2023-2024学年广西贵港市平南县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广西贵港市平南县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶.下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列几组数中，能作为直角三角形三边长的一组是( )
A. 6，8，12B. 0.1，0.2，0.3C. 3，4，5D. 2，3，5
3.在平面直角坐标系中，点A(4,−3)到y轴的距离为( )
A. 4B. −4C. 3D. −3
4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A=20∘，则∠BCD的度数是( )
A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘
5.过某个多边形一顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是( )
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
6.某班50名学生在一次数学测试中不及格人数的频率是0.1，则及格的同学有( )
A. 5位B. 40位C. 45位D. 30位
7.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是( )
A. 28.如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是( )
A. 18米B. 24米C. 28米D. 30米
9.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点.连接AF，BF，∠AFB=90∘，且AB=6，BC=10，则EF的长是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10.直线y=x+b上有三个点(−2.4,y1)，(−1.5,y2)，(1.3,y3).则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3B. y1y1>y3
11.已知函数y=kx的图象如图所示，那么函数y=kx−k的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是( )
A. 43
B. 65
C. 34
D. 56
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50∘，则∠1=______ ∘。
14.如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30∘夹角，这棵树在折断前的高度为______米．
15.若点P(−3a−4,2+a)在y轴上，则a=______.
16.如图，晓岚同学统计了她家5月份的长途电话明细清单，按通话时间画出频数分布直方图，则从图中的信息可知，她家通话时间不足10分钟的有______次．
17.在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m(g)与该种液体的体积V(cm3)，绘制了如图所示的函数图象(图中为一线段)，则72g该种液体的体积为______cm3.
18.如图所示，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为(2,3)，将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为A1；经过第二次翻滚，点A的对应点记为A2；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点A2024的坐标为______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
如图，点C为AD的中点，过点C的线段BE⊥AD，且AB=DE.求证：AB//ED.
20.(本小题6分)
如图，车高4m(AC=4m)，货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C=2m，求弯折点B与地面的距离．
21.(本小题10分)
作图题(不写作法)已知：如图，在平面直角坐标系中.
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1(______)，B1(______)，C1(______)；
(2)直接写出△ABC的面积为______；
(3)在x轴上画点P，使|PA−PB|最大.
22.(本小题10分)
土壤的酸碱度由土壤中氢离子和氢氧根离子的相对浓度决定，通常采用pH来表示土壤的酸碱度.土壤的酸碱度对植物生长的“量”和“质”均有重要影响，某生物课题研究小组以“土壤酸碱度与小麦幼苗生长”为课题开展试验.
将若干株相同的小麦幼苗随机均分为9组，分别种植在pH值为4，4.5，5，5.5，6，6.5，7，7.5，8九个梯度的土壤中，经过40多天培育，观察后记录数据，整理并绘制了如下不完整的统计图表：
pH=6.5的土壤中小麦幼苗生长高度频数分布表
九个梯度的土壤中小麦幼苗生长的平均高度统计表
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)若将小麦幼苗生长高度按A组每株30cm，B组每株31cm，C组每株32cm，D组每株33cm，E组每株34cm计算，则pH=6.5的土壤中小麦幼苗生长的平均高度约为多少？(结果精确到1cm)
(3)请根据试验数据写出一条合理的试验结论.
23.(本小题10分)
实践与探究题
问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？
丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：
(1)观察发现
①观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图(1)所示的Rt△ABC中，∠C=90∘，CD是斜边AB上中线.请根据图(1)证明你的猜想.
②根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质.
(2)拓展应用：如图(2)，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，若CD=5，则Rt△ABC面积的最小值等于______.
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=kx−1与直线l2：y=12x+2交于点A(m,1).
(1)求m的值和直线l1的表达式；
(2)设直线l1，l2分别与y轴交于点B，C，求△ABC的面积；
(3)结合图象，直接写出不等式025.(本小题10分)
2024年4月18日上午10时08分，华为Pura70系列正式开售，华为Pura70Ultra和Pura70Pr已在华为商城销售，约一分钟即告售罄.“4G改变生活，5G改变社会”，不一样的5G手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A、B两种型号的5G手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元.
