2025届高考数学一轮复习教师用书拓展拔高9阿波罗尼斯圆讲义（Word附解析）

拓展拔高9　阿波罗尼斯圆【背景】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.【考情】动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点,尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现.处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系,寻找动点满足的条件,得出动点的轨迹是一个定圆,从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题,并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法.一、阿波罗尼斯圆定义一般地,平面内到两定点距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆,此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”.特殊地,设定点为A,B,动点为P,则当λ=1时, 点P的轨迹是线段AB的垂直平分线.【探究】以直线AB为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.设|AB|=2a(a>0),则A点的坐标为(-a,0),B点的坐标为(a,0),P点的坐标为P(x,y).根据题意有P∈P|PA||PB|=λ(λ>0),得(x+a)2+y2=λ(x-a)2+y2.整理得,(λ2-1)x2+(λ2-1)y2-2a(λ2+1)x=a2(1-λ2),①当λ≠1时,方程可化为(x-λ2+1λ2-1a)2+y2=2λaλ2-12,即点P的轨迹是以(λ2+1λ2-1a,0)为圆心,|2λaλ2-1|为半径的圆. (注:r=|ABλ-1λ| )②当λ=1时,方程可化为x=0,即点P的轨迹为y轴(即线段AB的垂直平分线).二、阿波罗尼斯圆的应用视角一　求轨迹方程及轨迹的有关问题[例1](1)设A,B是平面上两点,则满足PAPB=k(其中k为常数,k≠0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆,已知A(6,0),B(62,0),且k=2,则点P所在圆M的方程为x2+y2=3. 【解析】设P(x,y),由题意可得,PAPB=2,即PA=2PB,则(x-6)2+y2=2[(x-62)2+y2],整理得x2+y2=3.(2)如图,在等腰△ABC中,已知AB=AC,B(-1,0),AC边的中点为D(2,0),则点C的轨迹所包围的图形的面积等于4π. 【解析】因为AB=2AD,所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆,易知其方程为(x-3)2+y2=4(y≠0).设C(x,y),由AC边的中点为D(2,0),知A(4-x,-y),所以C的轨迹方程为(4-x-3)2+(-y)2=4(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),故所求的面积为4π.(3)正方形ABCD的边长为3,P为正方形ABCD边界及内部的动点,且PB=2PA,则动点P的轨迹长度为__________. 【解析】建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),设P(x,y),又因为PB=2PA,所以(x-3)2+y2=2x2+y2,化简为x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,所以P点的轨迹是以Q(-1,0)为圆心,半径为2的圆.又因为P为正方形ABCD边界及内部的动点,所以动点P与y轴正半轴的交点为M(0,3),动点P与x轴正半轴的交点为N(1,0),则动点P的轨迹长度为圆弧MN,在△QMA中,AM=3,QM=2,所以sin∠MQA=MAMQ=32,∠MQA=π3,所以圆弧MN=π3×2=2π3.答案:2π3视角二　求三角形面积的最值问题[例2](1)满足条件AB=2,AC=2BC的△ABC的面积的最大值为__________. 【解析】方法一(直解法):建立如图的直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设C点的坐标为(x,y),因为|AC|=2|BC|,所以(x+1)2+y2=2×(x-1)2+y2.整理得(x-3)2+y2=8,所以点C的轨迹是以(3,0)为圆心,22为半径的圆(除去与x轴的交点).设圆心为M,当CM⊥x轴时,△ABC的面积最大,此时CM=22,(S△ABC)max=12|AB|·r=12×2×22=22.方法二(秒解法):由题意可知,动点C的轨迹是圆M,且半径r=ABλ-1λ=22-12=22,分析可得,当且仅当CM⊥AB时,△ABC面积最大,(S△ABC)max=12|AB|·r=12×2×22=22.答案:22(2)(2023·承德模拟)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A=2sin B,acos B+bcos A=2,则△ABC面积的最大值为__________. 【解析】依题意,sin A=2sin B,得BC=2AC,acos B+bcos A=a2+c2-b22c+b2+c2-a22c=c=2,即AB=2,以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,设A(1,0),B(-1,0),C(x,y),x≠0,由BC=2AC,则C的轨迹为阿波罗尼斯圆,其方程为(x-53) 2+y2=169,x≠0,边AB高的最大值为43,所以(S△ABC)max=43.答案:43