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2025届高考数学一轮复习教师用书第五章第五节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用讲义(Word附解析)
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第五节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特征点【微点拨】用“五点法”作图时,相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的14.2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换为向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.3.简谐运动的有关概念【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的有 ( )A.函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-AB.函数y=sin 2x向右平移π6个单位长度后对应的函数g(x)=sin(2x-π6)C.把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得函数解析式为y=sin 12xD.如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为T2【解析】选ABC.因为只有当A>0时,y=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A,所以选项A错误;因为函数y=sin 2x向右平移π6个单位长度后对应的函数g(x)=sin(2x-π3),所以选项B错误;因为把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得函数解析式为y=sin 2x,所以选项C错误;因为函数y=Acos(ωx+φ)相邻两个对称中心之间的距离为半个周期,所以选项D正确.2.(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sin(x-π4)的图象,则f(x)等于( )A.sin(x2-7π12) B.sin(x2+π12)C.sin(2x-7π12) D.sin(2x+π12)【解析】选B.依题意,将y=sin(x-π4)的图象向左平移π3个单位长度,得到y=sin(x+π3-π4)=sin(x+π12)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,得到f(x)的图象,即f(x)=sin(12x+π12).3.(必修第一册P241T4改条件)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<|φ|<π)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为__________. 【解析】从题图可知:14T=7π12-π3=π4,所以T=π,ω=2,又因为2×7π12+φ=π2+2kπ(k∈Z),所以φ=-2π3+2kπ(k∈Z),又因为0<|φ|<π,所以φ=-2π3,显然A=2,因此y=2sin(2x-2π3).答案:y=2sin(2x-2π3)4.(混淆ω值的影响)函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cos ωx,则ω的值为 ( )A.3 B.13 C.9 D.19【解析】选B.函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cos13x,所以ω=13.【巧记结论·速算】1.函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减.”2.函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴由ωx+φ=kπ+π2,k∈Z确定;对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.【即时练】为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin3x+π5图象上所有的点( )A.向左平移π5个单位长度B.向右平移π5个单位长度C.向左平移π15个单位长度D.向右平移π15个单位长度【解析】选D.因为y=2sin 3x=2sin[3(x-π15)+π5],所以把函数y=2sin3x+π5图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y=2sin 3x的图象.【核心考点·分类突破】考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 [例1](1)(2023·郑州模拟)将函数f(x)的图象上所有点向右平移π6个单位长度,然后横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=sin x的图象,则f(x)在区间[0,π4]上的值域为 ( )A. [-32,1] B. [-12,1]C. [12,1] D. [32,1]【解析】选C.将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变得到y=sin 2x的图象,再将y=sin 2x的图象上所有点向左平移π6个单位长度得到f(x)=sin(2x+π3)的图象.当x∈[0,π4]时, (2x+π3)∈[π3,5π6],所以sin(2x+π3)∈[12,1].