x.
(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2－10x＋t－2≤0恒成立，
∴2x2－10x＋t－2的最大值小于或等于0.
设g(x)＝2x2－10x＋t－2，
则由二次函数的图象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在区间[－1,1]上为减函数，
∴g(x)max＝g(－1)＝10＋t，
∴10＋t≤0，即t≤－10.
∴t的取值范围为(－∞，－10]．
2．已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a＜0.
解：(1)∵函数f(x)＝的定义域为R，
∴ ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，需满足题意，
则需解得0＜a≤1，
综上可知，a的取值范围是[0,1]．
(2)f(x)＝＝，
由题意及(1)可知0＜a≤1，
∴当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意得，＝，∴a＝，
∴不等式x2－x－a2－a＜0可化为x2－x－＜0.
解得－＜x＜，
∴不等式的解集为.
3．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝时，
即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以即解得a≥.
则a的取值范围为.
第二节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
本节主要包括3个知识点：
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域；
2.简单的线性规划问题；
3.线性规划的实际应用.
突破点(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.确定二元一次不等式(组)表示平面区域的步骤
以上简称为“直线定界，特殊点定域”．
1．判断题
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．( )
答案：(1)× (2)√
2．填空题
(1)不等式组所表示的平面区域的面积等于________．
答案：
(2)不等式组所表示的平面区域内的整点个数为________．
答案：4
(3)若不等式组表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的取值范围是________．
答案：(0,1)
二元一次不等式(组)表示的平面区域
[典例](1)不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A．1 B．
C. D．
(2)已知不等式组表示的平面区域的面积等于3，则a的值为________．
[解析] (1)作出不等式组对应的区域如图中阴影部分所示，
由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×|yD|＝.
(2)依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知其表示的平面区域为△ABC，所以S＝×2|AC|＝3，所以|AC|＝3，即C(2,3)，又点C在直线ax－y＋2＝0上，得a＝.
[答案] (1)D (2)
[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤
(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．
[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
1．已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．－2
解析：选A 先作出不等式组
对应的平面区域，如图．要使阴影部分为直角三角形，当k＝0时，此时三角形的面积为×3×3＝≠1，所以不成立．当k＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当k＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A.
2．若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．
3．不等式组 表示的平面区域的面积为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝×2×(2＋2)＝4.
答案：4
突破点(二) 简单的线性规划问题
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
2．简单线性规划问题的图解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即
1．判断题
(1)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )
(2)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
答案：(1)√ (2)×
2．填空题
(1)已知实数x，y满足则z＝x＋3y的最小值为________．
答案：－8
(2)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________．
答案：7
(3)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝________.
答案：13
线性目标函数的最值
[例1] (1)已知实数x，y满足则z＝2x－2y－1的取值范围是( )
A. B．[0,5]
C. D．
(2)已知整数x，y满足则z＝4－x·y的最小值为________．
[解析] (1)作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，
可知2×－2×－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是.
(2)z＝4－x·y＝2－2x·2－y＝2－2x－y.设m＝－2x－y，要使z最小，则只需m最小．
作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由m＝－2x－y得y＝－2x－m，平移可知当直线y＝－2x－m经过点B时，m最小，
由解得
即B(1,2)，此时m＝－2－2＝－4，
所以z＝4－x·y的最小值为2－4＝.
[答案] (1)D (2)
[方法技巧]
求解线性目标函数最值的常用方法
线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．
非线性目标函数的最值
[例2] (1)已知实数x，y满足则的最大值是________．
(2)设实数x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的最小值为________．
[解析] (1)由题意得，满足条件的可行域如图所示.的几何意义是可行域内的点与原点所在直线的斜率，观察图形易知，当直线过点C(4,1)时，有最大值，最大值为.
(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示．因为z＝x2＋y2表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，当区域内的点与原点的连线与直线3x＋y－10＝0垂直时，z＝x2＋y2取得最小值，所以zmin＝2＝10，垂足为点(3,1)，在平面区域内，所以z＝x2＋y2的最小值为10.
