2023-2024学年广西贵港市桂平市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年广西贵港市桂平市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.9的算术平方根是( )
A. 3B. 81C. ±3D. ±81
2.下列各数中是无理数的是( )
A. −3.14B. −2C. 3D. 227
3.下列运算正确的是( )
A. (−3)2=−3B. (2 3)2=6C. 16=±4D. 3× 2= 6
4.目前世界上强大的显微镜的观测极限为0.0000000027mm，数据0.0000000027用科学记数法表示为( )
A. 2.7×10−10B. 2.7×10−9C. −2.7×1010D. −2.7×109
5.不等式5x−3≤2的解集是( )
A. x≤1B. x≤−1C. x≥−1D. x≥1
6.下列运算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. a6÷a2=a3C. (a3)−2=a−6D. (a−3)2=−a6
7.下列命题中，假命题是( )
A. 对顶角相等
B. 平行于同一直线的两条直线互相平行
C. 若a>b，则a2>b2
D. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
8.将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为( )
A. 90∘
B. 100∘
C. 105∘
D. 110∘
9.一个正数的两个平方根分别为a+3和4−2a，则这个正数为( )
A. 7B. 10C. −10D. 100
10.三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A. 形状相同的三角形B. 面积相等的三角形C. 直角三角形D. 周长相等的三角形
11.若关于x的一元一次不等式组2x−1>3x+2xA. m≥−3B. m>−3C. m≤−3D. m<−3
12.某种型号油电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费24元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花燃油费72元.已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元.晓华根据这一情境中的数量关系列出方程则24x=72x+0.6，则未知数x表示的意义为( )
A. 每行驶1千米纯用电的费用B. 每行驶1千米纯燃油的费用
C. 每1元电费可行驶的路程D. 每1元油费可行驶的路程
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.若二次根式 2x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
14.分式12x与23y的最简公分母是______.
15.若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是______.
16.等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为______.
17.关于x、y的二元一次方程组2x+y=3mx+2y=3的解满足不等式x+y<1，则m的取值范是______.
18.如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC=20∘，∠C=38∘，则∠BAD=______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：|−2|+π0− 16+(−3+9)÷3.
20.(本小题6分)
解分式方程：xx−1−1=2x3x−3.
21.(本小题10分)
解不等式组：{3(x+2)⩾2x+5①x3−122.(本小题10分)
如图，已知△ABC.
(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点G(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)如果AB=6，AC=10，△ABG的面积为18，求△ACG的面积.
23.(本小题10分)
已知，如图，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2=60∘.
(1)求证：△ADE≌△ABC；
(2)求证：AE=CE.
24.(本小题10分)
为支援困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同．
(1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元；
(2)若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？
25.(本小题10分)
综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形和平行线为背景展开探究.如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，过点A作BC的平行线l.
独立思考：(1)在图1中的直线l上取点E(点E在点A左侧)，使AE=BD，连接DE交AB于点F，得到图2.试判断EF与DF的数量关系，并说明理由；
(2)在图1中的直线l上取点G，H(点G，H分别在点A的两侧)，使AG=AH，连接DG交AB于点M，连接DH交AC于点N，得到图3.小宇发现GM=HN，请你帮她说明理由；
合作交流：(3)同学们在图3的基础上展开了更深入的探究.若∠BAC=40∘，当△AGM是等腰三角形时，直接写出∠GDH的度数.
26.(本小题10分)
综合与探究
【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算A−B的值，若A−B>0，则A>B；若A−B=0，则A=B；若A−B<0，则A【知识运用】
(1)请用上述方法比较下列代数式的大小(用“>、=、<”填空)：
①x−1______x+3；
②若a(2)试比较与6x2+2x+1与5x2+4x−3的大小，并说明理由；
【类比运用】
(3)图(1)是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加2a(a>0)得到如图(2)所示的长方形，此长方形的面积为S1；将正方形的边长增加a，得到如图(3)所示的大正方形，此正方形的面积为S2.请先判断S1与S2的大小关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵32=9，
∴9的算术平方根为3.
故选：A.
如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
此题主要考查了算术平方根，其中算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2.【答案】C
【解析】解：A.−3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意；
B.−2是整数，属于有理数，不符合题意；
C. 3是无理数，符合题意；
D.227是分数，属于有理数，不符合题意．
故选：C.
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是关键．
3.【答案】D
【解析】解：(A)原式=3，故A错误．
(B)原式=12，故B错误．
(C)原式=4，故C错误．
故选：D.
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
4.【答案】B
【解析】解：0.0000000027=2.7×10−9，
故选：B.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.【答案】A
【解析】解：移项得，5x≤2+3，
合并同类项得，5x≤5，
系数化为1得，x≤1.
