数学浙教版4.3 相似三角形课后练习题

这是一份数学浙教版4.3 相似三角形课后练习题，共19页。试卷主要包含了若两个相似三角形的面积比是16等内容，欢迎下载使用。


考点一： 利用三角形相似性质求解
例1．若两个相似三角形的面积比是16:9，则这两个三角形对应边上的高之比是（ ）
A．16:9B．9:16C．3:4D．4:3
变式1-1．如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且CE⊥DB．若AB=2，AD=72，则CE的长是（ ）
A．76565B．72C．146565D．286565
变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽△ODC，其中点A的坐标为−2,0，点C的坐标为1,0，则△ABC与△ODC的面积比是（ ）
A．9:1B．3:1C．4:1D．2:1
考点二：利用三角形相似求坐标
例2．如图，点A、B、C、D的坐标分别是1,0、5,0、3,2、4,1，如果以点C、D、E为顶点的直角三角形与△ABC相似，则E点的坐标可能是下列的（ ）
①2,1 ②3,1 ③4,2 ④5,2

A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
变式2-1．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y=1xx>0的图象上，点C在函数y=−4xx<0的图象上，若点B的横坐标为−72，则点A的坐标为（ ）
A．12,2B．22,2C．2,12D．2,22
变式2-2．已知直角坐标系中四点A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0)．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
考点三：相似三角形动点问题
例3．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）

A．2411sB．95sC．2411s或95sD．以上均不对
变式3-1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t(s)(0A．2013B．2320C．4023D．52
变式3-2．如图，⊙O半径为5，弦AB=8，Q是弦AB上的一个动点，过点Q作弦PC，在点Q运动过程中，始终保持A点是PC的中点，则AP+QB长度的最大值为（ ）
A．8B．9.5C．10D．12
考点四：相似三角形性质综合
例4．如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，点D在边AB上，且AD=2，在AC上找一点E．便得△ADE与原三角形相似，则AE的长是（ ）
A．2.4B．53C．2.4或53D．2.4或35
变式4-1．西周数学家商高总结了用“矩”（如图）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x(m),EG=y(m)，若a=30cm,b=60cm,AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y=12xB．y=12x+1.6
C．y=2x+1.6D．y=180x+1.6
变式4-2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E．已知AE=4，EC=6，则EFBF的值为（ ）

A．3030B．255C．3010D．55
考点五：相似三角形的应用
例5．如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王刚身高（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王刚（ ）m处才能观测到大树的顶端．

A．1B．2C．3D．4
变式5-1．如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则像CD到小孔O的距离为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
变式5-2．图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD为5尺，不知其深AD．立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入径CF”为4寸，问井深AD是多少？（其中1尺=10寸）”根据译文信息，则井深AD为（ ）
A．500寸B．525寸C．550寸D．575寸
参考答案
考点一： 利用三角形相似性质求解
例1．若两个相似三角形的面积比是16:9，则这两个三角形对应边上的高之比是（ ）
A．16:9B．9:16C．3:4D．4:3
【答案】D
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是16:9
∴这两个相似三角形的相似比是4:3
∴这两个相似三角形对应边上的高之比是4:3．
故选：D．
变式1-1．如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且CE⊥DB．若AB=2，AD=72，则CE的长是（ ）
A．76565B．72C．146565D．286565
【答案】D
【详解】由勾股定理得DB=AD2+AB2=722+22=652，
∵ AB∥DC，CE⊥DB，∠A=90°
∴ ∠ABD=∠CDE，∠CED=90°=∠A，
∴ △DAB∽△CED，
∴ CEAD=CDDB，
∴ CE72=4652，
解得CE=286565，
故选：D．
变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽△ODC，其中点A的坐标为−2,0，点C的坐标为1,0，则△ABC与△ODC的面积比是（ ）
A．9:1B．3:1C．4:1D．2:1
【答案】A
【详解】解：∵点A的坐标为−2,0，点C的坐标为1,0，
∴OA=2,OC=1，
∴AC=3，
∵△ABC∽△ODC，
∴相似比为：ACOC=31，
∴△ABC与△ODC的面积比是9:1，
故选：A
考点二：利用三角形相似求坐标
例2．如图，点A、B、C、D的坐标分别是1,0、5,0、3,2、4,1，如果以点C、D、E为顶点的直角三角形与△ABC相似，则E点的坐标可能是下列的（ ）
①2,1 ②3,1 ③4,2 ④5,2

