2025届高考数学一轮复习教师用书拓展拔高7和差化积、积化和差与万能公式的应用讲义（Word附解析）

拓展拔高7　和差化积、积化和差与万能公式的应用和差化积、积化和差公式及应用【教材探源】和差化积、积化和差公式源自人教A必修第一册,其中积化和差的第一个公式与和差化积的第一个公式在第225页例8以证明题形式给出,教材利用两角和与差的正弦公式给出了证明.其余公式以练习题形式出现在第226页的第4题和第5题.第230页【拓广探索】第18题的证明中,用到了积化和差、和差化积公式.教材中多次提及到这两组公式及应用,说明和差化积、积化和差公式又有加强的趋势,在复习中要给予重视.一、三角函数中的积化和差与和差化积公式为:二、万能公式:sin α=2tan α21+tan2α2,cos α=1-tan2α21+tan2α2, tan α=2tan α21-tan2α2.视角一　和差化积公式的应用[例1](1)已知sin α+sin β=2165,cos α+cos β=2765,则sinβ-sinαcosβ-cosα=__________. 【解析】由sin α+sin β=2165,可得2sin α+β2cos α-β2=2165①;由cos α+cos β=2765,可得2cos α+β2cos α-β2=2765②.①②可得sin α+β2cos α+β2=79,从而sinβ-sinαcosβ-cosα=-2cos α+β2sin α-β22sin α+β2sin α-β2=-cos α+β2sin α+β2=-97.答案:-97(2)若cos xcos y+sin xsin y=12,sin2x+sin2y=23,则sin (x+y)=__________. 【解析】因为cos xcos y+sin xsin y=12,所以cos(x-y)=12.因为sin2x+sin2y=23,所以sin[(x+y)+(x-y)]+sin[(x+y)-(x-y)]=23,所以2sin(x+y)cos(x-y)=23,所以2sin(x+y)×12=23,所以sin(x+y)=23.答案:23视角二　积化和差公式的应用[例2](1)计算sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值是 (　　)A.14　 B.32　 C.12　 D. 34【解析】选A.原式=12(sin 90°-sin 50°)-12(cos 60°-cos 40°)=12-12sin 50°-12×12+12cos 40°=14.(2)设直角三角形ABC中两锐角为A和B,则cos Acos B的取值范围是 (　　)A. (0,12]　 B. (0,1)C. [12,1)　 D. [34,1)【解析】选A.由题得A+B=C=π2,则cos Acos B=12[cos(A-B)+cos(A+B)]=12cos(A-B).由A-B∈(-π2,π2),可得cos(A-B)∈(0,1],所以12cos(A-B)∈(0,12].【思维升华】和差化积与积化和差公式是三角函数中的两组恒等式,在应用和差化积时,必须是一次同名(正切和余切除外)三角函数方可实行;若是异名,必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.在应用积化和差时,两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘常数的形式,达到降次的效果.【迁移应用】1.若sin α+sin β=33(cos β-cos α),α,β∈(0,π),则α-β=__________. 【解析】由题得2sin α+β2cos α-β2=33×2sin α+β2·sin α-β2,所以tan α-β2=3.因为α,β∈(0,π),所以α-β2∈(-π2,π2),故α-β2=π3,α-β=2π3.答案:2π32.(2023·衡水模拟)在锐角三角形ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=3,则b2+c2的取值范围是__________. 【解析】由正弦定理得(a-b)(a+b)=(c-b)c,即a2=b2+c2-bc,所以cos A=12.由△ABC是锐角三角形可知A=π3.设锐角三角形ABC的外接圆半径为R,且不妨设B≥C,则2R=asinA=2.因为00,而tan θ2=t=-13<0,舍去.取tan θ2=2.tan θ=2t1-t2=-43.答案:-43(2)(2023·许昌模拟)已知6sin2α+sin αcos α-2cos2α=0,α∈(π2,π).则tan α=________,sin(2α+π3)=__________. 【解析】因为6sin2α+sin αcos α-2cos2α=6sin2α+sinαcosα-2cos2αsin2α+cos2α=6tan2α+tanα-2tan2α+1=0,即6tan2α+tan α-2=0,解得tan α=-23或tan α=12,因为α∈(π2,π),所以tan α=-23.因为sin2α=2tanα1+tan2α=-1213,cos2α=1-tan2α1+tan2α=513,所以sin(2α+π3)=sin2αcos π3+cos2αsin π3=-1213×12+513×32=53-1226.答案:-23　53-1226【思维升华】之所以说它“万能”,因为利用此组公式可把角的任意角函数化为同名同角(tan α2)的式子,这组公式在恒等变形方面应用颇广.