(1)求A、B两种型号的手机每部利润各是多少元；
(2)某营业厅再次购进A、B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的23，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润.
26.(本小题10分)
在正方形ABCD中，E是边AD上的一动点(不与点A，D重合)，连接BE，点C关于直线BE的对称点为F，连接FA，FB.
(1)如图1，若△ABF是等边三角形，则∠ABE=______ ∘；
(2)如图2，延长BE交FA的延长线于点M，连接CF交BE于点H，连接DM.
①求∠MFH的大小；
②用等式表示线段MB，MD，AB之间的数量关系，并证明.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D.
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
2.【答案】C
【解析】解：A、62+82≠122，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，不能构成三角形，故不合题意；
B、0.1+0.2=0.3，不能构成三角形，故不合题意；
C、32+42=52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；
D、2+3=5，不能构成三角形，故不合题意；
故选：C.
欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：根据点的坐标的几何意义，点A(4,3)到y轴的距离为横坐标的绝对值即为4，
故选：A.
根据点到y轴的距离即为横坐标的绝对值即可得出结果．
本题考查的是点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质.由直角三角形斜边上的中线可得CD=12AB=AD，则∠DCA=∠A=20∘，再根据∠BCD=∠BCA−∠DCA求解即可.
【解答】
解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=12AB=AD，
∴∠DCA=∠A=20∘，
∴∠BCD=90∘−20∘=70∘，
故选：D.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n.
根据n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，可组成(n−2)个三角形，依此可得n的值．
【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，可组成(n−2)个三角形，
所以n−2=5，
即n=7.
故选：C.
6.【答案】C
【解析】解：50×(1−0.1)
=50×0.9
=45(位).
答：及格的同学有45位．
故选：C.
先求出及格人数的频率，再用及格人数的频率×学生人数，列式计算即可求解．
考查了频数与频率，本题注意：及格人数的频率+不及格人数的频率=1.
7.【答案】B
【解析】解：∵AB=4，BC=6，
∴2∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=12AC，
∴1故选：B.
由AB=4，BC=6，利用三角形的三边关系，即可求得2本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到AO是AC的一半是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵D、E是OA、OB的中点，即CD是△OAB的中位线，
∴DE=12AB，
∴AB=2DE=2×14=28m.
故选C.
根据D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．
本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=10，
∴DE=12BC=5，
∵∠AFB=90∘，AB=6，
∴DF=12AB=3，
∴EF=DE−DF=5−3=2，
故选：A.
根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】
由解析式y=x+b可得y随x增大而增大，根据三个点的横坐标大小可判断函数值的大小关系．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．
【解答】
解：∵y=x+b，
∴y随x增大而增大，
∵−2.4<−1.5<1.3，
∴y1故选：B.
11.【答案】C
【解析】解：∵正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，
∴k<0，
∴−k>0，
∴一次函数y=kx−k的图象经过第一、二、四象限．
故选：C.
根据正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限可判断出k的符号，进而可得出结论．
本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出k的符号是解答此题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：如图，连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90∘，
∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90∘，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF和AP互相平分．且EF=AP，
∵M为EF的中点，
∴EF、AP的交点就是M点，
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
此时，S△ABC=12BC⋅AP=12AB⋅AC，
∴BC⋅AP=AB⋅AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= AB2+AC2= 32+42=5，
∴5AP=3×4，
∴AP=125，
∴AM=12AP=65，
故选：B.