(2)函数f(x)=sin(ωx+φ) (其中ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示,为了得到y=sin x的图象,则需将y=f(x)的图象 ( )A.横坐标缩短到原来的12,再向右平移π12个单位长度B.横坐标缩短到原来的12,再向右平移π6个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π3个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π6个单位长度【解析】选C.由题图可知,12T=5π6-π3=π2,所以T=π,故ω=2πT=2,故函数f(x)=sin (2x+φ),又函数图象经过点(π3,0),故有sin(2×π3+φ)=0,即2×π3+φ=kπ,所以φ=kπ-2π3(k∈Z),又0<φ<π2,所以φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3),故将函数f(x)=sin(2x+π3)图象的横坐标伸长到原来的2倍得到y=sin(x+π3)的图象,然后再向右平移π3个单位长度即可得到y=sin x的图象.【解题技法】三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略(1)确定函数y=sin x经过平移变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,即按“左加右减”的原则进行;(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和单位长度.【对点训练】1.(2024·长春模拟)要得到y=cos x2的图象,只要将y=sin x2的图象 ( )A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移π个单位长度D.向右平移π个单位长度【解析】选C.函数y=sinx2的图象向左平移π个单位长度后得到y=sin(x2+π2)=cos x2的图象.2.(2024·长沙模拟)将函数f(x)=sin(2x-π3)的图象向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度.得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,则φ=__________. 【解析】函数f(x)向左平移φ个单位长度,得到函数g(x)=sin[2(x+φ)-π3],函数g(x)是奇函数,所以g(0)=sin(2φ-π3)=0,则2φ-π3=kπ,k∈Z,则φ=π6+kπ2,k∈Z,因为φ∈(0,π2),所以φ=π6.答案:π6考点二 由函数图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式[例2](1)函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,则此函数的解析式为( )A.y=2sin(2x+2π3) B.y=2sin(x+π3)C.y=2sin(x2-π3) D.y=2sin(2x-π3)【解析】选A.由已知可得函数y=Asin(ωx+φ)的图象经过点(-π12,2)和点(5π12,-2),则A=2,T=π,所以ω=2,则函数的解析式为y=2sin(2x+φ),将(-π12,2)代入得-π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,所以φ=2π3+2kπ,k∈Z,当k=0时,φ=2π3,此时y=2sin(2x+2π3).(2)(2023·潍坊模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,现将f(x)的图象向左平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)的表达式可以为( )A.g(x)=2sin 2x B.g(x)=2cos(2x-π3)C.g(x)=2sin(x-π6) D.g(x)=2cos(x+π3)【解析】选B.由题图可知f(x)max=2,所以A=2;又f(0)=2sin φ=-1,所以sin φ=-12,又|φ|<π2,所以φ=-π6,所以f(7π12)=2sin(7π12ω-π6)=0,由五点作图法可知7π12ω-π6=π,解得ω=2,所以f(x)=2sin(2x-π6);所以g(x)=f(x+π6)=2sin [2(x+π6)-π6]=2sin(2x+π6)=2cos [π2-(2x+π6) ]=2cos(π3-2x)=2cos(2x-π3).【解题技法】根据三角函数图象求解析式的三个关键(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入.②五点法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【对点训练】1.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(π2)=__________. 【命题意图】本题考查函数f(x)=2cos(ωx+φ)的图象与其参数(ω,φ)之间的关系,考查考生分析问题解决问题的能力.【解析】观察图象可知:f(x)的最小正周期T=43×13π12-π3=π,所以ω=2,又因为f13π12=2cos2×13π12+φ=2,所以φ=-π6+2kπ,k∈Z,所以f(x)=2cos2x-π6,所以fπ2=2cos2×π2-π6=2cos5π6=-3.答案:-32.已知函数y=Asin(ωx+φ)+n的最大值为4,最小值是0,最小正周期是π2,直线x=π3是其图象的一条对称轴,若A>0,ω>0,0<φ<π2,则函数解析式为__________. 【解析】依题意,得A=4-02=2,n=4+02=2,ω=2ππ2=4,所以y=2sin (4x+φ)+2,所以4×π3+φ=kπ+π2,k∈Z,即φ=kπ-5π6,k∈Z.