故选：A.
根据解一元一次不等式的步骤，先移项、再合并同类项，化系数为1即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A.a3⋅a2=a5，故本选项错误；
B.a6÷a2=a4，故本选项错误；
C.(a3)−2=a−6，正确；
D.(a−3)2=a−6，故本选项错误；
故选：C.
分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、对顶角相等，是真命题；
B、平行于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；
C、当a=−3，b=−4时，满足a>b，但不能满足a2>b2，是假命题；
D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，是真命题；
故选：C.
根据对顶角、平行线的判定、不等式的性质和三角形外角性质判断即可．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得：
∠ACB=60∘，∠BAC=45∘，
∴∠CBE=∠ACB+∠BAC=60∘+45∘=105∘，
故选：C.
根据三角板的性质得出∠ACB=60∘，∠BAC=45∘，再利用外角的性质计算即可．
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别为a+3和4−2a，
∴a+3+4−2a=0，
解得：a=7，
则a+3=10，4−2a=−10，
故这个正数是100.
故选：D.
利用平方根的定义得出a+3+4−2a=0，求出a，进而求出答案．
此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B.
根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．
11.【答案】A
【解析】解：解不等式2x−1>3x+2，得：x<−3，
∵不等式组2x−1>3x+2x∴m≥−3.
故选：A.
求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：∵每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元，
∴x表示每行驶1千米纯用电的费用，x+0.6表示每行驶1千米纯燃油的费用．
故选：A.
根据x与x+0.6的关系，可得出x表示每行驶1千米纯用电的费用，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据给定的分式方程，找出未知数x表示的意义是解题的关键．
13.【答案】x≥3
【解析】解：由题意知2x−6≥0，
解得x≥3，
故答案为：x≥3.
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
14.【答案】6xy
【解析】解：分式12x与23y的最简公分母是6xy.
故答案为：6xy.
根据找最简公分母的方法找出最简公分母即可．
本题考查了最简公分母，能熟记找最简公分母的方法(系数找最小公倍数，相同次幂找最高次幂，对于只在一个分母中有的，连同它的指数也作为一个因式)是解此题的关键．
15.【答案】0，1
【解析】解：若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是0，1，
故答案为：0，1.
根据开方运算，可得答案．
本题考查了算术平方根，利用了开方运算，注意一个正数的算术平方根只有一个．
16.【答案】9
【解析】解：当4是腰时，因4+4<9，不能组成三角形，应舍去；
当9是腰时，4、9、9能够组成三角形．
则第三边应是9.
故答案为：9.
题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
17.【答案】m<0
【解析】解：{2x+y=3m①x+2y=3②，
①+②得：3x+3y=3m+3，
解得：x+y=m+1，
∵x+y<1，
∴m+1<1，
解得：m<0，
故答案为：m<0.
先利用整体的思想求出3x+3y=3m+3，从而可得x+y=m+1，进而可得m+1<1，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
18.【答案】58∘
【解析】法一，设∠ABD=α，∠BAD=β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD=90∘，
即α+β=90∘
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD=2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180∘
∴2α+β+38∘+20∘=180∘，
∴联立可得α+β=90∘2α+β=122∘解得：α=32∘β=58∘
∴∠BAD=58∘
故答案为：58∘
法二，延长AD交BC于E，
∵∠DAC=20∘，∠C=38∘，
∴∠AEB=20∘+38∘=58∘，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA=90∘，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠BEA=∠BAD=58∘，
故答案为：58∘
法一设∠ABD=α，∠BAD=β，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出α与β的值．
本题考查三角形内角和，解题的关键是根据条件列出关于α与β的方程组，本题属于中等题型．
19.【答案】解：|−2|+π0− 16+(−3+9)÷3
=2+1−4+6÷3
=2+1−4+2
=1.
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解 方程两边都乘3(x−1)，
得3x−3(x−1)=2x，
解得x=1.5，
检验：当x=1.5时，3(x−1)=1.5≠0，
所以分式方程的解为x=1.5.
【解析】将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．
21.【答案】解：解不等式①得：x≥−1，
解不等式②得：x>−3，
将不等式解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为x≥−1.
【解析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，继而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，AG为所作；
(2)∵AG平分∠BAC，
∴G点到AB和AC的距离相等，
∴S△ABG：S△ACG=AB：AC，即18：S△ACG=6：10，
∴S△ACG=10×186=30.
【解析】(1)利用基本作图作∠BAC的平分线即可；
(2)先根据角平分线的性质得到G点到AB和AC的距离相等，则利用三角形面积公式得到S△ABG：S△ACG=AB：AC，然后利用比例的性质可求出△ACG的面积．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
23.【答案】(1)证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAEAB=AD∠B=∠D，
∴△ABC≌△ADE(ASA)；
(2)证明：由(1)得△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，
∵∠2=60∘，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=CE.
