2025届高考数学一轮复习教师用书第六章第三节平面向量的数量积讲义（Word附解析）

第三节　平面向量的数量积【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.向量的夹角【微点拨】确定两个非零向量a和b的夹角,必须将两个向量平移至同一起点.2.平面向量的数量积3.投影向量4.向量数量积的运算律【微点拨】(1)数量积不满足消去律,即a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c;(2)数量积不满足乘法结合律,即一般情况下,(a·b)·c≠a·(b·c).5.平面向量数量积的坐标运算已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)(2023·齐齐哈尔模拟)下列命题正确的是 (　　)A.若向量a,b满足a·b=0,则a=0或b=0B.若向量a,b的夹角为钝角,则a·b<0C.已知a=(3,4),b=(0,1),则向量a在向量b方向上的投影向量的长度为4D.设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,若a=2e1+e2,b=e1-e2,则a,b可作为该平面的一个基底【解析】选BCD.A选项,当非零向量a,b满足a⊥b时,a·b=0,故A错误;B选项,当向量a,b的夹角为钝角时,cos<0,故a·b=|a||b|cos<0,故B正确;C选项,向量a在向量b方向上的投影向量的长度为|a·b|b=|(3,4)·(0,1)|1=4,C正确;D选项,e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,设a=λb,则2e1+e2=λ(e1-e2),故2=λ1=-λ,无解,所以a,b不共线,故a,b可作为该平面的一个基底,D正确.2.(必修第二册P36练习T1·变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且2a+b=3,则t=(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2　 B.3　 C.±2　 D.±22【解析】选C.由向量a=(-1,t-1),b=(3,2),可得2a+b=(1,2t),因为2a+b=3,可得12+(2t)2=3,解得t2=2,所以t=±2.3.(2023·上海高考)已知向量a=(-2,3),b=(1,2),则a·b=__________. 【解析】因为向量a=(-2,3),b=(1,2),所以a·b=-2×1+3×2=4.答案:44.(向量夹角的概念不清致误)在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,则AB·BC=________. 【解析】在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,则AB·BC=|AB||BC|cos (180°-60°)=6×5×(-12)=-15.答案:-15【核心考点·分类突破】考点一　平面向量的数量积的运算[例1](1)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则EC·ED=(　　)A.5　 B.3　 C.25　 D.5【解析】选B.正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,所以EB·EA=-1,EB⊥AD,EA⊥BC,BC·AD=2×2=4,则EC·ED=(EB+BC)·(EA+AD)=EB·EA+EB·AD+EA·BC+BC·AD=-1+0+0+4=3.(2)(2023·福州模拟)四边形ABCD为平行四边形,AB=6,AD=3.若点M,N满足BM=2MC,DN=NC,则AM·NM= (　　)A.20　 B.16 　 C.9　 D.6【解析】选B.因为BM=2MC,DN=NC,所以AM=AB+BM=AB+23AD,NM=CM-CN=-13AD+12AB,所以AM·NM=(AB+23AD)·(-13AD+12AB)=12AB2-29AD2=12×36-29×9=16.(3)(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=__________. 【解析】由题意可得a·b=1×3×13=1,b2=9,则(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11.答案:11【解题技法】解决向量数量积的运算问题的三种方法(1)当已知向量的长度和夹角时,直接利用定义法求解;若不知长度和夹角,选择知道夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的向量,再结合运算律展开求解;(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用坐标法求解;(3)利用向量数量积的几何意义求解.【对点训练】1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b= (　　)A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】选C.因为|a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2,|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,所以9=1-4a·b+4×3=13-4a·b,所以a·b=1.2.(2022·上海高考)若平面向量|a|=|b|=|c|=λ,且满足a·b=0,a·c=2,b·c=1,则λ=__________. 【解析】由题意,有a·b=0,则a⊥b,设=θ,a·c=2b·c=1⇒accosθ=2,①bccos(π2-θ)=1,②则②①得,tan θ=12,由同角三角函数的基本关系得cos θ=255,则a·c=|a||c|cos θ=λ·λ·255=2,λ2=5,则λ=45.