2025届高考数学一轮复习教师用书拓展拔高2指数、对数、幂值的比较大小讲义（Word附解析）

拓展拔高2　指数、对数、幂值的比较大小【高考考情】指数与对数是高中一个重要的知识点,也是高考必考考点,其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点,主要考查指数、对数的互化、运算性质,以及指数函数、对数函数和幂函数的性质,一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置.视角一　临界值法比较大小[例1](1)(2023·上饶模拟)已知a=log53,b=212,c=7-0.5,则a,b,c的大小关系为(　　)A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.c>b>a【解析】选C.因为1=log55>log53>log55=log5512=12,即1220=1,c=7-0.5=(17) 12<(14) 12=12,即0a>c.(2)已知a=log52,b=1log0.10.7,c=0.70.3,则a,b,c的大小关系为(　　)A.alog0.70.7=1,所以b>1,因为0.71<0.70.3<0.70,所以0.7c>a B.a>b>cC.a>c>b D.b>a>c【解析】选B.由题意可得:a=20.2>20=1,b=1-2lg 2=1-lg 4,且0log39=2,则c=2-log310<0,所以a>b>c.视角二　含变量问题的比较大小[例2](1)(一题多法)x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则 (　　)A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z【解析】选D.解法一(特值法):取z=1,则由2x=3y=5得x=log25,y=log35,所以2x=log2253y.综上可得,3y<2x<5z.解法二(作差法):令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1,则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5.因为k>1,所以lg k>0,所以2x-3y=2lgklg2-3lgklg3=lgk·(2lg3-3lg2)lg2·lg3=lgk·lg 98lg2·lg3>0,故2x>3y,2x-5z=2lgklg2-5lgklg5=lgk·(2lg5-5lg2)lg2·lg5=lgk·lg2532lg2·lg5<0,故2x<5z.所以3y<2x<5z.解法三(作商法):令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1.则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5.所以2x3y=23·lg3lg2=lg9lg8>1,即2x>3y,5z2x=52·lg2lg5=lg32lg25>1,即5z>2x.所以5z>2x>3y.解法四(函数法):令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1,则x=lnkln2,y=lnkln3,z=lnkln5.设函数f(t)=tlnklnt(t>0,t≠1),则f(2)=2lnkln2=2x,f(3)=3lnkln3=3y,f(5)=5lnkln5=5z.f'(t)=lnk·lnt-1t·tlnk(lnt)2=(lnt-1)lnk(lnt)2,易得当t∈(e,+∞)时,f'(t)>0,函数f(t)单调递增.因为e<3<4<5,所以f(3)1,则x,y,z的大小关系为(　　)A.y>x>z B.x>z>yC.y>z>x D.x>y>z【解析】选A.因为lnxex=yey=-zez,y>1,则ln x>0,-z>0,即x>1,z<0,令f(x)=x-ln x,x>1,则f'(x)=1-1x>0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,有f(x)>f(1)=1>0,即ln x1,y>1时,yey=lnxex1,g'(t)=1-tet<0,g(t)在(1,+∞)上单调递减,则由x>1,y>1,yeyx>1,所以y>x>z.【思维升华】(1)若题设涉及三个指数式连等或三个对数式连等,则可利用特例法求解,也可在设元变形的基础上,通过作差、作商或运用函数的性质求解.(2)涉及不同变量但结构相似的式子相等时,细心挖掘问题的内在联系,构造函数,分析并运用函数的单调性求解作答.【迁移应用】　(2023·大理模拟)已知实数a,b,c满足lnaea=lnbb=-lncc<0,则a,b,c的大小关系为(　　)A.b0,b>0,c>0,由lnaea=lnbb=-lncc<0,得01,设f(x)=lnxx(x>0),则f'(x)=1-lnxx2,当00,f(x)单调递增,因为ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号,故ea>a(0lnaa,故lnbb>lnaa,所以f(b)>f(a),则b>a,即有02b B.a<2bC.a>b2 D.a0,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(e)=ln ee=c,所以ae22>e,所以f(4)c>a B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c【解析】选D.因为lnalnb=2 024ln2 0222 023ln2 023=ln2 0222 023ln2 0232 024,构造函数f(x)=lnxx+1(x≥e2),f'(x)=(x+1)-xlnxx(x+1)2,令g(x)=(x+1)-xln x,则g'(x)=-ln x<0,所以g(x)在[e2,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(e2)=1-e2<0,故f'(x)<0,所以f(x)在[e2,+∞)上单调递减,所以f(2 022)>f(2 023)>0⇒lnalnb=ln2 0222 023ln2 0232 024=f(2 022)f(2 023)>1⇒ln a>ln b⇒a>b,因为lnblnc=2 023ln2 0232 022ln2 024=ln2 0232 022ln2 0242 023,构造函数h(x)=lnxx-1(x≥e2),h'(x)=(x-1)-xlnxx(x-1)2,令t(x)=(x-1)-xln x,则t'(x)=-ln x<0,所以t(x)在[e2,+∞)上单调递减,所以t(x)≤t(e2)=-1-e2<0,故h'(x)<0,所以h(x)在[e2,+∞)上单调递减,所以h(2 023)>h(2 024)>0⇒lnblnc=ln2 0232 022ln2 0242 023=h(2 023)h(2 024)>1⇒ln b>ln c⇒b>c,故a>b>c.