备战2024年高考总复习一轮（数学）选修4—4 坐标系与参数方程 第1节 极坐标方程与参数方程课件PPT

这是一份备战2024年高考总复习一轮（数学）选修4—4 坐标系与参数方程 第1节 极坐标方程与参数方程课件PPT，共41页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础固本增分，研考点精准突破，逆时针，xOM，Mρθ，θπ+θ0，ρcosθa，ρsinθb，acosθ等内容，欢迎下载使用。

1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ: 的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个　　　　O,叫做极点;自极点O引一条　　　　Ox,叫做极轴;再选定一个　　　　单位、一个　　　　单位(通常取　　　　)及其正方向(通常取　　　　　方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离　　　　　　叫做点M的极径,记为　　　;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角　　　　叫做点M的极角,记为　　　.有序数对　　　　　叫做点M的极坐标,记为　　　　　　. 
3.极坐标与直角坐标的互化(1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ).
(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).
4.直线的极坐标方程(1)若直线过点M(ρ0,θ0),且从极轴到此直线的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)=　　　　　　　　. (2)几个特殊位置的直线的极坐标方程:①直线过极点:θ=θ0(ρ∈R)或　　　　　　(ρ∈R); ②直线过点M(a,0),且垂直于极轴:　　　　　　; 
ρ0sin(θ0-α)
5.圆的极坐标方程(1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为　　　　　　　　　　　　. (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程:①圆心位于极点,半径为r:ρ=　　; ②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=　　 　; 
微点拨1.由极坐标的定义可知平面上点的极坐标不是唯一的,如果规定ρ>0,θ∈[0,2π),那么平面内的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)是一一对应的.2.由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ=ρ(θ)的图形的对称性:若ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称;若ρ(θ)=ρ(π-θ),则图形关于射线θ= 所在的直线对称;若ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关于极点O对称.
6.曲线的参数方程定义:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值,由上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的　　　　　　,其中变数t称为　　　　. 
微点拨1.参数方程通过代入消元法或加减消元法消去参数化为普通方程,要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致.2.普通方程化为参数方程需要引入参数,选择的参数不同,所得的参数方程也不一样.一般地,常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标).
考向1直角坐标方程化为参数方程或极坐标方程例1(2021全国乙,文22)在直角坐标系xOy中,☉C的圆心为C(2,1),半径为1.(1)写出☉C的一个参数方程;(2)过点F(4,1)作☉C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
规律方法 直角坐标方程化为参数方程或极坐标方程的方法(1)将直角坐标方程化为参数方程时,首先确定一个适当的参数,然后用该参数表示出直角坐标方程中的x,y;(2)直角坐标方程化为极坐标方程的方法是直接将互化公式 代入直角坐标方程化简整理.
对点训练1(2022陕西咸阳三模)在直角坐标系xOy中,☉C的圆心C(1,2),半径为2,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程是θ= (ρ∈R).(1)求☉C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;(2)若直线l与☉C相交于A,B两点,求线段AB的长.
解:(1)因为☉C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-2)2=4,根据极坐标与直角的互化公式,可得☉C的极坐标方程为(ρcs θ-1)2+(ρsin θ-2)2=4,化简得ρ2-2ρcs θ-4ρsin θ+1=0,即☉C的极坐标方程为ρ2-2ρcs θ-4ρsin θ+1=0,又因为由直线l的极坐标方程是θ= (ρ∈R),可得直线l的直角坐标方程为y=x.
考向2参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程例2(2022全国甲,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(1)写出C1的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C3的极坐标方程为2cs θ-sin θ=0,求C3与C1交点的直角坐标,及C3与C2交点的直角坐标.
规律方法 参数方程或极坐标方程化为直角坐标方程的方法(1)极坐标方程化为直角坐标方程一般是互化公式 的逆用,有时需要构造形如ρcs θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.(2)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.
考向3参数方程与极坐标方程间的互化例3在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数, a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cs θ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
规律方法 参数方程与极坐标方程间的互化方法
例4(2020全国Ⅱ,文22)已知曲线C1,C2的参数方程分别为
(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.
规律方法 求曲线或轨迹的极坐标方程的方法由于点的极坐标是用长度与角度表示的,所以建立极坐标方程常常可以通过寻找一个三角形的边角关系来进行.因此寻找这样的三角形就成了解题的关键.
对点训练4(2022陕西宝鸡三模)如图,在极坐标系中,已知点M(2,0),曲线C1是以极点O为圆心,以OM为半径的半圆,曲线C2是过极点且与曲线C1相切于点(2, )的圆.(1)分别写出曲线C1,C2的极坐标方程;(2)直线θ=α(0<α<π,ρ∈R)与曲线C1,C2分别相交于点A,B(异于极点),求△ABM面积的最大值.
解:(1)由题意可知,曲线C1是以极点O为圆心,以2为半径的半圆,结合图形可知,曲线C1的极坐标方程为ρ=2(0≤θ≤π).设P(ρ,θ)为曲线C2上的任意一点,可得ρ=2cs( -θ)=2sin θ.因此,曲线C2极坐标方程为ρ=2sin θ(0≤θ≤π).(2)因为直线θ=α(0<α<π,ρ∈R)与曲线C1,C2分别相交于点A,B(异于极点),设A(ρA,α),B(ρB,α),由题意得ρB=2sin α,ρA=2,所以|AB|=|ρA-ρB|=2-2sin α.
例5(2021全国甲,文22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2 cs θ.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满足 ,写出P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点.
规律方法 当动点坐标x,y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x,y与某一变数t的关系,得到x,y与参变数t的关系式,即为动点的轨迹的参数方程.
对点训练5在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cs θ.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)为解决倍立方体问题,数学家引用了蔓叶线.设M为C上的动点,M关于x=1的对称点为N(M,N不与原点重合),M在x轴的射影为点H,直线ON与直线MH的交点为P,点P的轨迹就是蔓叶线.请写出点P的轨迹的参数方程.
解:(1)由曲线C的极坐标方程ρ=2cs θ,可得ρ2=2ρcs θ,∴x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,即曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.(2)如图,设P(x,y),M(1+cs θ,sin θ),N(1-cs θ,sin θ),其中M,N不与原点重合,即cs θ≠-1且cs θ≠1.