答案:45【加练备选】已知点O是△ABC内部的一点,且满足OA+OB+OC=0,AC=3,AC·AB=-1,则AC·BO的值为 (　　)A.53　 B.32　 C.2　 D.1　【解析】选A.记角A,B,C所对的边分别是a,b,c,由题意OA+OB+OC=0,OA+OC=-OB=BO,设D是线段AC的中点,则2OD=BO,所以B,O,D三点共线,且O为△ABC的重心,所以BO=23BD=23×12(BA+BC)=13(BA+BC),所以AC·BO=(BC-BA)·13(BA+BC)=13(a2-c2),又由AC·AB=bccos A=-1,可得bc·b2+c2-a22bc=-1⇒a2-c2=5,所以AC·BO=53.考点二　平面向量数量积的应用【考情提示】高考对数量积的考查主要从模、夹角、垂直等角度出发,常以选择题、填空题的形式出现.角度1 求平面向量的模[例2](1)(2022·全国乙卷)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= (　　)A.2 B.3 C.4 D.5【命题意图】考查向量的模、向量坐标形式的运算.【解析】选D.因为a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a-b|=42+(-3)2=5.(2)已知向量a,b,c满足a+b与c互为相反向量,a=2,c=1,a·c=1,则b= (　　)A.2　 B.7　 C.2　 D.7【解析】选D.由a+b与c互为相反向量,得c=-(a+b),两边平方得,c2=a2+b2+2a·b=1,即b2+2a·b=-3,①又由a·c=1,在c=-(a+b)两边同时点乘向量a,得a·c=-a2-a·b=1,即a·b=-5,②联立①②,解得b2=7,所以b=7.(3)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|=__________. 【解析】因为|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,所以a2+b2-2a·b=3,a2+b2+2a·b=4a2+b2-4a·b,所以a2=2a·b,所以b2=3,所以|b|=3.答案:3【解题技法】求平面向量模的两种方法(1)公式法:利用|a|=a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量模的运算转化为数量积的运算.(2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.角度2 求平面向量的夹角[例3](1)(2023·全国甲卷)向量|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cos= (　　)A.-15　 B.-25C.25　 D.45【解析】选D.因为向量|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,所以-c=a+b,所以c2=a2+b2+2a·b,即2=1+1+2×1×1×cos,解得cos=0,所以a⊥b.又a-c=2a+b,b-c=a+2b,所以(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+2b2+5a·b=2+2+0=4,|a-c|=|b-c|=4a2+4a·b+b2=4+0+1=5,所以cos=(a-c)·(b-c)|a-c||b-c|=45×5=45.(2)已知向量a与a+b的夹角为60°,且a=8,b=7,则a与b夹角的余弦值为__________. 【解析】设向量a与b的夹角为θ,由a=8,b=7,可得a·(a+b)=a2+a·b=64+8×7cos θ=64+56cos θ,且a+b=a2+b2+2a·b=64+49+2×8×7cosθ=113+112cosθ.又因为向量a与a+b的夹角为60°,可得cos 60°=a·(a+b)aa+b=12,即64+56cosθ8×113+112cosθ=12,可得16+14cos θ=113+112cosθ,解得cos θ=-1314或cos θ=-1114,即a与b夹角的余弦值为-1314或-1114.答案:-1314或-1114(3)金榜原创·易错对对碰①设a=(-3,m),b=(4,3),若a与b的夹角是钝角,则实数m的取值范围是________. ②已知向量a=(2,0),b=(1,4).若向量ka+b与a+2b的夹角为锐角,则k的取值范围为________. 【解析】①由a与b的夹角是钝角,则a·b=(-3,m)·(4,3)=-12+3m<0,解得m<4,又a与b的夹角不等于180°,则a与b不平行,即-9≠4m,解得m≠-94,所以实数m的取值范围是m<4且m≠-94.答案: (-∞,-94)∪(-94,4)②ka+b=(2k+1,4),a+2b=(4,8),因为向量ka+b与a+2b的夹角为锐角,所以4×(2k+1)+4×8>0且8×(2k+1)≠4×4,解得k>-92且k≠12,所以k的取值范围是(-92,12)∪(12,+∞).答案: (-92,12)∪(12,+∞)【解题技法】求平面向量夹角的两种方法角度3 平面向量的垂直问题[例4](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则 (　　)A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1【解析】选D.由题意得a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.(2)(2022·全国甲卷)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=__________. 【解析】因为向量a=(m,3),b=(1,m+1),a⊥b,所以a·b=m+3(m+1)=0,则m=-34.答案:-34【解题技法】平面向量垂直问题的解法(1)坐标法:a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,若要证明a⊥b,则只需证明a·b=0,即证明x1x2+y1y2=0.