2025届高考数学一轮复习教师用书拓展拔高3用构造法解决函数问题讲义（Word附解析）

拓展拔高3　用构造法解决函数问题【高考考情】函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,既可能在选择、填空题中运用,也可能在解答题中出现.【解题关键】通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.视角一　通过变量构造具体函数[例1](1)若0ln x2-ln x1B.ex2-ex1x1ex2D.x2ex1x1>0,所以ex1x1>ex2x2,即x2ex1>x1ex2.(2)(2023·石家庄模拟)若ln x-ln y<1lnx-1lny(x>1,y>1),则(　　)A.ey-x>1 B.ey-x<1C.ey-x-1>1 D.ey-x-1<1【解析】选A.依题意,ln x-1lnx0, 所以f(t)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增; 又x>1,y>1,得ln x>0,ln y>0, 因为f(ln x)0, 所以ey-x>e0=1,A正确,B不正确; 又无法确定y-x-1与0的大小关系,故C,D不正确. 【思维升华】 　若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解. 【迁移应用】 (2020·全国Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y,则(　　) A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.ln |x-y|>0 D.ln |x-y|<0 【解析】选A.原已知条件等价于2x-3-x<2y-3-y,设函数f(t)=2t-3-t. 因为函数y=2t与y=-3-t在R上均单调递增, 所以f(t)在R上单调递增, 即f(x)0, 所以A正确,B不正确. 因为|x-y|与1的大小不能确定,所以C,D不正确. 视角二　利用导数的运算法则构造函数 微切口1　利用f(x)与xn构造函数 [例2]已知f'(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数,且满足xf'(x)+f(x)>0对任意的x∈R都成立,则下列选项中一定正确的是(　　) A.f(1)>f(2)2 B.f(1)2>f(2) C.f(1)0,故F(x)为R上的增函数,所以F(2)>F(1),即2f(2)>f(1). 【思维升华】 (1)出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x); (2)出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=f(x)xn. 微切口2　利用f(x)与ex构造函数 [例3](2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>0,且有f(3)=3,则f(x)>3e3-x的解集为(3,+∞). 【解析】设F(x)=f(x)·ex,则F'(x)=f'(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f'(x)]>0,所以F(x)在R上单调递增.又f(3)=3,则F(3)=f(3)·e3=3e3.因为f(x)>3e3-x等价于f(x)·ex>3e3,即F(x)>F(3),所以x>3,即所求不等式的解集为(3,+∞).【思维升华】(1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x);(2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=f(x)enx.【迁移应用】已知可导函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的x∈R,都有f'(x)-f(x)<1,且f(0)=2 022,则不等式f(x)+1>2 023ex的解集为(　　)A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,1e) D.(-∞,1)【解析】选A.构造函数F(x)=f(x)+1ex,则F'(x)=f'(x)·ex-[f(x)+1]·exe2x=f'(x)-f(x)-1ex,因为f'(x)-f(x)<1,所以F'(x)<0恒成立,故F(x)=f(x)+1ex在R上单调递减,f(x)+1>2 023ex可变形为f(x)+1ex>2 023,又f(0)=2 022,所以F(0)=f(0)+1e0=2 023,所以F(x)>F(0),解得x<0.微切口3　利用f(x)与sin x,cos x构造函数[例4](多选题)已知定义在(0,π2)上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0成立,则(　　)A.f(π6)>2f(π4) B.2f(π6)>f(π3)C.3f(π6)>f(π3) D.2f(π6)>f(π4)【解析】选CD.令g(x)=f(x)sinx,x∈(0,π2),则g'(x)=f'(x)sinx-f(x)cosxsin2x,又由x∈(0,π2),且恒有f'(x)sin x-f(x)cos x<0,则有g'(x)<0,即函数g(x)在(0,π2)上单调递减.由π6<π3,则有g(π6)>g(π3),即f(π6)sinπ6>f(π3)sinπ3,可得3f(π6)>f(π3);又由π6<π4,则有g(π6)>g(π4),即f(π6)sinπ6>f(π4)sinπ4,可得2f(π6)>f(π4).【思维升华】函数f(x)与sin x,cos x相结合构造可导函数的几种常见形式:F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;F(x)=f(x)sinx,F'(x)=f'(x)sinx-f(x)cosxsin2x;F(x)=f(x)cos x,F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;F(x)=f(x)cosx,F'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos2x.【迁移应用】已知偶函数f(x)的定义域为(-π2,π2),其导函数为f'(x),当0π3,-π2