证四边形AEPF是矩形，得EF和AP互相平分．且EF=AP，再由垂线段最短的性质得AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，然后由勾股定理求出BC=5，进而由三角形面积求出AP的长即可．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
13.【答案】70
【解析】解：由图知∠1+∠2=90∘，
∵∠1比∠2大50∘，
∠1+∠1−50∘=90∘，
∴∠1=70∘，
故答案为：70。
由图知∠1+∠2=90∘，结合已知条件∠1−∠2=50∘即可得。
本题主要考查直角三角形的性质，平角的定义，关键在于认真的观察图形，根据题意列出关于∠1的方程。
14.【答案】12
【解析】解：如图，
∵∠BAC=30∘，∠BCA=90∘，
∴AB=2CB，
而BC=4米，
∴AB=8米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米．
故答案为：12.
如图，由于倒下部分与地面成30∘夹角，所以∠BAC=30∘，由此得到AB=2CB，而离地面米处折断倒下，即BC=4米，所以得到AB=8米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．
此题主要利用了直角三角形中30∘的角所对的边是斜边的一半解决问题，然后解题时要正确理解题意，把握题目的数量关系．
15.【答案】−43
【解析】解：∵点P(−3a−4,2+a)在y轴上，
∴−3a−4=0，
−3a=4，
a=−43，
故答案为：−43.
根据y轴上点的横坐标为0，列出关于a的方程，解方程即可．
本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握y轴上点的横坐标为0的特征．
16.【答案】43
【解析】解：从图中的信息可知，她家通话时间不足10分钟的有25+18=43次，
故答案为：43.
根据频数分布直方图直接解答．
本题考查了频数分布直方图，弄清组距与各组的值是解题的关键．
17.【答案】80
【解析】解：设当20≤V≤120时，该种液体和烧杯的总质量m(g)与该种液体的体积V(cm3)之间的函数关系式为：m=kx+b(k≠0)，则：
20k+b=158120k+b=248，
解得k=0.9b=140，
∴该种液体和烧杯的总质量m(g)与该种液体的体积V(cm3)之间的函数关系式为m=0.9V+140，
当m=m=140+72时，0.9V+140=140+72，
解得V=80，
即72g该种液体的体积为80cm3.
故答案为：80.
利用待定系数法求出当20≤V≤120时，该种液体和烧杯的总质量m(g)与该种液体的体积V(cm3)之间的函数关系式为m=0.9V+140，再把m=140+72代入计算即可．
本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求出相关函数关系式是解答本题的关键．
18.【答案】(5062,3)
【解析】解：根据所给翻滚方式可知，
点A1的坐标为(5,0)；
点A2的坐标为(5,0)；
点A3的坐标为(7,2)；
点A4的坐标为(12,3)；
点A5的坐标为(15,0)；
点A6的坐标为(15,0)；
点A7的坐标为(17,2)；
点A8的坐标为(22,3)；
…，
由此可见，每翻滚四次，点Ai的横坐标增加10，且其纵坐标按0，0，2，3循环出现，
又因为2024÷4=506，
所以12+10×(506−1)=5062，
所以点A2024的坐标为(5062,3).
故答案为：(5062,3).
根据所给运动方式，依次求出点A的对应点坐标，发现规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据所给变换方式发现每翻滚四次，点Ai的横坐标增加10，且其纵坐标按0，0，2，3循环出现是解题的关键．
19.【答案】证明：∵点C为AD的中点，
∴AC=CD，
∵BE⊥AD，
∴∠ACB=∠DCE=90∘，
在Rt△ACB和Rt△DCE中，
AB=DEAC=DC，
∴Rt△ACB≌Rt△DCE(HL)，
∴∠A=∠D，
∴AB//ED.
【解析】求出AC=CD，∠ACB=∠DCE=90∘，根据HL证出Rt△ACB≌Rt△DCE，推出∠A=∠D即可．
本题考查了平行线的判定，直角三角形全等的判定和性质的应用，解此题的关键是求出Rt△ACB≌Rt△DCE，题目比较好，难度适中．
20.【答案】解：由题意得，AB=A1B，∠BCA1=90∘，
设BC=xm，则AB=A1B=(4−x)m，
在Rt△A1BC中，A1C2+BC2=A1B2，
即：22+x2=(4−x)2，
解得：x=32，
答：弯折点B与地面的距离为32米．
【解析】设BC=xm，则AB=A1B=(4−x)m，在Rt△A1BC中利用勾股定理列出方程22+x2=(4−x)2即可求解．
此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
21.【答案】−1，2−3，1−4，352
【解析】解：(1)如图所示，
由图可知，A1(−1,2)，B1(−3,1)，C1(−4,3)；
故答案为：−1，2；−3，1；−4，3；
(2)S△ABC=2×3−12×2×1−12×2×1−12×1×3
=6−1−1−32
=52.