[答案] (1) (2)10
[方法技巧]
非线性目标函数最值问题的常见类型及求法
距离
平方型
目标函数为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方求解
斜率型
对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等
点到直线
距离型
对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值
线性规划中的参数问题
1.常见问题形式
(1)由可行域求线性约束条件；
(2)由最优解或最值求参数的取值范围．
2．处理方法
(1)对于形式(1)，由可行域的端点写出边界直线的方程，由区域特点确定不等号即可．
(2)对于形式(2)，解答问题时，必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线的斜率与目标函数表示的直线的斜率之间的关系．
[例3]若实数x，y满足不等式组其中m>0，且x＋y的最大值为9，则实数m＝( )
A．4 B．3
C．1 D．2
[解析] 根据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示．
设z＝x＋y，由
得A.易知当z＝x＋y经过点A时，z取得最大值，故＋＝9，解得m＝1.
[答案] C
[方法技巧]
求解线性规划中含参问题的两种基本方法
(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；
(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
1.已知x，y满足则z＝4x－y的最小值为( )
A．4 B．6 C．12 D．16
解析：选B 作出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当动直线z＝4x－y经过点A(2,2)时，动直线y＝4x－z在y轴的截距最小，zmin＝4×2－2＝6，故选B.
2.设x，y满足约束条件则的取值范围是( )
A．[1,5] B．[2,6]
C．[2,10] D．[3,11]
解析：选D 设z＝＝＝1＋2·，设z′＝，则z′的几何意义为动点P(x，y)到定点D(－1，－1)的斜率，画出可行域如图中阴影部分所示，易得z′∈[kDA，kDB]，则z′∈[1,5]，∴z＝1＋2·z′∈[3,11]．
3.设实数x，y满足则z＝y－4x的取值范围是________；z＝y－4|x|的取值范围是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图．①当目标函数线z＝y－4x经过点A(2,2)时，z取得最小值2－4×2＝－6；经过点B(－4,8)时，z取得最大值8－4×(－4)＝24，所以z＝y－4x的取值范围是[－6,24]．②因为z＝y－4|x|＝所以由图知，当x<0时，z在点B(－4,8)处取得最小值8＋4×(－4)＝－8，在点C(0,4)处取得最大值4，所以当x<0时，z∈[－8,4)．当x≥0时，z在点A(2,2)处取得最小值2－4×2＝－6，在点C(0,4)处取得最大值4－4×0＝4，所以x≥0时，z∈[－6,4]．综上，z＝y－4|x|的取值范围是[－8，4]．
答案：[－6,24] [－8,4]
4.若实数x，y满足则x2＋y2的最小值是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
∵x2＋y2表示可行域内任意一点P(x，y)与原点(0,0)距离的平方，
∴当P在线段AB上且OP⊥AB时，x2＋y2取得最小值，
∴(x2＋y2)min＝2＝.
答案：
5.已知约束条件若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取到最大值，则a的取值范围为________．
解析：作出不等式对应的平面区域，如图阴影部分所示，
当a＝0时，z＝x，
即x＝z，此时不成立．
故a≠0.由z＝x＋ay得y＝－x＋.由解得即A(2,2)．
要使目标函数z＝x＋ay(a≥0)仅在点A(2,2)处取得最大值，
则阴影部分区域在直线y＝－x＋的下方，
即目标函数的斜率k＝－，满足k>kAC，即－>－3.
∵a>0，∴a>，即a的取值范围为.
答案：
突破点(三) 线性规划的实际应用
线性规划的实际应用
解线性规划应用题的一般步骤
[典例] 某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1件需消耗A原料2千克，B原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1 800元 B．2 400元
C．2 800元 D．3 100元
[解析] 设生产甲产品x件，乙产品y件，依题意有目标函数z＝300x＋400y，作出的可行域，其中A(0,6)，B(4,4)，C(6,0)，如图所示．由z＝300x＋400y得y＝－x＋，由图可知，目标函数在点B(4,4)取得最大值，最大值为2 800.所以公司共可获得的最大利润是2 800元．故选C.
[答案] C
[方法技巧]
求解线性规划应用题的三个注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
1．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为( )
A．11 280元 B．12 480元
C．10 280元 D．11 480元
解析：选B 设租用的卡车和农用车分别为x辆和y辆，运完全部黄瓜支出的运费为z元，则目标函数z＝960x＋360y.
如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC内横坐标和纵坐标均为整数的点，其中A(10,8)，B(10,20)，C(6.25,20)．当直线l：z＝960x＋360y经过点A(10,8)时，运费最低，且最低运费为zmin＝960×10＋360×8＝12 480(元)，故选B.
