2025届高考数学一轮复习教师用书第七章第三节等比数列讲义（Word附解析）

第三节　等比数列【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.等比数列的有关概念【微点拨】(1)等比数列中不含有0项;(2)同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.2.等比数列的前n项和公式【微点拨】　在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.3.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an=a1q·qn,而y=a1q·qx(q≠1)是一个不为0的常数a1q与指数函数qx的乘积,从图象上看,表示数列a1q·qn中的各项的点是函数y=a1q·qx的图象上孤立的点.4.等比数列的性质(1)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则am·an=ap·aq.特别地,若m+n=2p,则am·an=ap2.(2)若等比数列前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(公比q≠-1).(3)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是等比数列.(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.(5)等比数列{an}的单调性:当q>1,a1>0或01,a1<0或00时,数列{an}是递减数列;当q=1时,数列{an}是常数列.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是(　　)A.满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列B.三个数a,b,c成等比数列的必要不充分条件是b2=acC.数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=a(1-an)1-aD.如果数列{an}为正项等比数列,则数列{ln an}是等差数列【解析】选BD.A中q不能为0;B中当a=b=c=0时满足b2=ac,但不是等比数列;C中a=1时不成立;D中,an>0,设an=a1qn-1,则ln an=ln a1+(n-1)ln q,{ln an}是等差数列.2.(选择性必修第二册P29例1·变形式)若{an}是各项均为正数的等比数列,且a1=1,a5=16,则a6-a5=(　　)A.32 B.-48 C.16 D.-48或16【解析】选C.由题意,q>0,则q=2,所以a6-a5=a5(q-1)=16.3.(忽视前n项和的条件致误)等比数列{an}中,a3=6,前三项和S3=18,则公比q的值为(　　)A.1 B.-12C.1或-12 D.-1或-12【解析】选C.因为S3=18,a3=6,所以a1+a2=a3q2(1+q)=12,故2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12.4.(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=________. 【解析】设{an}的公比为q(q≠0),则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,显然an≠0,则a4=q2,即a1q3=q2,则a1q=1.因为a9a10=-8,则a1q8·a1q9=-8,则q15=(q5)3=-8=(-2)3,则q5=-2,则a7=a1q·q5=q5=-2.答案:-2【巧记结论·速算】1.若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),{1an},{an2},{an·bn},anbn仍是等比数列.2.当{an}是等比数列且q≠1时, Sn=a11-q-a11-q·qn=A-A·qn.【即时练】1.设n∈N*,则“数列{an}为等比数列”是“数列1an2为等比数列”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.充分性:若数列an为等比数列,公比为q,所以数列1an2为公比为1q2的等比数列,充分性成立;必要性:若数列1an2为等比数列,公比为q,则anan-1=±1q,所以数列an不是等比数列,必要性不成立.2.已知数列{an}的前n项和Sn=22n+1+a,若此数列为等比数列,则a=________. 【解析】因为数列an的前n项和Sn=22n+1+a=2×4n+a,所以a=-2.答案:-2【核心考点·分类突破】考点一　等比数列基本量的计算[例1](1)(一题多法)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a5-a3=12,a6-a4=24,则Snan=(　　)A.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-1【解析】选B.方法一:设等比数列{an}的公比为q,则由a5-a3=a1q4-a1q2=12,a6-a4=a1q5-a1q3=24,解得a1=1,q=2,所以Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1,an=a1qn-1=2n-1,所以Snan=2n-12n-1=2-21-n.方法二:设等比数列{an}的公比为q,因为a6-a4a5-a3=a4(1-q2)a3(1-q2)=a4a3=2412=2,所以q=2,所以Snan=a1(1-qn)1-qa1qn-1=2n-12n-1=2-21-n.(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3a11=2a32,且S8+S24=mS16,则m= (　　)A.-4 B.4 C.-83 D.83【解析】选D.因为a3a11=2a32,且an≠0,所以a11=2a3即a1q10=2a1q2,解得q8=2或q=0(舍去),因为S8+S24=mS16,所以a1(1-q8)1-q+a1(1-q24)1-q=m·a1(1-q16)1-q,又因为q8=2,a1≠0,所以-8=-3m,解得m=83.【解题技法】等比数列基本量的计算(1)等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解;(2)注意观察条件转化式的特点,尽量采用整体消元、代入的方法简化运算,如两式相除就是等比数列中常用的运算技巧.【对点训练】1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=(　　)A. 16 B. 8 C.4 D. 2【解析】选C.设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q,则a1+a1q+a1q2+a1q3=15,a1q4=3a1q2+4a1,解得a1=1q=2,所以a3=a1q2=4.2.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列1an的前5项和为(　　)A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158【解析】选C.若q=1,则由9S3=S6,得9×3a1=6a1,则a1=0,不满足题意,故q≠1.