故答案为：52；
(3)如图，点P即为所求点．
(1)根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出各点坐标即可；
(2)利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；
(3)延长AB与x轴的交点即为P点．
本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
22.【答案】解：(1)总数有12÷0.1250=96(株)，
B组有96×0.2500=24(株)，
D组有96−12−24−36−6=18(株)，
补全频数分布直方图如下：
(2)32cm，
答：pH=6.5的土壤中小麦幼苗生长的平均高度约为32cm；
(3)土壤pH值在6∼7.5时，小麦幼苗的长势较好；无论土壤pH过大还是过小，对小麦幼苗的生长高度都有很大的影响等．(答案不唯一，合理即可).
【解析】(1)根据A组的频数和频率求出总数，根据B组的频率求出频数，用总数减去其它组的频数求出D组的频数，即可补全频数分布直方图；
(2)根据加权平均数公式计算即可；
(3)根据直方图回答，合理即可，答案不唯一．
本题考查频数(率)分布直方图，平均数，能从统计图中获取数据，掌握统计量的确定方法和意义是解题的关键．
23.【答案】25
【解析】解：(1)①由折叠知：CD=BD=AD=12AB，证明如下：
图中，倍长CD至点E得CD=DE，连接BE，
在△BDE和△ADC中，
BD=AD∠BDE=∠ADCCD=DE，
∴△CDA≌△EDB，
∴∠DCA=∠DEB，BE=AC，
∵∠DCA+∠BCE=90∘，
∴∠BCE+∠BEC=90∘，
∴∠EBC=∠BCA=90∘，
在△BCA和△CBE中，
BE=CA∠EBC=∠BCABC=CB，
∴△ACB≌△EBC，
∴CE=AB，
∴CD=12AB；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
(2)由垂线段最短知：AB边上中线长CE≥CD=5，
∵AB=2CE，
∴AB≥10，
当D为AB中点时，即Rt△ABC为等腰直角三角形时，
面积最小为：12×5×10=25.
故答案为：25.
(1)通过折叠△ABC，使点B与点A重合，再展开得到BD=AD，由折叠△BDC使点B与点C重合得到BD=CD，从而得到CD=BD=AD=12AB，倍长CD至点E，连接BE，先证△CDA≌△EDB，由全等的性质得到∠DCA=∠DEB，BE=AC，再进一步证明△ACB≌△EBC，证得CE=AB，从而证得CD=12AB；
(2)由垂线段最短知：AB边上中线长CE≥CD=5，又AB=2CE，所以AB≥10，所以Rt△ABC面积的最小等价于AB最小，求得面积的最小值为25.
本题考查了图形的翻折变换，通过折叠去猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再通过全等三角形去证明，很好的考查了推理论证的能力．
24.【答案】解：(1)把A(m,1)代入y=12x+2得12m+2=1，解得m=−2，
∴A(−2,1)，
把A(−2,1)代入y=kx−1得−2k−1=1，解得k=−1，
∴直线l1的表达式为y=−x−1；
(2)当x=0时，y=12x+2=2，则C(0,2)；
当x=0时，y=−x−1=−1，则B(0,−1)，
∴△ABC的面积=12×(2+1)×2=3；
(3)当y=0时，−x−1=0，解得x=−1，
∴直线y=−x−1与x轴的交点坐标为(−1,0)，
当−2即不等式0【解析】(1)先把A(m,1)代入y=12x+2中求出m，从而得到A(−2,1)，然后把A点坐标代入y=kx−1中求出k得到直线l1的表达式；
(2)先利用两函数解析式确定C(0,2)，B(0,−1)，然后根据三角形面积公式计算；
(3)先确定直线y=−x−1与x轴的交点坐标为(−1,0)，然后结合函数图象，写出在x轴上，且直线l1在直线l2上方所对应的自变量的范围．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的关系：通过两个一次函数图象的位置关系去比较两函数值的大小．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
25.【答案】解：(1)设A种型号手机每部利润是a元，B种型号手机每部利润是b元，
根据题意得：a+b=6003a+2b=1400，
解得：a=200b=400.