2．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解析：选D 根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，
则目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2,3)时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9
C．1 D．9
解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.
2．已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B．
C．1 D．2
解析：选B 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝，故选B.
3．设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．
解析：画出不等式组
所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，
由解得∴zmin＝－5.
答案：－5
4．若x，y满足约束条件则的最大值为________．
解析：画出可行域如图阴影所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时最大．由得
∴A(1,3)．∴的最大值为3.
答案：3
5．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为
即
目标函数为z＝2 100x＋900y，
由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
作直线2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0并上下平移，易知当直线经过点M时，
z取得最大值，联立解得B(60,100)．
则zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域
1．若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )
A．3 B．
C．2 D．2
解析：选C 因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，故|AB|＝，|AC|＝2，
所以其面积为×|AB|×|AC|＝2.
2．在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选A 易知直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．
当直线y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y＝k(x－1)－1 的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k的取值范围是(－∞，－1)．
3．不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )
解析：选C 由y(x＋y－2)≥0，得或
所以不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项．
4．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为( )
A．(－7,24)
B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
C．(－24,7)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析：选A 由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以(a＋7)·(a－24)<0，所以－7
A. B．
C. D．
解析：选D 由题意，知直线x＋my＋1＝0过定点D(－1,0)，作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示，当m＝0时，直线为x＝－1，此时直线和平面区域没有公共点，故m≠0.x＋my＋1＝0的斜截式方程为y＝－x－，斜率k＝－.要使直线和平面区域有公共点，则直线x＋my＋1＝0的斜率k>0，即k＝－>0，即m<0，且满足kCD≤k≤kAD.
由解得即C(2,1)，CD的斜率kCD＝＝.由解得即A(2,4)，AD的斜率kAD＝＝，即≤k≤，则≤－≤，解得－3≤m≤－，故选D.
对点练(二) 简单的线性规划问题
1．已知△ABC中，A(1,1)，B(1,3)，C(1＋，2)，若点(x，y)在三角形内部(不包含边界)，则z＝－2x＋y的取值范围是( )
A．(－，－1) B．(－1,1)
C．(－2，1) D．(－1，)
解析：选C 如图，画出三角形ABC，其内部即为可行域．当直线y＝2x＋z经过点B时，zmax＝－2＋3＝1，经过点C时，zmin＝－2×(1＋)＋2＝－2.故选C.
2．若实数x，y满足且z＝2x＋y的最小值为4，则实数b的值为( )
A．1 B．2
C. D．3
解析：选D 作出不等式组表示的平面区域如图阴影所示，由图可知z＝2x＋y在点A处取得最小值，且由解得∴A(1,2)．又由题意可知A在直线y＝－x＋b上，
∴2＝－1＋b，解得b＝3，故选D.
3.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，已知点A(－1,2)，则直线AM斜率的最小值为( )
A．－ B．－2 C．0 D．
解析：选B 作出不等式组对应的平面区域如图四边形OBCD及其内部，其中B(2,0)，C(4,6)，D(0,2)．
点A(－1,2)，当M位于O时，AM的斜率最小．
此时AM的斜率k＝＝－2，故选B.
4．若实数x，y满足约束条件则z＝的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．z＝的几何意义是可行域内的点与点D(－1,0)连线的斜率，由图象知直线AD的斜率最大．由得所以A(1,3)，此时z＝＝，即为要求的最大值．
答案：
5．已知变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图所示，因为目标函数y＝－的斜率小于y＝x－1的斜率，
所以目标函数在点A(1,0)时，纵截距－取到最小值，此时z取到最大值为z＝1－0＝1.
答案：1
6．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．
解析：由题中的线性约束条件作出可行域，如图．其中C(0,2)，B(1,1)，D(1,2)．由z＝·＝－x＋y，得y＝x＋z.由图可知，当直线y＝x＋z分别过点C和B时，z分别取得最大值2和最小值0，所以·的取值范围为[0,2]．
答案：[0,2]
对点练(三) 线性规划的实际应用
1．甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖奖品所用原料完全相同， 但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵．两厂具体收费如下表所示，则组委会定做奖品的费用最低为________元.
奖品
工厂
一等奖奖品
二等奖奖品
甲
500
400
乙
800
600
解析：设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，x，y∈N，则乙厂生产一等奖奖品3－x件，二等奖奖品6－y件．由题意得x和y满足设所需费用为z元，则z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6 000.
