2025届高考数学一轮复习教师用书第十一章第七节正态分布讲义（Word附解析）

第七节　正态分布【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.正态分布的定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=1σ2π·e-(x-μ)22σ2,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).2.正态曲线的特点(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(2)曲线在x=μ处达到峰值1σ2π;(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.3.3σ原则(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.4.正态分布的均值与方差若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.【微点拨】(1)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;(2)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是 (　　)A.正态曲线关于直线x=μ对称,在x轴上方B.正态曲线关于直线x=σ对称,只有当x∈(-3σ,3σ)时曲线才在x轴上方C.正态曲线和x轴围成的面积随μ的变化而变化D.正态曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低【解析】选BC.2.(选择性必修第三册P87T3·变形式)随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+σ)= (　　)附:A.0.818 6 B.0.477 2 C.0.84 D.0.975 9【解析】选A.由题意可得,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,所以P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=12P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)+12P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.818 6.3.(对正态曲线的性质不清致误)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>2)=p,则P(-2≤ξ≤0)= (　　)A.12+p B.1-p C.12-p D.1-2p【解析】选C.由对称性知P(ξ2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(22= (　　)A.0.36 B.0.18 C.0.64 D.0.82【解析】选C.因为X~N5,σ2,所以PX≤2=PX≥8=0.36,所以PX>2=0.64.2.(多选题)若随机变量X~N(1,σ2),且正态分布N(1,σ2)的正态密度曲线如图所示,则下列选项中,可以表示图中阴影部分面积的是 (　　)A.12-P(X≤0)B.12-P(X≥2)C.12P(X≤2)-12P(X≤0)D.12-P(1≤X≤2)【解析】选ABC.根据正态分布的性质可知,正态密度曲线关于直线x=1对称,所以题图中阴影部分的面积为12-P(X≤0),A正确;根据对称性,P(X≤0)=P(X≥2),B正确;阴影部分的面积也可以表示为P(X≤2)-P(X≤0)2,C正确;阴影部分的面积也可以表示为P(0≤X≤1),而P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2),D不正确.【核心考点·分类突破】考点一　正态分布的性质[例1](1)(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正态密度曲线如图所示,则下列说法正确的是 (　　)A.甲类水果的平均质量为0.4kgB.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于均值左右C.平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大D.σ2=1.99【解析】ABC.由题图可知,甲类水果的平均质量为μ1=0.4 kg,故A正确;由题图可知,甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于均值左右,故B正确;由题图可看出平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大,故C正确;乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足12πσ2=1.99,则σ2≠1.99,故D错误.(2)设有一正态总体,它的正态密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=18πe-(x-10)28(x∈R),则这个正态总体的平均数与标准差分别是 (　　)A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10【解析】选B.因为f(x)=18πe-(x-10)28,所以σ=2,μ=10,即正态总体的平均数与标准差分别为10与2.(3)(多选题)若随机变量ξ~N(0,1),则下列结论正确的是 (　　)A.该正态曲线关于直线x=1对称B.若P(ξ≤1.52)=0.935 7,则P(ξ>1.52)=0.064 3C.若P(ξ≤1.49)=0.931 9,则P(ξ≤-1.49)=0.931 9D.当x>0时,若P(ξ≥x)=φ(x),则P(|ξ|≥x)=2φ(x)【解析】选BD.由题设知,该正态曲线关于直线x=0对称,故A错误;由P(ξ>1.52)=1-P(ξ≤1.52)=0.064 3,故B正确;由P(ξ≤-1.49)=P(ξ>1.49)=1-P(ξ≤1.49)= 0.068 1,故C错误;P(|ξ|≥x)=P(ξ≥x)+P(ξ≤-x),由对称性知P(ξ≥x)=P(ξ≤-x),所以P(|ξ|≥x)=2φ(x),故D正确.【解题技法】利用正态分布性质解题的关键点对X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意义不清楚,特别是对μ的认识不清楚,就会在解题时无从下手,导致随便给出一个结果.这里μ是随机变量X的均值,σ是标准差,x=μ是正态密度曲线的对称轴.【对点训练】1.(多选题)某次市教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由图中曲线可得下列说法中正确的是 (　　)A.甲、乙、丙的总体的平均数相同B.乙科总体的标准差及平均数都居中C.丙科总体的平均数最小D.甲科总体的标准差最大【解析】选AD.由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相同,由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越“矮胖”,σ越小,正态曲线越“瘦高”,故三科总体的标准差从大到小依次为甲、乙、丙.2.已知三个正态密度函数φi(x)=12πσie-(x-μi)22σi2(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则 (　　)A.μ1σ3　　B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2