因为0<φ<π2,所以k=1,φ=π6.所以函数解析式为y=2sin(4x+π6)+2.答案:y=2sin(4x+π6)+2【加练备选】函数y=Asin(ωx+φ) (ω>0,φ<π2)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为 ( ) A.y=-2sin(2x-π4) B.y=2sin(2x+π4)C.y=2sin(x+3π8) D.y=2sin(x2+7π16)【解析】选B.由题图知A=2,T2=5π8-π8=π2,T=π,所以ω=2,把最值点(π8,2)代入y=2sin(2x+φ),得2sin(2π8+φ)=2,所以π4+φ=2kπ+π2(k∈Z),所以φ=2kπ+π4(k∈Z),又因为φ<π2,所以φ=π4,因此函数的解析式是y=2sin(2x+π4).考点三 三角函数图象、性质的综合应用角度1 三角函数图象与性质的综合应用[例3]已知函数f(x)=sin2ωx+φ(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )A.f(x)的图象关于点-π3,0对称B.f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y=sin 2x的图象C.f(x)在区间0,π2上的最小值为-32D.fx+π6为偶函数【解析】选D.因为f(x)的图象过点0,12,所以sin φ=12,因为0<φ<π2,所以φ=π6.因为f(x)的图象过点2π3,-1,所以由五点作图法可知ω·4π3+π6=3π2,得ω=1,所以f(x)=sin2x+π6.因为f(-π3)=sin(-2π3+π6)=sin(-π2)=-1,所以x=-π3为f(x)图象的一条对称轴,所以A错误;f(x)的图象向右平移π6个单位长度后,得y=sin2x-π6+π6=sin2x-π6,所以B错误;当x∈0,π2时,2x+π6∈π6,7π6,所以-12≤sin(2x+π6)≤1,所以f(x)在区间0,π2上的最小值为-12,所以C错误;fx+π6=sin2x+π6+π6=sin2x+π2=cos 2x,令g(x)=fx+π6=cos 2x,因为g(-x)=cos(-2x)=cos 2x=g(x),所以g(x)=fx+π6=cos 2x为偶函数,所以D正确.【解题技法】解决三角函数图象与性质综合问题的步骤(1)将f(x)化为asin x+bcos x的形式;(2)构造f(x)=a2+b2·aa2+b2·sin x+a2+b2·ba2+b2·cos x;(3)和角公式逆用,得f(x)=a2+b2sin(x+φ)(其中φ为辅助角);(4)利用f(x)=a2+b2sin(x+φ)研究三角函数的性质.角度2 函数零点(方程根)问题[例4](2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是__________. 【解析】因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ.令f(x)=cos ωx-1=0,则cos ωx=1有3个根,令t=ωx,则cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ],结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3.答案:[2,3)【误区警示】本题在求解的过程中,易忽略端点的取值是否能取得,如本题在建立不等式4π≤2ωπ<6π时,右边也取到等号,进而得出错误的结论2≤ω≤3.【解题技法】解决三角函数图象与性质的综合问题的关键求解与三角函数有关的零点(或三角函数有关的方程)个数或零点的和的问题,常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解.【对点训练】1. (多选题)已知函数f(x)=2sin2x+φ0<φ<π的图象关于直线x=π对称,则( )A.f(x)是奇函数B.f(x)的最小正周期是πC.f(x)的一个对称中心是-2π,0D.f(x)的一个单调递增区间是2,3【解析】选BD .由函数解析式可知函数f(x)的最小正周期是T=2π2=π,则B正确;由f(x)的图象关于直线x=π对称,且最小正周期是π,因此f(x)的图象也关于直线x=0对称,故f(x)是偶函数(或由f(0)=2sin φ=0结合0<φ<π知不可能),因此A错误;由函数f(x)=2sin2x+φ0<φ<π是偶函数可知φ=π2,则f(x)=2cos 2x,故f(x)的对称中心为(kπ2-π4,0)(k∈Z),C错误;由于(2,3)⊆ (π2,π),f(x)在(π2,π)上单调递增,D正确.2.已知函数f(x)=tan(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π2)的相邻两个对称中心的距离为32,且f(1)=-3,则函数y=f(x)的图象与函数y=1x-2的图象在(-5,9)上所有交点横坐标之和为 ( )A.16 B.4 C.8 D.12【解析】选D. 由已知得f(x)=tan(ωx+φ)最小正周期为3,即πω=3,所以ω=π3,则f(x)=tan(π3x+φ).又f(1)=-3,即tan(π3+φ)=-3,所以π3+φ=2π3+kπ,k∈Z,因为0<φ<π2,所以φ=π3,所以f(x)=tan(π3x+π3).又因为f(2)=tan(2π3+π3)=0,所以y=f(x)关于(2,0)中心对称,点(2,0)也是y=1x-2的对称中心,两个函数的图象共有6个交点,且都关于(2,0)成中心对称,则所有交点横坐标之和为12.考点四 三角函数模型及其应用[例5]如图,一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是 ( )A.h=-8sin π6t+10 B.h=-cos π6t+10C.h=-8sin π6t+8 D.h=-8cos π6t+10【解析】选D.由题意设h=A cos ωt+B,因为12 min旋转一周,所以2πω=12,所以ω=π6,由于最大值与最小值分别为18,2.