作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分的整点所示．
平移直线－300x－200y＝0，即y＝－x，由图知当直线z＝－300x－200y＋6 000，即y＝－x＋30－经过点A时，直线的纵截距最大，z最小．由解得即A(3,1)，满足x∈N，y∈N，所以组委会定做奖品的费用最低为z＝－300×3－200＋6 000＝4 900，故由甲厂生产一等奖奖品3件，二等奖奖品1件，其余都由乙厂生产，所需费用最低，最低费用为4 900元．
答案：4 900
2．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．
解析：设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z＝300x＋400y.作出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z＝300x＋400y在点M或其附近的整数点处取得最大值，
由方程组解得则zmax ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利润是1 700元．
答案：1 700
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．
(1)写出表示区域D的不等式组．
(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，
故表示区域D的不等式组为
(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]＜0，
即(14－a)(－18－a)＜0，解得－18＜a＜14.
故a的取值范围是(－18,14)．
2．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＋＝0，可知z＝x－y＋，
过A(3,4)时取最小值－2，过C(1,0)时取最大值1.
所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.
故所求a的取值范围为(－4,2)．
3．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在
y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(20,24)，
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
第三节 基本不等式
本节主要包括2个知识点：
1.利用基本不等式求最值；2.基本不等式的综合问题.
突破点(一) 利用基本不等式求最值
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
1．判断题
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.( )
(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．填空题
(1)设x，y∈R＋，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．
答案：81
(2)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解析：x2＋2y2＝x2＋(y)2≥2x(y)＝2，
所以x2＋2y2的最小值为2.
答案：2
(3)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
解析：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
答案：4
通过拼凑法利用基本不等式求最值
利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
[例1] (1)已知0
C. D．
(2)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
[解析] (1)∵0
(2)∵x>2，∴x－2>0，
∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2·＋2＝2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即(x－2)2＝1时等号成立，
解得x＝1或3.又∵x>2，∴x＝3，
即a等于3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值，故选C.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
通过常数代换法利用基本不等式求最值
[例2] (1)设x，y为正实数，且x＋2y＝1，则＋的最小值为( )
A．2＋2 B．3＋2
C．2 D．3
(2)若θ∈，则y＝＋的取值范围为( )
A．[6，＋∞) B．[10，＋∞)
C．[12，＋∞) D．[16，＋∞)
[解析] (1)因为x，y为正实数，且x＋2y＝1，
所以＋＝(x＋2y)·＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，
当且仅当x＝y＝－1时取等号，所以＋的最小值为3＋2.故选B.
(2)∵θ∈，∴sin2θ，cos2θ∈(0,1)，∴y＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝10＋＋≥10＋2 ＝16，当且仅当＝，即θ＝时等号成立，∴y＝＋的取值范围为[16，＋∞)．故选D.
[答案] (1)B (2)D
[方法技巧]
通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
通过消元法利用基本不等式求最值
[例3]已知函数f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，则的最小值等于________．
[解析] 由函数f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，可知a>1>b>0，
所以lg a＝－lg b，b＝，a－b＝a－>0，
则＝＝a－＋≥2(当且仅当a－＝，即a＝时，等号成立)．
[答案] 2
[方法技巧]
通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．对于一些多元函数求最值的问题，解决方法是消元拼凑后利用基本不等式求解．
1.已知函数y＝x－4＋(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．8
解析：选C y＝x－4＋＝x＋1＋－5，因为x＞－1，所以x＋1＞0，＞0.所以由基本不等式，得y＝x＋1＋－5≥2 －5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
2.已知m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋的最小值为( )
A．4 B．2
C. D．16
解析：选C ∵m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋＝(2m＋n)
＝＋＋≥＋2 ＝，当且仅当n＝，m＝时取等号．故选C.
3.若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为( )
A．2－ B．2＋
C．4＋2 D．4－2
解析：选D ＋＝＋＝1＋－＝1＋
＝1＋＝1＋，
因为xy>0，所以>0，>0.由基本不等式可知＋≥2，
当且仅当x＝y时等号成立，所以1＋≤1＋＝4－2.
4.已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为( )
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
解析：选D ∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴a＝>0，解得b>2，即b－2>0，
则a＋2b＝＋2b＝1＋＋2(b－2)＋4≥5＋2 ＝9，
当且仅当b＝3，a＝3时等号成立，其最小值为9.
