高考数学(文数)一轮复习课时练习：4.3《数系的扩充与复数的引入》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．复数＝(　　)

A．i　　　　　　　　　 B．－i

C．2(＋i)  D．1＋i

解析：复数＝＝i，故选A.

答案：A

2．已知复数z＝，则z的共轭复数是(　　)

A．1－i  B．1＋i

C．i  D．－i

解析：因为z＝＝1＋i，从而z的共轭复数为1－i.

答案：A

3．若＝a＋bi(a，b∈R)，i是虚数单位，则乘积ab的值是(　　)

A．－15  B．3

C．－3  D．5

解析：＝＝－1＋3i，∴a＝－1，b＝3，ab＝－3.

答案：C

4．若z＝4＋3i，则＝(　　)

A．1  B．－1

C.＋i  D.－i

解析：＝＝－i，故选D.

答案：D

5．已知i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：＝1＋i，其在复平面内对应的点为(1,1)，故选A.

答案：A

6．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)

A．－1  B．0

C．1  D．2

解析：由于(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，

所以，解得a＝0.故选B.

答案：B

7．已知i是虚数单位，复数z满足－＝，则|z|＝(　　)

A．1  B.

C.  D．2

解析：因为＝，即＝，也即＝－i，

故(1－i)z＝－1－i，所以z＝－＝－＝－i，则|z|＝1，应选A.

答案：A

8.如图，在复平面内，表示复数z的点为A，则复数对应的点在(　　)

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

解析：由图可得z＝－2＋i，所以＝＝＝，

则对应的点在第三象限，故选C.

答案：C

9．若z＝1＋2i，则＝(　　)

A．1  B．－1

C．i  D．－i

解析：＝＝i.

答案：C

10．已知复数z满足z(1－i)＝4(i为虚数单位)，则z＝(　　)

A．1＋i  B．－2－2i

C．－1－i  D．1－i

解析：由题意，得z＝＝＝1＋i，故选A.

答案：A

11．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)

A．3＋4i  B．5＋4i

C．3－4i  D．5－4i

解析：由a－i与2＋bi互为共轭复数，可得a＝2，b＝1，故(a＋bi)2＝(2＋i) 2＝3＋4i.

答案：A

12．已知i是虚数单位，复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点位于直线y＝2x上，则a＝(　　)

A．2  B.

C．－2  D．－

解析：z＝＝＝＋i，其对应的点的坐标为，

又该点位于直线y＝2x上，所以a＝.

答案：B

13．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．

解析：因为z＝＝1－i，所以z的实部是1.

答案：1

14．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．

解析：(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以b＝1，a＝2，＝2.

答案：2

15．|1＋i|＋2＝__________.

解析：原式＝＋＝＋＝＋＋＝i.

答案：i

16．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是__________．

解析：由复数相等的充要条件可得消去m得4－4cos2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sin θ＋4＝4sin2θ－3sin θ＝42－.因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sin θ∈.

答案：

B组　能力提升练

1．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)

A．－2－i  B．－2＋i

C．2－i  D．2＋i

解析：因为(z－1)i＝1＋i，所以z＝＋1＝2－i，选C.

答案：C

2．设z＝＋i，则|z|＝(　　)

A.  B.

C.  D．2

解析：＋i＝＋i＝＋i＝＋i，则|z|＝＝，选B.

答案：B

3．若复数z满足i·z＝－(1＋i)，则z的共轭复数的虚部是(　　)

A．－i  B. i

C．－  D.

解析：由题意，得z＝－·＝－·＝－＋i，所以z的共轭复数的虚部是－，故选C.

答案：C

4．若z＝(a2－1)＋(a－1)i为纯虚数，其中a∈R，则等于(　　)

A．－i  B．i

C．1  D．1或i

解析：由题意解得a＝－1，所以＝＝＝＝i.故选B.

答案：B

5．已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面内复数对应的点在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析： 由题可知＝＝＝＝＝＝＋i，

所以其在复平面内对应的点的坐标为，该点在第一象限，故选A.

答案：A

6.＝(　　)

A．－1－i  B．－1＋i

C．1＋i  D．1－i

解析：＝＝＝＝－1＋i.

答案：B

7．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则＝(　　)

A.＋i         B.＋i           C．－－i       D．－－i

解析：由题图知z1＝－2－i，z2＝i，

则＝－＝－＝－＝－.故选C.

答案：C

8．若复数z＝＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是(　　)

A．－4  B．－3

C．1  D．2

解析：若z＝＋a＝(3＋a)－ai在复平面上对应的点在第二象限，则a<－3，选A.

答案：A

9．复数在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：＝＝＝－＋i，对应的点的坐标为，位于第二象限．

答案：B

10．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝(　　)

A．2  B．－2

C．±2  D．－

解析：由题意可得＝－＋i，即＝＝－＋i，

∴＝－，＝，∴a＝－2，故选B.

答案：B

11．已知复数z＝(cos θ－isin  θ)(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是(　　)

A．θ＝  B．θ＝

C．θ＝  D．θ＝

解析：z＝(cos θ－isin  θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i.z是纯虚数等价于，等价于θ＝π＋kπ，k∈Z.故选C.

答案：C

12．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为__________．

解析：复数z＝x＋yi且|z－2|＝，复数z的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，为半径的圆(x－2)2＋y2＝3.的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率，设＝k，

即y＝kx，≤，可得k∈[－，]，则的最大值为.

答案：

13．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.

解析：(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1.

答案：－1

14．若＝ad－bc，则满足等式＝0的复数z＝________.

解析：因为＝0，所以z(1＋i)＝－i(1－i)，即z＝＝＝－1.

答案：－1

15．在复平面内，复数对应的点到直线y＝x＋1的距离是________．

解析：＝＝1＋i，所以复数对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x＋1的距离为＝.

答案：