【解析】(1)证得∠DAB=∠CAB，根据ASA即可得出△ABC≌△ADE；
(2)由(1)可得AE=AC，即可判定△AEC为等边三角形，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设A型学习用品的单价为x元，则B型学习用品的单价为(x+10)元，由题意得：
180x+10=120x，
解得：x=20，经检验x=20是原分式方程的根，且符合实际，
则x+10=30.
答：A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．
(2)设购买B型学习用品y件，则购买A型学习用品(1000−y)件，
由题意得：20(1000−y)+30y≤28000，
解得：y≤800.
答：最多购买B型学习用品800件．
【解析】(1)设A型学习用品单价x元，利用“用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同”列分式方程求解即可；
(2)设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品(1000−a)件，根据这批学习用品的钱不超过28000元建立不等式求出其解即可．
本题考查了列分式方程解应用题和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到等量关系是建立方程的关键．
25.【答案】解：(1)EF=DF，证明如下：
如图：
∵直线l//BC，
∴∠AEF=∠BDF，∠FAE=∠FBD，
在△AEF和△BDF中，
∠AEF=∠BDFAE=BD∠FAE=∠FBD，
∴△AEF≌△BDF(ASA)，
∴EF=DF；
(2)如图：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∵直线l//BC，
∴AD⊥直线l，
∴∠DAG=∠DAH=90∘，
∴∠DAG−∠BAD=∠DAH−∠CAD，即∠BAG=∠CAH，
∵AG=AH，
∴AD是GH的垂直平分线，
∴DG=DH，
∴∠AGD=∠AHD，
在△AGM和△AHN中，
∠MAG=∠NAHAG=AH∠AGM=∠AHN，
∴△AGM≌△AHN(ASA)，
∴GM=HN；
(3)如图：
∵∠BAC=40∘，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=20∘，
∴∠GAM=∠GAD−∠BAD=90∘−20∘=70∘，
①若AG=GM，则∠AMG=∠GAM=70∘，
∴∠AGM=180∘−∠AMG−∠GAM=40∘，
∴∠AHN=∠AGM=40∘，
∴∠GDH=180∘−∠AGM−∠AHN=100∘；
②若AG=AM，则∠AGM=∠AMG=(180∘−∠GAM)÷2=(180∘−70∘)÷2=55∘，
∴∠AHN=55∘，
∴∠GDH=70∘；
③若AM=GM，则∠AGM=∠GAM=70∘，
∴∠AHN=70∘，
∴∠GDH=40∘；
综上所述，∠GDH的度数为100∘或70∘或40∘.
【解析】(1)证明△AEF≌△BDF(ASA)，即可得EF=DF；
(2)由AB=AC，AD是BC边上的中线，得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，故AD⊥直线l，可得∠BAG=∠CAH，再证∠AGD=∠AHD，从而△AGM≌△AHN(ASA)，GM=HN；
(3)由∠BAC=40∘，可得∠GAM=∠GAD−∠BAD=70∘，分三种情况：①若AG=GM，则∠AMG=∠GAM=70∘，故∠AGM=180∘−∠AMG−∠GAM=40∘，∠AHN=∠AGM=40∘，即得∠GDH=180∘−∠AGM−∠AHN=100∘；②若AG=AM，则∠AGM=∠AMG=55∘，同理得∠GDH=70∘；③若AM=GM，则∠AGM=∠GAM=70∘，可得∠GDH=40∘.
本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，平行线的性质及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
26.【答案】<<
【解析】解：(1)①∵(x−1)−(x+3)
=x−1−x−3
=−4<0，
∴x−1②∵a∴a3−ab2
=a(a+b)(a−b)<0，
∴a3故答案为：<，<；
(2)6x2+2x+1>5x2+4x−3，
理由如下：6x2+2x+1−(5x2+4x−3)
=6x2+2x+2−5x2−4x+3
=x2−2x+5
=x2−2x+1+4
=(x−1)2+4，
∵(x−1)2≥0，
∴(x−1)2+4>0，
∴6x2+2x+1>5x2+4x−3；
(3)∵S1=4(4+2a)=16+8a，S2=(4+a)2=16+8a+a2，
∴S1−S2
=(16+8a)−(16+8a+a2)
=−a2<0，
∴S1(1)先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可；
(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可；
(3)先求出S1和S2的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可．
本题考查了整式混合运算和实数的混合运算，能根据整式的运算法则和实数的运算法则求出两数的差是解此题的关键．