答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元；
(2)设购进A种型号的手机x部，获得的利润为w元，则购进B种型号的手机(20−x)部，
根据题意得：w=200x+400(20−x)，
即w=−200x+8000，
∵B型手机的数量不超过A型手机数量的23，
∴20−x≤23x，
解得：x≥12，
∵k=−200<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=12时，w取得最大值，最大值为−200×12+8000=5600(元)，此时20−x=20−12=8(部).
答：营业厅购进A种型号手机12部，B种型号手机8部时能获得最大利润，最大利润是5600元．
【解析】(1)设A种型号手机每部利润是a元，B种型号手机每部利润是b元，根据“售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进A种型号的手机x部，获得的利润为w元，则购进B种型号的手机(20−x)部，利用总利润=A种型号手机每部利润×购进A种型号的手机数量+B种型号手机每部利润×购进B种型号的手机数量，可找出w关于m的函数关系式，由购进B型手机的数量不超过A型手机数量的23，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式．
26.【答案】15
【解析】解：(1)∵正方形ABCD，
∴∠ABC=90∘，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=60∘，
∵点C关于直线BE的对称点为F，
∴∠FBE=∠CBE，
∴∠FBA+∠ABE=∠ABC−∠ABE，
∴60∘+∠ABE=90∘−∠ABE，
∴∠ABE=15∘，
故答案为：15∘.
(2)①如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90∘，BA=BC，
∵点F与点C关于直线BE对称，
∴BF=BC，∠MHF=90∘，
∴BF=BA，
设∠1=α，
在△BFC中，BF=BC，
∴∠2=180∘−(90∘+α)2=45∘−α2，
在△BFA中，BF=BA，
∴∠BFA=180∘−∠12=90∘−α2.
∴∠3=∠BFA−∠2=(90∘−α2)−(45∘−α2)=45∘.
②数量关系：MB2+MD2=2AB2，证明如下：
过点A作AN⊥AM交BM于点N，连接BD，如图，
在Rt△FHM中，∠3=45∘，
∴∠HMF=45∘，
∴∠ANM=∠AMN=45∘，∠ANB=135∘，
∴AM=AN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90∘，AD=AB，BD= 2AB，
∴∠4=∠5，
∴△AMD≌△ANB(SAS)，
∴∠AMD=∠ANB=135∘，
∴∠BMD=∠AMD−∠AMN=90∘，
在Rt△BMD中，由勾股定理得MB2+MD2=BD2，
即MB2+MD2=2AB2.
(1)根据正方形的性质及等边三角形的性质即可解答；
(2)①根据正方形的性质及三角形内角和定理即可解答；
②过点A作AN⊥AM交BM于点N，连接BD，根据直角三角形的性质及正方形的性质，证明△AMD≌△ANB(SAS)，利用勾股定理即可解答．
本题考查四边形的综合应用，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，掌握这些性质是解题的关键．组别
小麦高度/cm
频数
频率
A
29.5∼30.5
12
0.1250
B
30.5∼31.5
0.2500
C
31.5∼32.5
36
0.3750
D
32.5∼33.5
E
33.5∼34.5
6
0.0625
土壤酸碱度pH值
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
小麦幼苗生长平均高度/cm
22
24
27
28
30
29
30
25