突破点(二) 基本不等式的综合问题
关于基本不等式的考题，涉及的知识点较多，常融合于函数、数列、解析几何及实际问题中，此类问题一般难度较大，需要较强的分析问题、解决问题的能力.
基本不等式的实际应用问题
[例1] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
[解] (1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，
由a2x＝4 000，得a＝.
则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·＋160＝80＋4 160(x>1)．
(2)由(1)知，S(x)＝80＋4 160≥80×2＋4 160
＝1 600＋4 160＝5 760.
当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．
[方法技巧]
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
基本不等式与其他知识的交汇问题
考法(一) 基本不等式与线性规划的交汇问题
[例2]已知x，y满足z＝2x＋y的最大值为m，若正数a，b满足a＋b＝m，则＋的最小值为( )
A．9 B．
C. D．
[解析] 画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
z＝2x＋y的几何意义为直线2x＋y－z＝0在y轴上的截距，由图可知，当直线过点M时，直线2x＋y－z＝0在y轴上的截距最大，即目标函数z＝2x＋y取得最大值，由解得M(3,0)，所以z的最大值为2×3＋0＝6，即m＝6，所以a＋b＝6，故＋＝·(a＋b)＝≥＝，
当且仅当＝，即b＝4，a＝2时等号成立．
[答案] B
考法(二) 基本不等式与函数的交汇问题
[例3]已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，2－1)
C．(－1,2－1)
D．(－2－1,2－1)
[解析] 由f(x)>0得32x－(k＋1)3x＋2>0，解得k＋1<3x＋.
而3x＋≥2，∴k＋1<2，即k<2－1.
[答案] B
考法(三) 基本不等式与数列的交汇问题
[例4] 正项等比数列{an}中，a2 018＝a2 017＋2a2 016，若aman＝16a，则＋的最小值等于( )
A．1 B．
C. D．
[解析] 设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由a2 018＝a2 017＋2a2 016，得q2＝q＋2，解得q＝2或q＝－1(舍去)．
又因为aman＝16a，即a·2m＋n－2＝16a，所以m＋n＝6.
因此＋＝(m＋n)＝≥＝，
当且仅当m＝4，n＝2时，等号成立，故选B.
[答案] B
考法(四) 基本不等式与解析几何的交汇问题
[例5]若直线2ax＋by－2＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则＋的最小值是( )
A．2－ B．－1
C．3＋2 D．3－2
[解析] ∵圆心为(1,2)在直线2ax＋by－2＝0上，∴a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝，即a＝2－，b＝－1时等号成立．
[答案] C
[方法技巧]
求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
1.已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．
2.若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选D 因为圆心到直线的距离d＝，
则直线被圆截得的弦长L＝2＝2＝2，所以4a2＋b2＝4.
则t＝a＝·(2a)·≤××
＝·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝，当且仅当时等号成立，此时a＝，故选D.
3.已知变量x，y满足约束条件若z＝ax＋by(a>0，b>0)的最小值为2，则ab的最大值为( )
A．1 B．
C. D．
解析：选D 作出不等式组满足的可行域如图所示，
目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)，故当x，y均取最小值时，z取到最小值．即当x＝2，y＝3时，z＝ax＋by取得最小值2，即2a＋3b＝2，所以2a·3b≤＝1，当且仅当2a＝3b＝1，即a＝，b＝时等号成立，所以(6ab)max＝1，即(ab)max＝.
4.已知函数f(x)＝ln(x＋)，若正实数a，b满足f(2a)＋f(b－1)＝0，则＋的最小值是________．
解析：f(x)＝ln(x＋)的定义域为R，且f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln(x2＋1－x2)＝0，
所以若f(2a)＋f(b－1)＝0，则一定有2a＋b－1＝0即2a＋b＝1.
故＋＝＋＝2＋＋＋1.
又a>0，b>0，所以＋≥2，当且仅当b＝a时等号成立，
所以＋的最小值为3＋2.
答案：3＋2
5.某品牌电脑体验店预计全年可以销售360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金，经理决定分批购入，若每批都购入x台(x为正整数)，则每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比，且每批购入20台时，全年需用去运费和保管费7 800元．
(1)求全年所付运费和保管费之和y关于x的函数关系式；
(2)若全年只有8 000元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量；如果不够用，最少还需多少？
解：(1)设储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑总价值的比例系数为k，
则y＝×300＋k(3 000×x)＝＋3 000kx.