A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【详解】解：在△ABC中，AB=4，BC=AC=22，则△ABC是等腰直角三角形，
∵∠ACB=90°，
①、当点E的坐标为(2,1)时，∠DCE=90°，CE=CD=2，则△DCE∽△BCA，故符合题意；
②、当点E的坐标为(3,1)时，∠CED=90°，CE=DE=1，则△CED∽△ACB，故符合题意；
③、当点E的坐标为(4,2)时，∠CED=90°，CE=DE=1，则△CED∽△ACB，故符合题意；
④、当点E的坐标为(5,2)时，∠CDE=90°，CD=DE=2，则△CDE∽△ACB，故符合题意；
故选：D．

变式2-1．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y=1xx>0的图象上，点C在函数y=−4xx<0的图象上，若点B的横坐标为−72，则点A的坐标为（ ）
A．12,2B．22,2C．2,12D．2,22
【答案】A
【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴，
∵点A在函数y=1xx>0的图象上，点C在函数y=−4xx<0的图象上，
∴S△OCE=2，S△OAF=12，
∵CE⊥x轴，
∴∠CEO=90°，∠OCE+∠COE=90°，
∵在矩形OABC中，∠AOC=90°，
∴∠AOF+∠COE=90°，
∴∠OCE=∠AOF，
∴△OCE∼△AOF，
∴CEOF=OEAF=S△OCES△OAF=2，
∴CE=2OF，OE=2AF，
设点A坐标为(x,1x)，则点C坐标为(−2x,2x,)，
连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点，
∴x+(−2x)=−72，
解得：x1=12，x2=−4（不合题意，舍去），
∴点A坐标为(12,2)，
故选A．
变式2-2．已知直角坐标系中四点A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0)．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【详解】解：如图，P有四种情况，
①∵△ABP1∼△P1DC，
∴BP1DC=ABP1D，
设BP1=x，
x3=4x+4，
x1=2，x2=−6（舍去），
P1−4,0；
②∵△ABP2∼△CDP2，
∴ABCD=BP2DP2，
设DP2=x，
43=4−xx，
x=127，
P227,0；
③∵△ABP3∼△P3DC，
∴ABP3D=BP3DC，
设P3D=x，
4x=4+x3，
x1=2，x2=−6（舍去），
P34,0；
④∵△ABP4∼△CDP4，
∴ABCD=BP4DP4，
设DP4=x，
43=4+xx，
x=12，
P414,0．
故选：B．
考点三：相似三角形动点问题
例3．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）