所以-A+B=18,A+B=2,解得A=-8,B=10.所以h=-8cos π6t+10.【解题技法】三角函数模型的两种类型及其解题策略(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系;(2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.【对点训练】1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos[π6(x-6) ](x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为18 ℃,则10月份的平均气温为__________℃. 【解析】由题意得a+A=28,a-A=18,解得a=23,A=5,所以y=23+5cos[π6(x-6) ],令x=10,得y=20.5.答案:20.52.如图所示,某窑洞窗口形状上部是圆弧CD,下部是一个矩形ABCD,CD所在圆的圆心为O.经测量AB=4米,BC=33米,∠COD=2π3,现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH,其中E,F在边AB上,G,H在CD上.设∠OGF=θ,矩形EFGH的面积为S.(1)求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式;(2)当cos θ为何值时,矩形EFGH的面积S最大?【解析】(1)如图,作OP⊥CD分别交AB,CD,GH于M,P,N,由四边形ABCD,EFGH是矩形,O为圆心,∠COD=2π3,可得OM⊥AB,ON⊥GH,P,M,N分别为CD,AB,GH的中点,∠CON=π3,在Rt△COP中,CP=2,∠COP=π3,所以OC=433米,OP=233米,所以OM=OP-PM=OP-BC=33米,在Rt△ONG中,∠GON=∠OGF=θ,OG=OC=433米,所以GN=433sin θ米,ON=433cos θ米,所以GH=2GN=833sin θ米,GF=MN=ON-OM=(433cos θ-33)米,所以S=GF·GH=(433cos θ-33)·833sin θ=83(4cos θ-1)sin θ,θ∈(0,π3),所以S关于θ的函数关系式为S=83(4cos θ-1)sin θ,θ∈(0,π3).(2)由(1)得S'=83(4cos 2θ-4sin2θ-cos θ)=83(8cos 2θ-cos θ-4),因为θ∈(0,π3),所以cos θ∈(12,1),令S'=0,得cos θ=1+12916∈(12,1),设θ0∈(0,π3),且cos θ0=1+12916,所以由S'>0,得0<θ<θ0,即S在(0,θ0)上单调递增,由S'<0,得θ0<θ<π3,即S在(θ0,π3)上单调递减,所以当θ=θ0时,S取得最大值,所以当cos θ=1+12916时,矩形EFGH的面积S最大.【重难突破】三角函数解析式中ω的求法三角函数中“ω”的范围问题是近几年的考查热点,涉及三角函数的图象,单调性,对称性,极值等多个知识点,重点考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,解题思路通常有两种:一是利用复合函数的性质,借助于整体思想得到“ω”满足的关系式;二是利用图象或图象变换,借助于数形结合思想得到“ω”满足的关系式.类型一 ω的取值范围与单调性相结合[例1]已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是( )A. [12,54] B. [12,34]C. (0,12] D.(0,2]【解析】选A.由π2+2kπ<ωx+π4<3π2+2kπ(k∈Z),得π4ω+2kπω0).因为函数f(x)在(π2,π)上单调递减,所以(π2,π)⊆ (π4ω+2kπω,5π4ω+2kπω),即π4ω+2kπω≤π2,5π4ω+2kπω≥π,解得12+4k≤ω≤54+2k,k∈Z.因为ω>0,πω≥π2,所以0<ω≤2,当k=0时,12≤ω≤54.【解题技法】已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),在[x1,x2]上单调递增(或单调递减),求ω的取值范围的方法第一步:根据题意可知区间[x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半,即x2-x1≤12T=πω,求得0<ω≤πx2-x1;第二步:以单调递增为例,利用[ωx1+φ,ωx2+φ]⊆ [-π2+2kπ,π2+2kπ],解得ω的范围;第三步:结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值,从而求出ω(不含参数)的取值范围.【对点训练】已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx-π6)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是 ( )A. [12,54] B. [13,76]C. (0,16] D. [16,136]【解析】选B.令2kπ≤ωx-π6≤2kπ+π(k∈Z),得2kπ+π6ω≤x≤2kπ+7π6ω(k∈Z).因为函数f(x)在(π2,π)上单调递减,所以2kπ+π6ω≤π2,2kπ+7π6ω≥π,其中k∈Z,解得4k+13≤ω≤2k+76(k∈Z).又因为函数f(x)在(π2,π)上单调递减,所以T≥π⇒ω≤2.又ω>0,所以当k=0时,有13≤ω≤76.类型二 ω的取值范围与对称性相结合[例2]已知函数f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|≤π2),x=-π8是函数f(x)的一个零点,x=π8是函数f(x)的一条对称轴,若f(x)在区间(π5,π4)上单调,则ω的最大值是 ( )A.14 B.16 C.18 D.20【解析】选A.