又当x＝20时，y＝7 800，代入可得k＝0.04.
故所求y关于x的函数关系式为y＝＋120 x(x∈N*)．
(2)由(1)知，y＝＋120x(x∈N*)．根据基本不等式可得，
y＝＋120x≥2＝2×3 600＝7 200，
当且仅当＝120x，即x＝30时，等号成立．
故当每批购入30台时，支付的运费和保管费最低，为7 200元，此时资金够用.
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 利用基本不等式求最值
1.若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析：选C 由a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选D ∵1＝2x＋2y≥2
＝2，
∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.
3．若正实数x，y满足(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，则x＋的最大值为( )
A．－1＋ B．1
C．1＋ D．
解析：选A 由(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，
即(2xy－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，得2＋2＝9，
又2＋2≥＝，
当且仅当2x－＝2＋时等号成立，所以2≤18，得2x＋≤3－2，
所以x＋≤，所以x＋的最大值为－1＋.故选A.
4．设x>0，y>0，且2＝，则当x＋取最小值时，x2＋＝________.
解析：∵x>0，y>0，∴当x＋取最小值时，2取得最小值，
∵2＝x2＋＋，又2＝，∴x2＋＝＋，
∴2＝＋≥2 ＝16，∴x＋≥4，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，
∴当x＋取最小值时，x＝2y，x2＋＋＝16，∴x2＋＋＝16，
∴x2＋＝16－4＝12.
答案：12
5．已知x，y为正实数，则＋的最小值为________．
解析：∵x，y为正实数，则＋＝＋＋1＝＋＋1，
令t＝，则t>0，∴＋＝＋t＋1＝＋t＋＋≥2＋＝，
当且仅当t＝时取等号．∴＋的最小值为.
答案：
对点练(二) 基本不等式的综合问题
1．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选C ∵当x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，
∴函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A(－2，－1)．
∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.
∵m>0，n>0，∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8，
当且仅当m＝，n＝时取等号．故选C.
2．当0
C．[－4,2] D．[－2,4]
解析：选D 因为0
又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.
所以实数k的取值范围是[－2,4]．故选D.
3．设a＝，b＝p，c＝x＋y，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2]
C. D．
解析：选A 对任意的正实数x，y，由于a＝≥＝，当且仅当x＝y时等号成立，b＝p，c＝x＋y≥2，当且仅当x＝y时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，
∴解得1
A．0 B．
C. D．1
解析：选B 因为函数f(x)＝ax3－2x2＋cx在R上单调递增，
所以f′(x)＝ax2－4x＋c≥0在R上恒成立．所以
所以ac≥4，又ac≤4，所以ac＝4，又a>0，所以c>0，
则＋＝＋＝＋＝－＋－
＝＋－≥2 －＝1－＝，当且仅当a＝c＝2时等号成立，故选B.
5．已知点P(x，y)到点A(0,4)和到点B(－2,0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________．
解析：由题意得，x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，整理得x＋2y＝3，
∴2x＋4y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时等号成立，
故2x＋4y的最小值为4.
答案：4
6．设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2017＝4 034，则＋的最小值为________．
解析：由等差数列的前n项和公式，
得S2 017＝＝4 034，则a1＋a2 017＝4.
由等差数列的性质得a9＋a2 009＝4，
所以＋＝＝
＝≥＝4，
当且仅当a2 009＝3a9时等号成立．
答案：4
[大题综合练——迁移贯通]
1．设a，b∈R，a2＋b2＝2，求＋的最小值．
解：由题意知a2＋b2＝2，a2＋1＋b2＋1＝4，
∴＋＝(a2＋1＋b2＋1)＝≥，
当且仅当＝，即a2＝，b2＝时等号成立，
∴＋的最小值为.
2．已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.
(1)求＋的最小值．
(2)是否存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5？并说明理由．
解：(1)因为＋＝＝≥＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，
所以＋的最小值为2.
(2)不存在．理由如下：
因为x2＋y2≥2xy，
所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)．
又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.
从而有(x＋1)(y＋1)≤2≤4，
因此不存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5.
3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．
(2)因为8
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
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