A．2411sB．95sC．2411s或95sD．以上均不对
【答案】C
【详解】解：设运动时间为ts，
由题意得：BP=t，CQ=2t，
∵AB=8,BC=6，
∴BQ=BC−CQ=6−2t，点P从点B运动到点A所需时间为81=8s，点Q从点C运动到点B所需时间为62=3s，
∴0∵AB=AC≠BC，
∴∠B=∠C≠∠A，
①当△BPQ∽△BAC时，
则BPAB=BQBC，即t8=6−2t6，
解得t=2411，符合题意；
②当△BQP∽△BAC时，
则BQAB=BPBC，即6−2t8=t6，
解得t=95，符合题意；
③当△BPQ∽△CAB时，
则BQBC=BPAC，即6−2t6=t8，
解得t=2411，符合题意；
④当△BQP∽△CAB时，
则BQAC=BPBC，即6−2t8=t6，
解得t=95，符合题意；
综上，运动时间为2411s或95s，
故选：C．
变式3-1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t(s)(0A．2013B．2320C．4023D．52
【答案】A
【详解】解：如图2，连接PP′，PP′交QC相交于点E，当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，
∵∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴ AB=AC2+BC2=42+32=5，
∵点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s
∴AP=5−t，
∵PE⊥AC，∠ACB=90°，
∴PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∴ AEAC=APAB，
∴ AE4=5−t5，
∴ AE=−45t+4，
∴ QE=AE−AQ=−45t+4−t=−95t+4，
又∵ QE=12QC=12×(4−t)=−12t+2，
∴ −95t+4=−12t+2，
解得t=2013，
∵ 0<2013<4，
∴当四边形PQP′C是菱形时，t的值为2013；
故选A．
变式3-2．如图，⊙O半径为5，弦AB=8，Q是弦AB上的一个动点，过点Q作弦PC，在点Q运动过程中，始终保持A点是PC的中点，则AP+QB长度的最大值为（ ）
A．8B．9.5C．10D．12
【答案】C
【详解】解：连接AC，
∵A点是PC的中点，
∴PA=AC，
∴∠PBA=∠APQ
又∵∠PAQ为公共角，
∴△APQ∽△ABP，
∴APAB=AQAP，
设AP=x，有x8=AQx，AQ=18x2，
AP+QB=AP+(AB−AQ)=x+8−18x2=−18(x−4)2+10
当x=4时AP+QB取最大值10；
故选：C．
考点四：相似三角形性质综合
例4．如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，点D在边AB上，且AD=2，在AC上找一点E．便得△ADE与原三角形相似，则AE的长是（ ）
A．2.4B．53C．2.4或53D．2.4或35
【答案】C
【详解】解：由题意知，分△ADE∽△ABC，△AED∽△ABC两种情况求解；
当△ADE∽△ABC时，AEAC=ADAB，即AE6=25，
解得，AE=2.4；
当△AED∽△ABC时，AEAB=ADAC，即AE5=26，
解得，AE=53；
综上所述，AE的长是2.4或53，
故选：C．
变式4-1．西周数学家商高总结了用“矩”（如图）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x(m),EG=y(m)，若a=30cm,b=60cm,AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y=12xB．y=12x+1.6
C．y=2x+1.6D．y=180x+1.6
【答案】B
【详解】解：由图2可得，AF=BG=xm,EF=EG−FG,FG=AB=1.6m,EG=ym，
∴EF=(y−1.6)m，
∵CD⊥AF,EF⊥AF，
∴CD∥EF，
∴△ADC∽△AFE，
∴CDEF=ADAF，
即30EF=60AF，
∴30y−1.6=60x，
化简，得y=12x+1.6，
故选：B．
变式4-2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E．已知AE=4，EC=6，则EFBF的值为（ ）

A．3030B．255C．3010D．55
【答案】B
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，AB=CD，AO=CO，
∴∠AFD=∠CDF，
∵DF⊥AB，
∴∠AFD=90°，
∴∠CDF=90°，
∴∠CDE=∠COD=90°，
又∵∠DCE=∠OCD，
∴△CDE∽△COD，
∴CDCO=CECD，
即CD2=CO⋅CE，
∵AE=4，EC=6，
∴AC=AE+CE=4+6=10，
∴AO=CO=5，
∴OE=AO−AE=5−4=1，
∴CD2=5×6=30，
即CD=30，
∴AB=CD=30，
∵AB∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
∴AECE=AFCD，
∴46=AF30，
∴AF=2303，
∴BF=AB−AF=30−2303=303，
∴EF=AE2−AF2=263
∴EFBF=263303=255．
故选：B．
考点五：相似三角形的应用
例5．如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王刚身高（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王刚（ ）m处才能观测到大树的顶端．

A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：由题意得：∠APB=∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB，BD=8，AB=1.6，CD=4.8，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴BPDP=ABCD，
∴BP8−BP=1.64.8，
解得：BP=2，
经检验，BP=2是原方程的解且符合题意，
∴将平面镜P放置在离王刚2m处才能观测到大树的顶端．
故选：B．
变式5-1．如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则像CD到小孔O的距离为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【答案】C
【详解】解：设像CD到小孔O的距离为xcm
由题意得AB∥CD,
∴∠ABO=∠DCO，∠BAO=∠CDO,
∴△ABO∽△DCO
∴CDAB=x18，
解得x=3,
故选C．
变式5-2．图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD为5尺，不知其深AD．立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入径CF”为4寸，问井深AD是多少？（其中1尺=10寸）”根据译文信息，则井深AD为（ ）
A．500寸B．525寸C．550寸D．575寸
【答案】D
【详解】解：由题意得：CD=50寸，CE=50寸，CF=4寸，AD∥CE，
∴DF=CD−CF=46寸，
∵AD∥CE，
∴△ADF∽△ECF，
∴ADDF=CECF，即AD46=504，
∴AD=575寸，
故选：D．