设函数f(x)的最小正周期为T,因为x=-π8是函数f(x)的一个零点,x=π8是函数f(x)的一条对称轴,则2n+14T=π8-(-π8)=π4,其中n∈N,所以T=π2n+1=2πω,所以ω=4n+2.因为函数f(x)在区间(π5,π4)上单调,则π4-π5≤T2=πω,所以ω≤20,所以ω的可能取值有:2,6,10,14,18.(ⅰ)当ω=18时,f(x)=sin(18x+φ),f(-π8)=sin(-9π4+φ)=0,所以φ-9π4=kπ(k∈Z),则φ=kπ+9π4(k∈Z),因为-π2≤φ≤π2,所以φ=π4,所以f(x)=sin(18x+π4),当π50)的图象向右平移3π2ω个单位长度后得到函数g(x)的图象,若F(x)=f(x)g(x)的图象关于点(π3,0)对称,则ω可取的值为 ( )A.13 B.12 C.1 D.4【解析】选CD.将函数f(x)的图象向右平移3π2ω个单位长度,得到函数g(x)=sin[ω(x-3π2ω)+π6]=sin(ωx+π6-3π2)=cos(ωx+π6),又因为F(x)=f(x)g(x)的图象关于点(π3,0)对称,所以F(x)=sin(ωx+π6)cos(ωx+π6)=12sin(2ωx+π3)的图象关于点(π3,0)对称,则2ω·π3+π3=kπ,k∈Z,所以ω=3k-12,k∈Z,又因为ω>0,所以ω的最小值为1,故ω可取的值为1,4.类型三 ω的取值范围与三角函数的最值相结合[例3](2023·成都模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)在区间(-π4,π3)上恰有一个最大值点和一个最小值点,则实数ω的取值范围为 ( )A. [83,7) B. (83,4)C. [4,203) D. (203,7)【解析】选B.因为f(x)在区间(-π4,π3)上恰有一个最大值点和一个最小值点,所以π3-(-π4)>T2=πω,所以ω>127.令t=ωx+π6,当x∈(-π4,π3)时,t∈(-π4ω+π6,π3ω+π6),于是f(x)=2sin(ωx+π6)在区间(-π4,π3)上的最值点个数等价于g(t)=2sin t在(-π4ω+π6,π3ω+π6)上的最值点个数.由ω>127知,-π4ω+π6<0,π3ω+π6>0,因为g(t)在(-π4ω+π6,π3ω+π6)上恰有一个最大值点和一个最小值点,所以-3π2<-π4ω+π6<-π2,π2<π3ω+π6<3π2,解得83<ω<4.【解题技法】三角函数的对称轴必经过图象的最高点或最低点,三角函数的对称中心就是其图象与x轴的交点,也就是说我们可以利用函数的最值点、零点之间的“差距”来确定其周期,进而可以确定ω的取值范围.【对点训练】已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象在y轴上的截距为12,且在区间(π,2π)上没有最值,则ω的取值范围为________. 【解析】由题意可知,f(0)=12,且0<φ<π,则φ=π3.又f(x)在区间(π,2π)上没有最值,所以T2=πω≥π,即0<ω≤1;f(x)=cos (ωx+π3),令ωx+π3=kπ,k∈Z,即x=kπω-π3ω,k∈Z,所以当x=kπω-π3ω,k∈Z时,函数f(x)=cos (ωx+π3)取到最值,因为f(x)在区间(π,2π)内没有最值,所以kπω-π3ω≤π,(k+1)πω-π3ω≥2π,k∈Z,解得k-13≤ω≤k2+13,k∈Z,当k=0时,-13≤ω≤13,又0<ω≤1,所以0<ω≤13,当k=1时,23≤ω≤56,可得ω∈(0,13]∪[23,56].答案: (0,13]∪[23,56]类型四 ω的取值范围与三角函数的零点、极值点相结合[例4](2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是 ( )A.53,136 B.53,196C.136,83 D.136,196【解析】选C.当ω<0时,不能满足在区间(0,π)内极值点比零点多,所以ω>0;函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)内恰有三个极值点、两个零点,则有ωx+π3∈π3,ωπ+π3,所以5π2<ωπ+π3≤3π,求得136<ω≤83.【解题技法】三角函数两个零点之间最小的“水平间隔”为T2,根据三角函数的零点个数,可以研究“ω”的取值范围.【对点训练】(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=32,x=π9为f(x)的零点,则ω的最小值为________. 【解析】因为f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),所以最小正周期T=2πω,因为f(T)=cos(ω·2πω+φ)=cos(2π+φ)=cosφ=32,又因为0<φ<π,所以φ=π6,即f(x)=cos(ωx+π6),又因为x=π9为f(x)的零点,所以π9ω+π6=π2+kπ,k∈Z,解得ω=3+9k,k∈Z,因为ω>0,所以当k=0时,ωmin=3.答案:3【课程标准】1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查y=Asin(ωx+φ)的图象、图象变换以及与它有关的实际应用问题;三角函数图象、图象变换以及与其他知识交汇是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算、直观想象ωx+φ0π2π3π22πx0-φωπ2-φωπ-φω3π2-φω2π-φωy=Asin(ωx+φ)0A0-A0y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)振幅周期频率相位初相AT=2πωf=1T=ω2πωx+φφ类型辨析改编易错高考题号1342
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