(2)向量法:把a,b用已知(模与夹角)的基底向量表示,进行运算证明a·b=0.【对点训练】1.(2023·济南模拟)若向量a,b满足a=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则b= (　　)A.2　　 B.2　 C.1　 D.22【解析】选B.因为(a+b)⊥a,a=1,故(a+b)·a=0,即a2+a·b=0,a·b=-a2=-a2=-1.又(2a+b)⊥b,故(2a+b)·b=2a·b+b2=-2+b2=0,故b2=2,故b=2.2.已知平面向量a,b的夹角为120°,且|a|=3,|b|=2.(1)求(2a+b)·(a-2b);(2)若a+b与a-kb垂直,求实数k的值.【解析】(1)由a,b的夹角为120°,|a|=3,|b|=2,则a·b=|a||b|cos 120°=3×2×(-12)=-3,故(2a+b)·(a-2b)=2a2-3a·b-2b2=2×9-3×(-3)-2×4=19;(2)由a+b与a-kb垂直,则(a+b)·(a-kb)=0,故a2-kb2+(1-k)a·b=0,可得9-4k-3(1-k)=0,解得k=6.3.(2023·芜湖模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠DAB=π3,点E是AB的中点,连接DE,AC,记它们的交点为点G,设AB=a,AD=b.(1)用a,b表示AG;(2)求的余弦值.【解析】(1)不难得出△AGE,△DGC是一对相似三角形,且AECD=12,故AGGC=12,即AG=13AC,根据向量的加法法则,得AG=13AC=13(a+b);(2)由a·b=4×2×12=4,a=4,b=2,于是AC2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=16+4+8=28,所以AC=27.又AC·AB=a2+a·b=20,所以cos=cos=AC·ABACAB=2027×4=5714.考点三　投影向量[例5](2023·常州模拟)已知平面向量a,b,满足a=2,b=(1,1),a+b=10,则a在b方向上的投影向量的坐标为__________. 【解析】由a=2,b=2,且a+b=10,平方得a2+2a·b+b2=4+2a·b+2=10,解得a·b=2,所以a在b方向上的投影向量为a·bb·bb=a·bb2·b=2(2)2·b=b=(1,1).答案:(1,1)【解题技法】a在b方向上的投影向量公式:|a|cos·bb=a·b|b|2·b.【对点训练】(2023·衡阳模拟)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8),b=5,且b与向量(1,0)的夹角是钝角,则b在向量(1,0)上的投影向量为 (　　)A.(-3,0)　 B.(-4,0)C.(0,3)　 D.(0,-4)【解析】选B.设b=(x,y),因为a=(6,-8),a⊥b,所以6x-8y=0,即3x=4y①.又b=5,所以x2+y2=25②,由①②解得x=4y=3或x=-4y=-3.设c=(1,0),因为b与向量c的夹角是钝角,所以b·c=x<0,所以b=(-4,-3),则b在向量c上的投影向量为b·cc·cc=-4·(1,0)=(-4,0).【加练备选】已知向量a,b满足a+b=a-2b,其中b是单位向量,则a在b方向上的投影向量是________. 【解析】因为b是单位向量,所以b=1.因为a+b=a-2b,所以(a+b)2=(a-2b)2,化简得2a·b=b2=1,即a·b=12,所以a在b方向上的投影向量是a·bb2·b=12b.答案:12b【课程标准】1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.【考情分析】考点考法:平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题,如证明垂直、求夹角、模等是每年必考的内容,单独命题时,一般以选择题、填空题形式出现.交汇命题时,向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查.核心素养:数学抽象、直观想象、数学运算.定义已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做a与b的夹角范围设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是0≤θ≤π共线与垂直θ=0或θ=π⇔a∥b,θ=π2⇔a⊥b条件两个非零向量a与b的夹角为θ结论数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)记法记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ规定零向量与任一向量的数量积为0条件设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,AB=a,CD=b作图过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1B1结论我们称上述变换为向量a向向量b投影,A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)结论符号表示坐标表示模|a|=a·a|a|=x12+y12夹角cos θ=a·b|a||b|cos θ=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22a⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤x12+y12x22+y22类型辨析改编易错高考题号1243定义法由cos θ=a·b|a||b|,θ∈[0,π]坐标法若a=(x1,y1)与b=(x2,y2),则cos =x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22,∈[0,π]