由9S3=S6,得9×a1(1-q3)1-q=a1(1-q6)1-q,解得q=2.故an=a1qn-1=2n-1,1an=(12)n-1.所以数列1an是以1为首项,以12为公比的等比数列,所以数列1an的前5项和为T5=1×[1-(12) 5]1-12=3116.【加练备选】　　　设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=(　　)A.32 B.12 C.23 D.2【解析】选A.因为在等比数列an中,S2=3a2+2,S4=3a4+2,所以S4-S2=a3+a4=3(a4-a2),所以a2(q+q2)=3a2(q2-1),又a2≠0,所以q+q2=3(q2-1),即2q2-q-3=0,又q>0,所以q=32.考点二　等比数列的判定与证明[例2]已知数列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*),(1)求证:数列an+n2为等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)因为2an+1=6an+2n-1(n∈N*),所以an+1=3an+n-12,所以an+1+n+12an+n2=3an+n-12+n+12an+n2=3an+32nan+n2=3,因为a1+12=1+12=32,所以数列an+n2是首项为32,公比为3的等比数列.(2)由(1)得,an+n2=32×3n-1=12×3n,所以an=12×3n-n2.【解题技法】等比数列的判定方法【对点训练】　数列{an}中,a1=2,an+1=n+12nan(n∈N*).证明数列{ann}是等比数列,并求数列{an}的通项公式.【解析】由题设得an+1n+1=12·ann,又a11=2,所以数列{ann}是首项为2,公比为12的等比数列,所以ann=2×(12)n-1=22-n,an=n·22-n=4n2n.【加练备选】　 成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3,b4,b5.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列{Sn+54}是等比数列.【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d,依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以数列bn中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去),故数列bn的第3项为5,公比为2.由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=54.所以数列bn是以54为首项,以2为公比的等比数列,其通项公式为bn=54·2n-1=5·2n-3.(2)数列bn的前n项和Sn=54(1-2n)1-2=5·2n-2-54,即Sn+54=5·2n-2,所以S1+54=52,Sn+1+54Sn+54=5·2n-15·2n-2=2.因此{Sn+54}是以52为首项,以2为公比的等比数列.考点三　等比数列性质的应用【考情提示】等比数列的性质作为解决等比数列问题的工具,因其考查数列知识较全面而成为高考命题的热点,重点解决基本量运算、条件转化等.角度1 等比数列项的性质[例3]已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,a2a4=9,9S4=10S2,则a2+a4的值为(　　)A.30 B.10 C.9 D.6【解析】选B.已知an为各项均为正数的等比数列,则an>0,可得a1>0,q>0,因为a32=a2a4=9, 所以a3=3,又因为9S4=10S2,则9(a1+a2+a3+a4)=10(a1+a2),可得9(a3+a4)=a1+a2,所以a3+a4a1+a2=q2=19,解得q=13,故a2+a4=a3q+a3q=10.角度2 等比数列前n项和的性质[例4]已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为(　　)A.10 B.15 C.20 D.25【解析】选C.由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,由S8-2S4=5,可得S8-S4=S4+5.又由等比数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.于是a9+a10+a11+a12=S12-S8=(S4+5)2S4=S4+25S4+10≥2S4·25S4+10=20,当且仅当S4=5时等号成立.所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.角度3 等比数列的单调性[例5]已知{an}是等比数列,a1>0,前n项和为Sn,则“2S80, 2S80,所以q<0或q>1,所以2S81.又a1>0,数列an为递增数列的充要条件为q>1,所以“2S81,解得a2=4,a4=9,则q2=94,因为q>1,所以q=32.2.设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn,若-a10,所以q=a2a1<1,因为-a1-1,所以-10,a2<0,a3>0,a4<0且a3+a4>0,Sn有最小项S2,没有最大项,C错误,D正确.3.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若an>0,S3=5,a7+a8+a9=20,则S15=________. 【解析】由等比数列的性质可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12是等比数列,由条件可知S3=5,S9-S6=20,则此等比数列的公比q2=205=4,又an>0,所以q=2,S15=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)+(S15-S12),所以S15=5(1-25)1-2=155.答案:155课程标准1.理解等比数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.3.体会等比数列与指数函数的关系.考情分析考点考法:高考命题常以等比数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列与等比数列的综合应用是高考的热点,在各个题型中均有出现.核心素养:数学建模、数学运算、逻辑推理.定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列通项公式设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则通项公式an=a1qn-1.推广:an=amqn-m (m,n∈N*)等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab已知量首项、公比与项数首项、末项与公比选用公式Sn=na1,q=1,a1(1-qn)1-q,q≠1Sn=na1,q=1,a1-anq1-q,q≠1类型辨析改编易错高考题号1234定义法若an+1an=q(q为非零常数,n∈N*)或anan-1=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列等比中项法若数列{an}中,an≠0且an+12=an·an+2(n∈N*),则{an}是等比数列